每一個學過初中幾何的人都知道，過直線之外一點有唯一的一條直線和已知直線平行，這是歐幾里得幾何的第五公設。在這個'公設'就像托勒密的地心說一樣流傳了2000多年后，一個來自遙遠的俄羅斯的青年說：這個公理也不一定就是對的。是誰在向已經(jīng)被所有的人都認定的'公設'挑戰(zhàn)呢？這個第一個吃螃蟹的人究竟是什么樣的人呢？我們就來走近本文的主角--非歐幾何的創(chuàng)始人之一--羅巴切夫斯基。

尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基

尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基于1793（也有記錄說是1792年）年出生在俄羅斯的馬卡里耶夫地區(qū)，7歲喪父，8歲入學。入學后，羅巴切夫斯基在數(shù)學和古典文學方面取得了長足的進步，14歲的時候進入了喀山大學。此后，他作為學生、副教授、教授和校長，為喀山大學服務了40年，

喀山大學

在喀山大學期間，羅巴切夫斯基一直從事著非常繁重的教學工作，包括數(shù)學、天文學和物理學，他甚至還是喀山大學的圖書館的館長和博物館的館長，而羅巴切夫斯基把這一切都管理得井井有條。在他被提升為數(shù)學和物理系的系主任后，他還是喜歡身體力行地管理圖書館和博物館。1827年，羅巴切夫斯基被任命為喀山大學的校長，他甚至為了節(jié)省學校修建新的建筑物時的開支而自學了建筑學，并且精通了這門學問，自己設計了建筑物。羅巴切夫斯基堅信一個原則：為了使一件事情做得令你滿意，你要么親自去做，要么你對它足夠了解，能對做的人提出明確的、有建設性的意見來。

1846年，羅巴切夫斯基被粗暴地免去了校長之職，甚至免去了他在喀山大學的一切工作。羅巴切夫斯基被迫離開心愛的教學工作。沒過多久，他最喜歡的、最有才華的兒子又因為肺結核而去世了，這對羅巴切夫斯基的打擊無疑是巨大的。很快，他的身體就垮了，眼睛也失明了。1856年，羅巴切夫斯基去世，雖然喀山大學師生為他舉行了隆重的追悼會，但是對于他的最主要的成就--非歐幾何的研究工作--則只字未提。因為在當時，他們還認為這是一種無稽之談，荒誕至極。

羅巴切夫斯基在喀山大學的雕像

下面我們就簡單來介紹一下羅巴切夫斯基最突出的成就--非歐幾何的研究工作。早在1815年左右，羅巴切夫斯基開始研究平行線理論。按照約定俗成的道路，他開始研究《幾何原本》，并試圖給出歐氏幾何第五公設的證明?？墒牵芸焖阋庾R到自己的證明是錯誤的。于是，他便調轉思路，著手尋求第五公設不可證的解答。這是一個全新的，也是與傳統(tǒng)思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿著這個途徑，在試證第五公設不可證的過程中發(fā)現(xiàn)了一個嶄新的幾何世界。羅巴切夫斯基創(chuàng)造性地運用了處理復雜數(shù)學問題常用的一種邏輯方法--反證法。他對第五公設的等價命題--普列菲爾公理'過平面上直線外一點，只能引一條直線與已知直線不相交'作以否定，得到否定命題'過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交'，并用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理系統(tǒng)展開邏輯推演。

第五公設

在推演過程中，他得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。但是，經(jīng)過仔細審查，卻沒有發(fā)現(xiàn)它們之間存在任何邏輯矛盾。于是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個'在結果中并不存在任何矛盾'的新公理系統(tǒng)可構成一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設可證性的反駁，也就是對第五公設不可證性的邏輯證明。

1826羅巴切夫斯基于喀山大學物理數(shù)學系學術會議上，宣讀了他的第一篇關于非歐幾何的論文《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。這篇論文的問世，標志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學家的冷漠和反對。會后，系學術委員會組成鑒定小組，對羅巴切夫斯基的論文作出書面鑒定。他們遲遲不肯寫出書面意見，以致最后連文稿也給弄丟了。

1829年，羅巴切夫斯基又撰寫出一篇題為《幾何學原理》的論文。這篇論文重現(xiàn)了第一篇論文的基本思想，并且有所補充和發(fā)展。然而還是沒有得到數(shù)學界的任何重視，人們依然公開否定羅巴切夫斯基的非歐幾何的思想。在創(chuàng)立和發(fā)展非歐幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒能遇到他的公開支持者，就連非歐幾何的另一位發(fā)現(xiàn)者德國的高斯也不肯公開支持他的工作。其實早在1792年，高斯就已經(jīng)產(chǎn)生了非歐幾何思想萌芽，到了1817年已達成熟程度。但是，高斯由于害怕新幾何會激起學術界的不滿和社會的反對，會由此影響他的尊嚴和榮譽，生前一直沒敢把自己的這一重大發(fā)現(xiàn)公之于世，只是謹慎地把部分成果寫在日記和與朋友的往來書信中。

直到1868年--羅巴切夫斯基去世后12年--意大利數(shù)學家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以'翻譯'成相應的歐氏幾何命題，如果歐氏幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創(chuàng)性研究也由此得到學術界的高度評價和一致贊美。羅巴切夫斯基被稱為幾何學界的哥白尼。

其實簡單來說，在我們可以目視的范圍內，歐氏幾何與非歐幾何是等價的。歐氏幾何是球面幾何的極端或退化的情形（歐氏幾何研究的是平面）--當球的半徑無窮大時，就得到了歐氏幾何。歐氏幾何的缺點就在于它并沒有構造一個像人類居住的地球的幾何，它的基礎是假設地球是扁平的。人們用了2000多年的時間，才在幾何學中淘汰了這個假設，羅巴切夫斯基就是這個人。

雙曲幾何

在替代歐氏幾何的非歐幾何中，有一些--比如被廣義相對論所應用的黎曼幾何--今天仍然在物理學中發(fā)揮著至少比歐氏幾何重要得多的作用。