二、幾何學(xué)范疇
1、初等幾何
在希臘語中，“幾何學(xué)”是由“地”與“測(cè)量”合并而來的，本來有測(cè)量土地的含義，意譯就是“測(cè)地術(shù)”。“幾何學(xué)”這個(gè)名詞，系我國(guó)明代數(shù)學(xué)家根據(jù)讀音譯出的，沿用至今。
現(xiàn)在的初等幾何主要是指歐幾里得幾何，它是討論圖形(點(diǎn)、線、面、角、圓等)在運(yùn)動(dòng)下的不變性質(zhì)的科學(xué)。例如，歐氏幾何中的兩點(diǎn)之間的距離，兩條直線相交的交角大小，半徑是r的某一圓的面積等都是一些運(yùn)動(dòng)不變量。
初等幾何作為一門課程來講，安排在初等代數(shù)之后；然而在歷史上，幾何學(xué)的發(fā)展曾優(yōu)先于代數(shù)學(xué)，它主要被認(rèn)為是古希臘人的貢獻(xiàn)。
幾何學(xué)舍棄了物質(zhì)所有的其它性質(zhì)，只保留了空間形式和關(guān)系作為自己研究的對(duì)象，因此它是抽象的。這種抽象決定了幾何的思維方法，就是必須用推理的方法，從一些結(jié)論導(dǎo)出另一些新結(jié)論。定理是用演繹的方式來證明的，這種論證幾何學(xué)的代表作，便是公元前三世紀(jì)歐幾里得的《原本》，它從定義與公理出發(fā)，演繹出各種幾何定理。
現(xiàn)在中學(xué)《平面三角》中關(guān)于三角函數(shù)的理論是15世紀(jì)才發(fā)展完善起來的，但是它的一些最基本的概念，卻早在古代研究直角三角形時(shí)便己形成。因此，可把三角學(xué)劃在初等幾何這一標(biāo)題下。
古代埃及、巴比倫、中國(guó)、希臘都研究過有關(guān)球面三角的知識(shí)。公元前2世紀(jì)，希帕恰斯制作了弦表，可以說是三角的創(chuàng)始人。后來印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿爾·巴塔尼用計(jì)算sinθ值的方法來解方程，他還與阿布爾·沃法共同導(dǎo)出了正切、余切、正割、余割的概念；賴蒂庫斯作了較精確的正弦表，并把三角函數(shù)與圓弧聯(lián)系起來。
由于直角三角形是最簡(jiǎn)單的直線形，又具有很重要的實(shí)用價(jià)值，所以各文明古國(guó)都極重視它的研究。我國(guó)《周髀算經(jīng)》一開始就記載了周朝初年(約公元前1100年左右)的周公與學(xué)者商高的對(duì)話，其中就談到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；還記載了在周公之后的陳子，曾用勾股定理和相似圖形的比例關(guān)系，推算過地球與太陽的距離和太陽的直徑，同時(shí)為勾股定理作的圖注達(dá)幾十種之多。在國(guó)外，傳統(tǒng)稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理，認(rèn)為它的第一個(gè)一致性的證明源于畢氏學(xué)派(公元前6世紀(jì))，雖然巴比倫人在此以前1000多年就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理。到現(xiàn)在人們對(duì)勾股定理已經(jīng)至少提供了370種證明。
19世紀(jì)以來，人們對(duì)于關(guān)于三角形和圓的初等綜合幾何，又進(jìn)行了深入的研究。至今這一研究領(lǐng)域仍然沒有到頭，不少資料已引申到四面體及伴隨的點(diǎn)、線、面、球。
2、射影幾何
射影幾何學(xué)是一門討論在把點(diǎn)射影到直線或平面上的時(shí)候，圖形的不變性質(zhì)的一門幾何學(xué)?；脽羝系狞c(diǎn)、線，經(jīng)過幻燈機(jī)的照射投影，在銀幕上的圖畫中都有相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線，這樣一組圖形經(jīng)過有限次透視以后，變成另一組圖形，這在數(shù)學(xué)上就叫做射影對(duì)應(yīng)。射影幾何學(xué)在航空、攝影和測(cè)量等方面都有廣泛的應(yīng)用。
射影幾何是迪沙格和帕斯卡在1639年開辟的。迪沙格發(fā)表了—本關(guān)于圓維曲線的很有獨(dú)創(chuàng)性的小冊(cè)子，從開普勒的連續(xù)性原理開始，導(dǎo)出了許多關(guān)于對(duì)合、調(diào)和變程、透射、極軸、極點(diǎn)以及透視的基本原理，這些課題是今天學(xué)習(xí)射影幾何這門課程的人所熟悉的。年僅16歲的帕斯卡得出了一些新的、深?yuàn)W的定理，并于9年后寫了一份內(nèi)容很豐富的手稿。18世紀(jì)后期，蒙日提出了二維平面上的適當(dāng)投影表達(dá)三維對(duì)象的方法，因而從提供的數(shù)據(jù)能快速算出炮兵陣地的位置，避開了冗長(zhǎng)的、麻煩的算術(shù)運(yùn)算。
射影幾何真正獨(dú)立的研究是由彭賽勒開創(chuàng)的。1822年，他發(fā)表了《論圖形的射影性質(zhì)》一文，給該領(lǐng)域的研究以巨大的推動(dòng)作用。他的許多概念被斯坦納進(jìn)一步發(fā)展。1847年，斯陶特發(fā)表了《位置幾何學(xué)》一書，使射影幾何最終從測(cè)量基礎(chǔ)中解脫出來。
后來證明，采用度量適當(dāng)?shù)纳溆岸x，能在射影幾何的范圍內(nèi)研究度量幾何學(xué)。將一個(gè)不變二次曲線添加到平面上的射影幾何中，就能得到傳統(tǒng)的非歐幾何學(xué)。在19世紀(jì)晚期和20世紀(jì)初期，對(duì)射影幾何學(xué)作了多種公設(shè)處理，并且有限射影幾何也被發(fā)現(xiàn)。事實(shí)證明，逐漸地增添和改變公設(shè)，就能從射影幾何過渡到歐幾里得幾何，其間經(jīng)歷了許多其它重要的幾何學(xué)。
3、解析幾何
解析幾何即坐標(biāo)幾何，包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。解析幾何通過平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而建立起曲線或曲面與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而就能用代數(shù)方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數(shù)問題。
在初等數(shù)學(xué)中，幾何與代數(shù)是彼此獨(dú)立的兩個(gè)分支；在方法上，它們也基本是互不相關(guān)的。解析幾何的建立，不僅由于在內(nèi)容上引入了變量的研究而開創(chuàng)了變量數(shù)學(xué)，而且在方法上也使幾何方法與代數(shù)方法結(jié)合起來。
在迪沙格和帕斯卡開辟了射影幾何的同時(shí)，笛卡兒和費(fèi)爾馬開始構(gòu)思現(xiàn)代解析幾何的概念。這兩項(xiàng)研究之間存在一個(gè)根本區(qū)別：前者是幾何學(xué)的一個(gè)分支，后者是幾何學(xué)的一種方法。
1637年，笛卡兒發(fā)表了《方法論》及其三個(gè)附錄，他對(duì)解析幾何的貢獻(xiàn)，就在第三個(gè)附錄《幾何學(xué)》中，他提出了幾種由機(jī)械運(yùn)動(dòng)生成的新曲線。在《平面和立體軌跡導(dǎo)論》中，費(fèi)爾馬解析地定義了許多新的曲線。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開始，然后求它的方程；費(fèi)爾馬則從方程出發(fā)，然后來研究軌跡。這正是解析幾何基本原則的兩個(gè)相反的方面，“解析幾何”的名稱是以后才定下來的。
這門課程達(dá)到現(xiàn)在課本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天這樣使用坐標(biāo)、橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)這幾個(gè)術(shù)語，是萊布尼茲于1692年提出的。1733年，年僅18歲的克雷洛出版了《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》一書，這是最早的一部空間解析幾何著作。1748年，歐拉寫的《無窮分析概要》，可以說是符合現(xiàn)代意義的第一部解析幾何學(xué)教程。1788年，拉格朗日開始研究有向線段的理論。1844年，格拉斯曼提出了多維空間的概念，并引入向量的記號(hào)。于是多維解析幾何出現(xiàn)了。
解析幾何在近代的發(fā)展，產(chǎn)生了無窮維解析幾何和代數(shù)幾何等一些分支。普通解析幾何只不過是代數(shù)幾何的一部分，而代數(shù)幾何的發(fā)展同抽象代數(shù)有著密切的聯(lián)系。
4、非歐幾何
非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏(羅巴切夫斯基)幾何；廣義的，泛指一切和歐氏(歐幾里得)幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。
歐幾里得的第5公設(shè)(平行公設(shè))在數(shù)學(xué)史上占有特殊的地位，它與前4條公設(shè)相比，性質(zhì)顯得太復(fù)雜了。它在《原本》中第一次應(yīng)用是在證明第29個(gè)定理時(shí)，而且此后似乎總是盡量避免使用它。因此人們懷疑第五公設(shè)的公理地位，并探索用其它公理來證明它，以使它變?yōu)橐粭l定理。在三千多年的時(shí)間中，進(jìn)行這種探索并有案可查的就達(dá)兩千人以上，其中包括許多知名的數(shù)學(xué)家，但他們都失敗了。
羅巴契夫斯基于1826年，鮑耶于1832年發(fā)表了劃時(shí)代的研究結(jié)果，開創(chuàng)了非歐幾何。在這種幾何中，他們假設(shè)“過不在已知直線上的一點(diǎn)，可以引至少兩條直線平行于已知直線”，用以代替第五公設(shè)，同時(shí)保留了歐氏幾何的其它公設(shè)。
1854年，黎曼推出了另一種非歐幾何。在這種幾何中，他假設(shè)“過已知直線外一點(diǎn)，沒有和已知直線平行的直線可引”，用以代替第5公設(shè)，同時(shí)保留了歐氏幾何的其它公設(shè)。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基—鮑耶的、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。
非歐幾何的發(fā)現(xiàn)不僅最終解決了平行公設(shè)的問題——平行公設(shè)被證明是獨(dú)立于歐氏幾何的其它公設(shè)的，而且把幾何學(xué)從其傳統(tǒng)模型中解放出來，創(chuàng)造了許多不同體系的幾何的道路被打開了。
1854年，黎曼發(fā)表了“關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)的講演”。他指出：每種不同的(兩個(gè)無限靠近的點(diǎn)的)距離公式?jīng)Q定了最終產(chǎn)生的空間和幾何的性質(zhì)。1872年，克萊因建立了各種幾何系統(tǒng)按照不同變換群不變量的分類方法。
19世紀(jì)以后，幾何空間概念發(fā)展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類，每一種幾何都對(duì)應(yīng)著一種定理系統(tǒng)。1899年，希爾伯特發(fā)表了《幾何基礎(chǔ)》一書，提出了完備的幾何公理體系，建立了歐氏幾何的嚴(yán)密的基礎(chǔ)，并給出了證明一個(gè)公理體系的相容性(無矛盾性)、獨(dú)立性和完備性的普遍原則。按照他的觀點(diǎn)，不同的幾何空間乃是從屬于不同幾何公理要求的元素集合。歐氏幾何和非歐幾何，在大量的幾何系統(tǒng)中，只不過是極其特殊的情形罷了。
5、拓?fù)鋵W(xué)
1736年，歐拉發(fā)表論文，討論哥尼斯堡七橋問題。他還提出球面三角形剖分圖形頂點(diǎn)、邊、面之間關(guān)系的歐拉公式，這可以說是拓?fù)鋵W(xué)的開端。
龐加萊于1895～1904年建立了拓?fù)鋵W(xué)，采用代數(shù)組合的方法研究拓?fù)湫再|(zhì)。他把歐拉公式推廣為歐拉—龐加萊公式，與此有關(guān)的理論現(xiàn)在稱為同調(diào)理論和同倫理論。以后的拓?fù)鋵W(xué)主要按照龐加萊的設(shè)想發(fā)展。
拓?fù)鋵W(xué)開始是幾何學(xué)的一個(gè)分支，在二十世紀(jì)它得到了極大的推廣。1906年，弗雷歇發(fā)表博士論文，把函數(shù)作為一個(gè)“點(diǎn)”來看，把函數(shù)收斂描繪成點(diǎn)的收斂，這就把康托的點(diǎn)集論和分析學(xué)的抽象化聯(lián)系起來了。他在函數(shù)所構(gòu)成的集合中引入距離的概念，構(gòu)成距離空間，展開了線性距離空間的理論。在這個(gè)基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)。在豪斯道夫的《點(diǎn)集論綱要》一書中，出現(xiàn)了更一般的點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的完整想法。第二次世界大戰(zhàn)后，把分析引進(jìn)拓?fù)?，發(fā)展了微分拓?fù)洹?/span>
現(xiàn)在的拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對(duì)于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究。任何事物的集合都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g，拓?fù)鋵W(xué)的概念和理論已基本完組成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一，滲入到各個(gè)分支，并且成功地應(yīng)用于電磁學(xué)和物理學(xué)的研究。
