重心

葛敉瑞 2010-08-12

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三角形的重心重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。證明過(guò)程又是塞瓦定理的特例。

　　已知：△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，AD與BE交于O，CO延長(zhǎng)線交AB于F。求證：F為AB中點(diǎn)。

三角形重心

　　證明：根據(jù)燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

　　重心的幾條性質(zhì)：

　　1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

　　2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

　　3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

　　4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（Z1+Z2+Z3）/3

　　5、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。

　　證明：剛才證明三線交一時(shí)已證。

　　6、重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

[編輯本段]
其它規(guī)則圖形的重心

　　注：下面的幾何體都是均勻的，線段指細(xì)棒，平面圖形指薄板。

　　線段的重心就是線段的中點(diǎn)。

　　平行四邊形的重心就是其兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，也是兩對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)。

　　平行六面體的重心就是其四條對(duì)角線的交點(diǎn)，也是六對(duì)對(duì)棱中點(diǎn)連線的交點(diǎn)，也是四對(duì)對(duì)面重心連線的交點(diǎn)。

　　圓的重心就是圓心，球的重心就是球心。

　　錐體的重心是頂點(diǎn)與底面重心連線的四等分點(diǎn)上最接近底面的一個(gè)。

　　四面體的重心同時(shí)也是每個(gè)定點(diǎn)與對(duì)面重心連線的交點(diǎn)，也是每條棱與對(duì)棱中點(diǎn)確定平面的交點(diǎn)。

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來(lái)自：葛敉瑞 > 《我的圖書館》

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