“類比是偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題”（波利亞）。新教材中引入類比這一內(nèi)容，從根本上改變了我以往對數(shù)學(xué)的看法。雖然我以前也知道到類比，但卻不敢把它作為一種數(shù)學(xué)方法理直氣壯地在課堂上講授，讓學(xué)生使用。如今總算可以放開手腳，大膽應(yīng)用了。

　　在教學(xué)中，我進(jìn)行了多種對象的類比。在我的啟發(fā)下，學(xué)生也主動(dòng)進(jìn)行了研究。平面三角形與空間四面體是一組典型的類比對象。現(xiàn)把我和學(xué)生的一些研究總結(jié)如下，希望能與更多的同仁進(jìn)行探究。

　　首先，平面三角形是平面幾何中的一個(gè)基本圖形，而四面體是立體幾何中的一個(gè)基本圖形。二者之間有著密切的聯(lián)系，同時(shí)它們之間的聯(lián)系體現(xiàn)了平面與空間的聯(lián)系，一維空間與二維空間的聯(lián)系，進(jìn)一步可能有助于對多維空間的理解。

　　一、從概念上看：三角形是邊數(shù)最少的多邊形，四面體是面數(shù)最少的多面體。

　　二、三角形的任意兩邊之和大于第三邊。四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積。

　　三、任意一個(gè)三角形都有一個(gè)外接圓，即不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓圓心稱為三角形的外心，外心是各邊垂直平分線的交點(diǎn)，外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等。任意一個(gè)四面體都有一個(gè)外接球，即不共面四點(diǎn)確定一個(gè)球；這個(gè)球的球心在四面體各個(gè)面內(nèi)的射影是各個(gè)面的外心，且它到四面體各頂點(diǎn)的距離也相等。

　　四、任意一個(gè)三角形都有一個(gè)內(nèi)切圓，圓心稱為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到各邊距離相等，是三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；且設(shè)三角形的周長為c,內(nèi)切圓半徑為r,則三角形的面積為。任意一個(gè)四面體都有一個(gè)內(nèi)切球，球心到各個(gè)面的距離相等，是從六條棱出發(fā)的六個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)。且設(shè)四面體的表面積為S,內(nèi)切球半徑為R，則四面體的體積為。

　　五、正三角形棱長為a時(shí)，周長為3a,面積為，高為，外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為。外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的2倍。

正四面體棱長為a時(shí)，表面積為，高為，外接球半徑為，
內(nèi)切接球半徑為。外接球半徑是內(nèi)切球半徑的3倍。

　　六、任意三角形的三條中線交于一點(diǎn)，稱為三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍。（重心定理）如圖1所示：G為的重心。且

　　任意四面體的頂點(diǎn)與對面重心的連線交于一點(diǎn)，正是四面體的物理重心，且四面體的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對面重心距離的3倍。（重心定理的推廣）

    如圖2所示： E，F分別為的重心，AE與BF相交于點(diǎn)G，則G為四面體A-BCD的重心。

　　七、三角形中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則它的重心坐標(biāo)為。

　　四面體中四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則它的重心坐標(biāo)為
   。

八、三角形中有余弦定理：。

在四面體A-BCD中，頂點(diǎn)A,B,C,D所對底面面積分別為；以四面體的各棱為棱的二面角大小分別為。則有

。

　　余弦定理證明如下：
　　證明：在中利用射影定理有

由上面三式得：

命題得證。

空間中的余弦定理類比證明如下：

證明：由空間的射影定理知
   H為點(diǎn)A在平面BCD中的射影，則
  

同理有：

于是有
 

=
      +

 +
  所以：。

點(diǎn)評：在上面的推理論證中，我們不光從已知、結(jié)論上進(jìn)行了類比，而且對證明過程也進(jìn)行了類比。充分體現(xiàn)了類比的“引路人”作用。

九、在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這是勾股定理，它是余弦定理的一種特殊情形。于是可利用余弦定理證明。

在有三個(gè)面兩兩互相垂直的四面體中，三個(gè)“直角面”的面積平方和等于“斜面”的面積平方。這是推廣的勾股定理，它也正好是前面推擴(kuò)的余弦定理的特殊情形。于是它可利用推廣的余弦定理證明。

十、三角形中有正弦定理：

證明：在中，有
        于是有 即：   
            。
    同理可證：。

而在四面體ABCD中，設(shè)棱AB與面ACD，面BCD所成角分別為，則。

證明：如圖4：作AH垂直平面BCD，H為垂足。則就是AB與平面BCD所成角。

所以AH=AB。
所以
同理：
所以   即。

十一、已知點(diǎn)O是內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AO,BO,CO并延長交對邊于A’，B’，C’，則。
   證明：如圖5所示，

因?yàn)?/span>與同底，所以

同理：；
所以
    

而在空間四面體ABCD中也可有類似命題：已知點(diǎn)O是四面體ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AO,BO,CO,DO并延長交對面于A’，B’，C’，D’, 則。

證明：如圖6所示，

因?yàn)槿忮FO-BCD與三棱錐A-BCD同底;  所以

同理：；

所以

以上內(nèi)容，是我對于三角形和四面體的相似性質(zhì)進(jìn)行的類比，通過上面的類比，我又產(chǎn)生了好多新的想法，有些想法實(shí)在找不到什么好的類比對象，如：三角形內(nèi)角和是180；直徑所對圓周角是直角，這些平面幾何定理，在空間中該如何類比呢？數(shù)學(xué)真是奇妙，有許許多多未解之謎等我們?nèi)テ平狻ＯＭ业倪@篇文章能給各位起一點(diǎn)拋磚引玉的作用，本人將感到不甚榮幸。

　　作者簡介：任所懷，山西省原平市第一中學(xué)一級(jí)教師。1996年畢業(yè)于山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，在中學(xué)任教15年，一直從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作。在人教網(wǎng)發(fā)表論文6篇。

2006年度忻州市高中數(shù)學(xué)信息技術(shù)與學(xué)科課程整合教學(xué)能手；

2011年榮獲忻州地區(qū)信息技術(shù)與課堂教學(xué)“十佳教師”稱號(hào)；

2012年在參與“十一五”規(guī)劃課題《提高課堂教學(xué)實(shí)效性的教學(xué)策略研究》工作中，被評為;教育部課題研究先進(jìn)工作者。

聯(lián)系郵箱：rsh73910@163.com