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50.探 索 法 就是多方尋求答案，解決疑難。
51.觀 察 法 數(shù)學(xué)知識(shí)是通過數(shù)、式、形三方面的內(nèi)容，體現(xiàn)客觀事物和空間形式相互間數(shù)量關(guān)系的。這常常需要觀察。 例1 計(jì)算下組算式的(1)、(2)、(3)，類推出(4)的結(jié)果。 (1)1＋1×8 (2)2＋12×8 (3)3＋123×8 (4)4＋1234×8 仔細(xì)觀察算式間的聯(lián)系， 第一個(gè)加數(shù)，逐次增加1；第二個(gè)加數(shù)逐次增加11，111， 1111，……而乘數(shù)都是8，即第二個(gè)加數(shù)中兩個(gè)數(shù)的乘積，逐次多11個(gè)8，111個(gè)8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的結(jié)果逐次增加 89，889，8889，…… 由式(3)的結(jié)果9＋89＋889＝987，知 式(4)為 987＋8889＝9876。 例2 觀察 不難發(fā)現(xiàn)：自然數(shù)從1開始，累加到任何一個(gè)自然數(shù)，其和除以下一個(gè) 是偶數(shù)，商是小數(shù)，是奇數(shù)時(shí)，商是整數(shù)。 如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001) 例3 由11＋1.1＝11×1.1， 知其積等于其和。 特點(diǎn)：第一個(gè)加數(shù)是整數(shù)。第二個(gè)加數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1，分?jǐn)?shù)部分的分子是1，分母比第一個(gè)加數(shù)少1。 例4 觀察分析 ………… 會(huì)產(chǎn)生一個(gè)直覺：如果a與b是互質(zhì)數(shù)(且a＞b)，那么a±b與ab是互質(zhì)數(shù)。 此結(jié)論成立的話，兩個(gè)分子是1，分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)相加減，所得結(jié)果豈不是不必考慮約分了嗎？ 用反證法證明： 若a±b與ab不互質(zhì)，而有因子d的話，設(shè)a±b＝cd，ab＝ed。 則由ab＝ed，d為素?cái)?shù)可知，或d｜a，或d｜b。 若d｜a，則由a±b＝cd，可知必有d｜b，這與ab是互質(zhì)數(shù)矛盾。 同理，若d｜b，也有矛盾，所以a±b與ab互質(zhì)。 52.猜測(cè)與證明 美國(guó)數(shù)學(xué)家G·玻利亞在《數(shù)學(xué)與似真推理》一書中寫道：“人們對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)總是首先猜測(cè)，然后才加以證明。” 例1 3×4＝12 它的積是由1和2依順序排列的數(shù)。 由33×34＝1122 333×334＝111222 n個(gè) n個(gè) n個(gè) n個(gè) 為方便起見，在后面的n位數(shù)乘以n位數(shù)等于2n位數(shù)的乘法中，用省略號(hào)連在一起的n個(gè)數(shù)字不再標(biāo)n個(gè)了，它們的個(gè)數(shù)同上式一樣。 證明： 令S＝11…1， 則S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1， 10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10， 9S＝10S－S＝10n－1， 由此得
故33…3×33…4＝11…122…2， 進(jìn)而可得33…3×33…5 ＝33…3×(33…34＋1) ?。?1…122…2＋33…3 ＝11…155…5。 例2 abcd各不相同，表示一個(gè)四位數(shù)。問各是什么數(shù)時(shí)，能同時(shí)被2、3、5整除？ 智力好的學(xué)生，總是經(jīng)過一番嘗試和猜測(cè)后，就力圖尋求一般規(guī)律，不遺漏地寫出符合要求的全部四位數(shù)。符合題意的數(shù)是，各位上的數(shù)字和一定能被3整除，且個(gè)位數(shù)字是0。 如果a、b、c分別取1、2、3作為一組的話，有1230、1320、2130、 2310、3120、3210。 這樣的數(shù)組有： 1、2、3 1、2、6 1、2、9 1、3、5 1、3、8 1、4、7 1、5、6 1、5、9 1、6、8 1、8、9 2、3、4 2、3、7 2、4、6 2、4、9 2、5、8 2、6、7 2、7、9 3、4、5 3、8、4 3、5、7 3、6、9 4、5、9 4、6、8 5、6、7 5、7、9 6、7、8 7、8、9 符合題意的全部四位數(shù)是， 6×27＝162(個(gè)) 例3 證明：任意10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)一定能找出4個(gè)a、b、c、d，使(a－b)×(c－d)能被56整除。若使(a－b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。 在10個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，必有兩數(shù)的差為8，其余8個(gè)數(shù)中必有兩數(shù)的差為7。 設(shè)10個(gè)連續(xù)自然數(shù)為： n、n＋1、n＋2、…、n＋9， 則(n＋8)－n＝8， (n＋9)－(n＋2)＝7。 這里 a＝n＋8， b＝n， c＝n＋9， d＝n＋2， 或 a＝n＋9， b＝n＋2， c＝n＋8， d＝n。 或者(n＋9)－(n＋1)＝8， (n＋7)－n＝7。 這里a＝n＋9， b＝n＋1， c=n＋7，d=n， 或 a=n＋7， b=n， c=n＋9，d=n＋1。 例4 任意連續(xù)4n個(gè)自然數(shù)的和除以2的商是第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)和的n倍。 證明：設(shè)任意的連續(xù)自然數(shù)m，m＋1，m＋2，…… 當(dāng)n＝1時(shí)，因?yàn)閙＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以 ?。?m＋3＝［m＋(m＋3)］×1。 當(dāng)n＝2時(shí)，因?yàn)閙＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以 ?。?m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。 當(dāng)m＝3時(shí)，因?yàn)閙＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以 ＝6m＋33＝［m＋(m＋11)］×3。
?。剑踡1＋(m＋k－1)k］×n。 這里m1＝9，(m＋k－1)k＝40， 原式＝(9＋40)×8＝392。
53.相似運(yùn)算 例1 在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，任選一個(gè)數(shù)字，把它與9相乘，得到一個(gè)積，把這個(gè)積再乘上12345679，答案所有數(shù)位上的數(shù)字總是和選擇的那個(gè)數(shù)字一樣。 比如說，選擇5，5×9＝45。 兩邊都除以5， 12345679×9=11 11 11 11 1。 對(duì)于任何其它數(shù)字，可進(jìn)行同樣的推理。用數(shù)字a乘等式兩邊， 12345679×(a×9)＝(11 11 11 11 1)a ?。絘aaaaaaaa 。 例2 任意選出小于10的三個(gè)不同的自然數(shù)，如1、6、8。 從中任取兩個(gè)，組成二位數(shù)16、18、61、68、81、86。其和為330。 1＋6＋8＝15。 兩位數(shù)的和除以一位數(shù)的和，
設(shè)a、b、c表示任意三個(gè)不同的小于10的自然數(shù)，組成兩位數(shù)， 10a＋b 10a＋c 10b＋a 10b＋c 10c＋a 10c＋b 其和為 22a＋22b＋22c ?。?2(a＋b＋c) 遇到類似的運(yùn)算，可不假思索地寫出22。
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