像這樣從左到右讀與從右到左讀完全一樣的自然數(shù)，我們稱該之為回文數(shù)或者對稱數(shù)。?所有的回文數(shù)都是呈中間對稱的數(shù)。如111,3223，52325……等。注意哦，像111,2222,33333等相同數(shù)字組成的數(shù)，也叫作回文數(shù)。

那你自己能寫一個回文數(shù)嗎？

121~立正！

第一反應就是體育老師嘴巴中熟悉的的“121”。當然、回文數(shù)非常之多。

首先，所有單個數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9都是回文數(shù)。

其次，任意一個數(shù)字不斷寫下去也是回文數(shù)。如11、22、111、999……

最后，先任意寫幾個數(shù)字，再把這幾個數(shù)字的順序反一反，繼續(xù)寫下去，也是回文數(shù)。如12344321、10122101……

那回文數(shù)有多少呢？你能有序地找到它們嗎？

那我們就從一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)……去找找規(guī)律。

一位數(shù)：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個一位數(shù)從左往右讀和從右往左讀都是一樣，這10個數(shù)都是回文數(shù)。

兩位數(shù)：兩位數(shù)也很好找，十位和個位要一樣。分別是11，22，33，44，55，66，77，88，99，一共有9個。

三位數(shù)：根據(jù)回文數(shù)的特點，百位和個位上的數(shù)要一樣，所以百位和個位分別可以是1，2，3……9，一共有9種情況。如1（）1，2（）2，3（）3，……9（）9。

十位上的數(shù)依次可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)字。所以9×10=90（種）。這里就需要有序思考，做到不重復不遺漏。這就有點排列組合的“味道”了。

四位數(shù)：回文數(shù)的數(shù)字都是對稱出現(xiàn)的，所以第一位和第四位是相同的，第二位和第三位是相同的；所以只要考慮第一位和第二位。而第一位又不能是0，所以只能填1—9。第二位可以是0—9任意的數(shù)，有10種可能。所以，四位數(shù)的回文數(shù)一共有9×10=90種。

五位數(shù)：方法同上，由于第一位和第五位相同，可以填1—9；第二位和是四位相同，可以填0—9，第三位也可以填0—9，所以列式9×10×10=900種。

六位數(shù)：六位數(shù)也可以分成三類，第一位和第六位，第二位和第五位，第三位和第四位。因此列式9×10×10=900種。

……

關于回文數(shù)個數(shù)問題，又一年數(shù)學高考題出過下面一道題目：

回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)。如22，111,3443,94249等。顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33…，99。3位回文數(shù)有90個：101,111,121，…，191,202，…，999。則

（1）4位回文數(shù)有______個；

（2）2n＋1（n∈N+）位回文數(shù)有______個。

關于回文數(shù)的個數(shù)，從剛才特殊的情形可以歸納一下：

歸納一般性的規(guī)律：n位數(shù)的回文數(shù)的個數(shù)，當n=2k（k∈N*）時有9×10^k-1個；當n=2k+1（k∈N*）時有9×10^k個.

一個數(shù)能不能通過加法制造出回文數(shù)？

這里，以35為例，它顯然不是回文數(shù)。35可以加很多數(shù)變成回文數(shù)。但有一個特殊的方法制造回文數(shù)是很奇妙的。

35+53=88（回文數(shù)）；兩個加數(shù)是相反的，也就是一個加數(shù)倒過來讀就是另一個加數(shù)。

這只是個猜想。再舉幾個例子試試！

36+63=99，316+613=929，326+623=949，346+643=989

……

我們發(fā)現(xiàn)：只要一個數(shù)加上這個數(shù)倒過來讀的數(shù)，就能制造出回文數(shù)。

那再舉個例子試試！用58試試！

58+85=143（不是回文數(shù)）怎么不行了；再往下看。

143+341=484（又是回文數(shù)）

原來，一個多位數(shù)，如果不是回文數(shù)就加上它的倒寫數(shù)，得到的和是回文數(shù)；如果得到的和不是回文數(shù)，就繼續(xù)重復這樣的方法，最后還是會得到一個回文數(shù)。

再比如，寫一個自然數(shù)68，按上面的步驟運算：

68+86=154，

154+541=605，

605+506=1111，

經(jīng)過三步計算，就得到了一個回文數(shù)1111。

是不是很神奇！

當然，  這還只是一個猜想哦！數(shù)學家們得出了著名的“回文數(shù)猜想”：任意寫一個自然數(shù)，經(jīng)過有限次運算后，一定會得到一個回文數(shù)。

“回文數(shù)猜想”與世界上許多著名的猜想一樣，至今還沒有人能證明“回文數(shù)猜想”是否成立。

有人用計算機驗證過：在1至10000之間，有97.5%的自然數(shù)可以在24步計算以內(nèi)得到回文數(shù)。其余的自然數(shù)（196除外）要經(jīng)過更多步計算才能得到回文數(shù)。

而唯一例外的是196這個數(shù)，在經(jīng)過37303步計算之后，得到一個15500位的數(shù)，在經(jīng)過幾十萬步計算后仍未得到回文數(shù)。繼續(xù)做下去究竟能不能得到回文數(shù)，還是一個解不開的謎。數(shù)學家認為，如果“回文數(shù)猜想”不成立的話，也許196就是一個反例。

除了用加法制造回文數(shù)，還可以用別的運算方法嗎？

模仿加法制造回文數(shù)的樣子繼續(xù)研究，可以用減法、除法結(jié)合解決這個問題：任意寫一個自然數(shù)，把它倒過來從右往左寫成另一個自然數(shù)，并將這兩個數(shù)相減；然后將所得的差除以9.重復這一過程，經(jīng)過有限次運算后，一定會得到一個回文數(shù)。

以196為例，按上述步驟計算：

691-196=495，

495÷9=55，

經(jīng)過計算，就得到了回文數(shù)55。

當然用乘法也可以制作出回文數(shù)，可以自己探究探究！

回文數(shù)在很多方面能夠有體現(xiàn)出數(shù)學的趣味性，比如尋找除了回文數(shù)特征以外，還具有其他特征的數(shù)字。

如：回文素數(shù)：2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151,181,191,…

回文完全平方數(shù)：0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,…

關于回文數(shù)的知識還有很多，也有很多有趣的結(jié)論：

（1）從1到9的任何數(shù)乘以11，總能得到一個回文數(shù)，如11×8=88；

（2）每一個位數(shù)是偶數(shù)的回文數(shù)一定可被11整除，如122221÷11=11111；

（3）兩個由1組成的數(shù)且數(shù)位不超過9的乘積一定是回文數(shù)，如

1111×11111=12344321；

……

“回文數(shù)”是如此高深莫測，有興趣的話我們還可以進一步對它進行研究！