你們知道什么叫做“黑洞”（black hole）嗎？

從物理學的觀點來解釋：黑洞其實是個星球，只是它的物質密度極大，引力極強，任何物質經(jīng)過它的附近，都要被它吸引進去，再也不能出來，包括光線也是這樣，因此射進去的光沒有反射回來，我們的眼睛就看不到任何東西，只是黑色一片，于是它是一個不發(fā)光的天體，黑洞的名稱由此而來。

由于不發(fā)光，人們無法通過肉眼或觀測儀器發(fā)覺它的存在，而只能通過理論計算或根據(jù)光線經(jīng)過其附近時產(chǎn)生的彎曲現(xiàn)象而判斷其存在。自從黑洞理論提出以來，著名的物理學家愛因斯坦和霍金都肯定了黑洞的存在，絕大多數(shù)科學家也都長年致力于尋找黑洞確切存在的證據(jù)來完善黑洞理論。被世人譽為“在世的最偉大的科學家”、“另一個愛因斯坦”的著名物理學家霍金更是將其畢生精力都投入到對于黑洞的研究之中，對物理學史上有關黑洞的研究做出了巨大的貢獻，但是由于黑洞本身的研究的復雜性，牽扯到很多有關動力學、熱力學、以及量子力學的相關知識，所以進一步地認證黑洞仍是21世紀的科學難題之一。

有趣的是，天體物理中的黑洞現(xiàn)象在數(shù)學中也存在，并被叫做“數(shù)學黑洞”。所謂數(shù)學黑洞是這樣一類數(shù)，其他任意的數(shù)如果經(jīng)過某種變換變成這個數(shù)以后，再按同樣的規(guī)律去變，始終就是這個數(shù)，再也跳不出去了。

我們今天就一起來研究一下這樣的一類有趣的數(shù)——黑洞數(shù)。

1. 四位數(shù)的黑洞數(shù)

隨意寫出一個四位數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字不都相等（1111，2222，3333等四位數(shù)應排除），用這個四位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字組成一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，得到一個新的四位數(shù)（如果差等于0999，視0999為四位數(shù)）。對于新得到的四位數(shù)，一直重復上面的運算，最后你發(fā)現(xiàn)了什么？

我們以四位數(shù)4194為例，重復題設中的運算步驟，可得一系列算式：

并把這個變換過程簡記為：4194→7992→7173→6354→3087→8352→6174→6174→6174→6174。

對于4194這個隨意取的四位數(shù)，不斷重復題設的運算，前6次（（1）~（6））所得的“差”在改變，而后3次（（7）~（9））的“差”卻不變，停在6174這個數(shù)上，并且從后3次的算式來看，你再重復題設的運算，6174這個差數(shù)永遠不變，就好像一旦掉進6174這個“黑洞”里就再也出不來了，所以有人稱6174這個數(shù)為四位數(shù)的“黑洞數(shù)”。由于題設的“運算”是兩百多年前，美國數(shù)學家卡布列克提出的，因此也有人把我們上面進行的這種運算方式稱為“卡式運算”，把6174稱為四位數(shù)的“卡布列克常數(shù)”。這就意味著，如果你再隨意寫一個四位數(shù)，經(jīng)過卡布列克運算后，還是要掉進6174這個“黑洞”，永不翻身！

于是得到如下的一個猜想：在卡氏運算下，四位數(shù)有黑洞數(shù)，并且它等于6174。

2. 三位數(shù)的黑洞數(shù)

我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)6174是四位數(shù)的黑洞數(shù)，那么大家可以對應地思考一下：三位數(shù)有黑洞數(shù)嗎？

隨意寫出一個三位數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字不都相等（111，222，333等三位數(shù)應排除），用這個三位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字組成一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，得到一個新的三位數(shù)（如果差等于099，視099為三位數(shù)）。對于新得到的三位數(shù)，一直重復上面的運算，最后你發(fā)現(xiàn)了什么？

猜想：在卡氏運算下，三位數(shù)有黑洞數(shù)，并且它等于495。

那么，應該怎樣證實“三位數(shù)有黑洞數(shù)495”這個猜想？

證明過程：要證明這個猜想的成立，對所有三位數(shù)逐個進行檢驗不就得了？可是這項工作工作量太大，因為三位數(shù)太多了。對卡氏運算來說，檢驗了一個三位數(shù)（如571），就相當于檢驗了6個三位數(shù)（如571，517，715，751，175，157），這是因為這6個數(shù)的組成數(shù)字是一樣的，只不過排列順序不同。這就是卡布列克運算的基本性質。依據(jù)此性質，工作量變?yōu)樵ぷ髁康?。

接下來還可以大大地簡化這 的工作量，這就要依靠大家在初一的時候所學習過的一種代數(shù)思想方法——“字母表示數(shù)”來幫忙。

設a，b，c是組成一個任意三位數(shù)的數(shù)字，并設a≥b≥c （a=b=c除外），對此三位數(shù)進行一次卡氏運算

（*）式說明，對任何一個三位數(shù) ，進行一次卡氏運算后，所得差是一個三位數(shù)（x=0時也視為三位數(shù)），它的十位數(shù)字等于9，百位與個位的數(shù)字和等于9。

這樣一來，檢驗工作又大大地簡化了——只要檢驗以下5個三位數(shù)：594，693，792，891，990。

由于990→891→792→693→594→495→495，所以上述5個待驗的三位數(shù)同時得到檢驗。

這是一個巧妙的證明——本應對所有三位數(shù)進行檢驗，現(xiàn)在只要檢驗990這一個三位數(shù)就行了。

于是輕松證明了剛才的猜想：在卡氏運算下，三位數(shù)有黑洞數(shù)，并且它等于495。

3. 兩位數(shù)的黑洞數(shù)

我們已經(jīng)知道三位數(shù)有黑洞數(shù)495，四位數(shù)有黑洞數(shù)6174，那么兩位數(shù)有沒有黑洞數(shù)？

隨意寫出一個兩位數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字不都相等（11，22，33等兩位數(shù)應排除），用這個兩位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字組成一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，得到一個新的兩位數(shù)（如果差等于09，視09為兩位數(shù)）。對于新得到的兩位數(shù)，一直重復上面的運算，最后你發(fā)現(xiàn)了什么？

隨意取86，21，91分別進行卡式運算，得：

由此產(chǎn)生猜想：

（i）在卡氏運算下，兩位數(shù)變換為位數(shù)和等于9的兩位數(shù)；

（ii）在卡氏運算下，兩位數(shù)進入一個周期為5的循環(huán)鏈；

如何用上面證明三位數(shù)的黑洞數(shù)的方法進行類似證明呢？

（i）設a與b是組成一個兩位數(shù)的數(shù)字，并設“a>b，對此兩位數(shù)進行一次卡氏運算：

由b<a，得

∴x＋y＝9。

（ii）結論（i）說明，在卡氏運算下，任何一個兩位數(shù)變換為下列5個兩位數(shù)中的一個81，63，27，45，09

再注意到卡氏運算基本性質（卡氏運算差與多位數(shù)的數(shù)字順序無關），猜想（ii）得證。

以上說明兩位數(shù)沒有黑洞數(shù)，但它們都進入一個循環(huán)鏈，“永遠”不得離開這個循環(huán)鏈。

五位數(shù)和六位數(shù)的黑洞數(shù)也可以像上面一樣進行類似討論，但是它的情況就會更加復雜，需要分集中具體情況進行討論。

4. 其他形式的黑洞數(shù)

數(shù)學上的黑洞數(shù)其實也和自然上的黑洞一樣，存在著很多種不同的類型和形式，數(shù)學界對于黑洞數(shù)的研究也仍在不斷的更新和繼續(xù)當中。以上我們討論的其實只是其中最常見的一種，是運用最大數(shù)和最小數(shù)做差的方式來得到黑洞數(shù)，其實還有其它的幾種簡單的黑洞數(shù)已經(jīng)在近幾年的中考試題當中有所體現(xiàn)，我們來看以下的兩個例子：

（2004年浙江省嘉興市中考題）

有種數(shù)字游戲，可以產(chǎn)生“黑洞數(shù)”，操作步驟如下：第一步，任意寫出一個自然數(shù)（以下稱為原數(shù)）；第二步，再寫一個新的三位數(shù)，它的百位數(shù)字是原數(shù)中偶數(shù)數(shù)字的個數(shù)，十位數(shù)字是原數(shù)中奇數(shù)數(shù)字的個數(shù)，個位數(shù)字是原數(shù)的位數(shù)；以下每一步，都對上一步得到的數(shù)，按照第二步的規(guī)則繼續(xù)操作，直至這個數(shù)不再變化為止。

不管你開始寫的是一個什么數(shù)，幾步之后變成自然數(shù)總是相同的。最后這個相同的數(shù)就叫它為黑洞數(shù)。請你以2004為例嘗試一下（可自選另一自然數(shù)作檢驗，不必寫出檢驗過程）2004，一步之后變?yōu)?404 ，再變?yōu)?303 ，再變?yōu)?123 ……黑洞數(shù)是 123 。

（2004年重慶市北碚區(qū)初中畢業(yè)生學業(yè)考試20題）

自然數(shù)中有許多奇妙而有趣的現(xiàn)象，很多秘密等待著我們去探索!比如：對任意一個自然數(shù)，先將其各位數(shù)字求和，再將其和乘3后加上1，多次重復這種操作運算，運算結果最終會得到一個固定不變的數(shù)R，它會掉入一個數(shù)字“陷阱”，永遠也別想逃出來，沒有一個自然數(shù)能逃出它的“魔掌”，那么最終掉入“陷阱”的這個固定不變的數(shù)R= 13 。

其實數(shù)學黑洞的內容是相當豐富的，歷史上數(shù)學家們對于黑洞數(shù)的探索和研究也一直都沒有停止過，如果大家有興趣的話，可以利用課后的時間去搜索一些相關的資料，加入數(shù)學家們探索的隊伍。