“思考”一詞，在漢語詞典中解釋為“進(jìn)行比較深刻、周到的思維活動(dòng)”、“進(jìn)行分析、綜合、推理、判斷等思維活動(dòng)”等。所以，思考是一種思維活動(dòng)，是思維進(jìn)步階梯中一個(gè)重要的程序。懂得思考就是懂得進(jìn)步。而“數(shù)學(xué)思考力”一般指“數(shù)學(xué)方式的理性思維活動(dòng)”的能力，簡單地說，就是能夠從數(shù)學(xué)的角度去思考，自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想、觀念去發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)和思想方法去解決問題的能力。

先看一個(gè)例子，二年級(jí)有這樣一個(gè)問題：一口井10米深，一只青蛙白天爬5米，晚上滑下4米。它幾天能爬出井口？

二年級(jí)學(xué)生由于缺少解題工具與解題經(jīng)驗(yàn)，他們首先想到的是白天爬5米晚上滑4米，每天爬1米，10天正好爬出井?？康氖侵庇X經(jīng)驗(yàn)解決問題。那么，如何從數(shù)學(xué)角度去思考問題？

首先模仿青蛙爬一爬（可以利用橡皮等文具演示），經(jīng)歷直觀感受的過程；接著利用圖形畫一畫（孩子畫的圖形不一定多規(guī)范，說明問題即可），經(jīng)歷抽象數(shù)量關(guān)系的過程；最后列出算式算一算，經(jīng)歷總結(jié)概括的過程。以上不同層次的思維活動(dòng)，非常符合低年級(jí)學(xué)生的思維認(rèn)知，并且他們認(rèn)識(shí)到畫圖是解決問題的有效方法，借助直觀形象的圖形就可以抽象出數(shù)量之間的關(guān)系、總結(jié)概括出解決問題的方法。這就為學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的發(fā)展埋下了種子。

諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)獲得者莫言說過：文學(xué)和科學(xué)相比，的確沒什么用處，但文學(xué)最大的用處，也許就是它沒有用處。教育也如此，所謂的分?jǐn)?shù)、學(xué)歷甚至知識(shí)都不是教育的本質(zhì)，教育的本質(zhì)是：一棵樹搖動(dòng)另一棵樹，一朵云推動(dòng)另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂。數(shù)學(xué)教育亦是如此，并不是數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授灌輸、數(shù)學(xué)習(xí)題的重復(fù)訓(xùn)練，而是學(xué)會(huì) “用數(shù)學(xué)的眼光去觀察”、“用數(shù)學(xué)的方式去思考”、“用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)”，形成“具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀”。

要想形成數(shù)學(xué)的思考能力，就要讓學(xué)生在長期的熏陶和滋養(yǎng)中，形成運(yùn)用數(shù)理邏輯和抽象圖式去思考世界和理解世界的能力，即形成數(shù)學(xué)思考力。

例1：

憑借生活經(jīng)驗(yàn)，菠蘿的個(gè)頭最大當(dāng)然最重，桃子的個(gè)頭最小當(dāng)然最輕，學(xué)生們便很輕松的就完成了這樣一道思考題。他們真的理解這三種水果之間的重量關(guān)系嗎？是否具備了解決這類問題的方法呢？不妨把題目進(jìn)行變式，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思考力。

學(xué)生立刻看出菠蘿最重，因?yàn)樗膫€(gè)頭最大。但是，蘿卜和番茄個(gè)頭差不多，就出現(xiàn)了意見的分歧?？雌饋恚麄冞€未具有數(shù)學(xué)的推理能力。這時(shí)就可以引導(dǎo)：這些水果的重量如果用數(shù)字來表示，會(huì)怎樣？（物體的重量關(guān)系其本質(zhì)也是數(shù)量的大小關(guān)系）由于學(xué)生對(duì)數(shù)字的大小十分熟悉，他們表示起來也很輕松。第一幅圖：如果1個(gè)桃子重量用“1”表示，那么梨的重量就表示為“2”，菠蘿可以表示為“3”，因?yàn)?>2>1，所以菠蘿最重、桃子最輕。第二幅圖：如果1個(gè)番茄重量用“1”表示，那么菠蘿的重量就表示為“4”，1個(gè)蘿卜就可以表示為“2”，因?yàn)?>2>1，所以菠蘿最重、番茄最輕。

把學(xué)生引導(dǎo)到用數(shù)字符號(hào)去表示物體的重量關(guān)系，不但可以利用學(xué)生已有的、熟悉的數(shù)字大小經(jīng)驗(yàn)，把重量關(guān)系抽象成數(shù)量關(guān)系；而且有利于學(xué)生進(jìn)行各物體重量關(guān)系之間的大小比較與關(guān)系推理，順利實(shí)現(xiàn)符號(hào)感的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)；還可以讓學(xué)生逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度去觀察、分析和思考實(shí)際問題，達(dá)到提高數(shù)學(xué)思考力與發(fā)展思維的目的。

例2： 

（1）1個(gè)1個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了（  ）次，共有（ ）個(gè)三角形。

（2）2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了（  ）次，共有（ ）個(gè)三角形。

（3）3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了（  ）次，共有（ ）個(gè)三角形。

（4）還可以（ ）個(gè)（ ）個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了（  ）次，共有（ ）個(gè)三角形。

數(shù)數(shù)對(duì)于一年級(jí)孩子來說，并不陌生，他們更多的數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)一個(gè)地正著數(shù)，都是對(duì)連續(xù)自然數(shù)的體會(huì)，培養(yǎng)的是對(duì)連續(xù)自然數(shù)的數(shù)感。第二、三兩個(gè)小題，就是對(duì)已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的突破，重在打破原有的數(shù)數(shù)思維，把對(duì)連續(xù)自然數(shù)的數(shù)感培養(yǎng)，提升到不連續(xù)自然數(shù)的數(shù)感培養(yǎng)，建立新的數(shù)數(shù)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)發(fā)展數(shù)感的目的。本題只是從正向去培養(yǎng)孩子的數(shù)感，如果也能從逆向的角度發(fā)展數(shù)感，對(duì)于提升數(shù)學(xué)思維的深度是大有裨益的，如果加以長期熏陶就會(huì)逐步形成數(shù)學(xué)思考力。如：數(shù)一數(shù)，猜一猜。 

（1）有一行三角形，1個(gè)1個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了12次，一共有（ ）個(gè)三角形。

（2）有一行三角形，2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了6次，一共有（ ）個(gè)三角形。

（3）有一行三角形，3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了4次，一共有（ ）個(gè)三角形。

（4）有一行三角形，（ ）個(gè)（ ）個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)（ ）次，一共有12個(gè)三角形。

由根據(jù)圖形個(gè)數(shù)去數(shù)數(shù)，到由數(shù)數(shù)去推算圖形個(gè)數(shù)，使孩子從不同方向、不同角度去思考問題，在培養(yǎng)數(shù)感的同時(shí)，也發(fā)展了孩子的思維能力。數(shù)學(xué)思考力的培養(yǎng)，離不開數(shù)學(xué)思想方法的熏陶。

例3：從三點(diǎn)整開始，分針與時(shí)針第二次形成20°角的時(shí)間是三點(diǎn)幾分？

我們知道，三點(diǎn)整時(shí)分針與時(shí)針的夾角是90°。隨著分針的走動(dòng)，時(shí)針也在走動(dòng)，但它們走動(dòng)的速度不同，造成它們之間的夾角也是不斷的變化。從這個(gè)角度去思考，確實(shí)困難重重。如果我們換一種角度去思考，可能就會(huì)海闊天空。分針運(yùn)動(dòng)的速度一定比時(shí)針運(yùn)動(dòng)的速度快，這是眾知的。到底快多少，該如何描述呢？不妨把分針和時(shí)針的運(yùn)動(dòng)比作成甲乙兩個(gè)人在運(yùn)動(dòng)，甲走的快乙走的慢，甲走在后乙走在前，兩人相距90°，比作同向的追及問題。轉(zhuǎn)化為行程問題是不是簡單呢？

我們先來找他們運(yùn)動(dòng)的速度：

甲（分針）每分鐘走1小格，也就是360°÷ 60=6°。

乙（時(shí)針）每分鐘走5÷60=1/12小格（60分鐘時(shí)針才走完一大格，即5小格），也就是1/12 × 6°=0.5°。

這樣就得到甲乙兩人的速度為：甲每分鐘走6°，乙每分鐘走0.5°。

接下來，就要找出兩人運(yùn)動(dòng)的路程：

從條件“從三點(diǎn)整開始，分針與時(shí)針第二次形成20°角”可以得到線段圖：

從圖中可知，在相同的時(shí)間內(nèi)，甲（分針）比乙（時(shí)針）多走90°+ 20°=110°。而根據(jù)他們的速度有：甲比乙每分鐘多走6°- 0.5°=5.5°，由路程差除以速度差等于走完該路程所用的時(shí)間，即110°÷ 5.5°=20分。所以，從三點(diǎn)整開始，分針與時(shí)針第二次形成20°角的時(shí)間是三點(diǎn)二十分。把鐘面上的時(shí)間問題轉(zhuǎn)化為行程中的追及問題，可以使數(shù)量關(guān)系變得更加清晰、明白，更容易理解和接受。這就是數(shù)學(xué)思想方法之一的轉(zhuǎn)化，所帶來的無窮魅力！

例4：把二進(jìn)制數(shù)1100101轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是（   ）。

如果有數(shù)學(xué)功底，通過推理也是可以解出來的；如果接觸過這類題型，直接套用公式也是能解出來的；如果數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好，也很少做過這類題型，該怎辦？其實(shí)，這就是對(duì)數(shù)學(xué)思考力的考查。

我們知道，任何一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示成10的次方形式。如1203=1×103+2×102+0×10'+3×10°，即“1”在103數(shù)位上、“2”在102數(shù)位上、“0”在10'數(shù)位上、“3”在10°數(shù)位上。每一個(gè)數(shù)字都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)位，這就是位值制計(jì)數(shù)法。那么二進(jìn)制數(shù)是否滿足位值制計(jì)數(shù)法，是否也可以仿照這種形式寫成2的次方形式呢？那樣問題就簡單多了。我們可以從簡單的情況開始討論，去尋求解法。

十進(jìn)制數(shù)      二進(jìn)制數(shù)

  1              1        

  2              10       ……包含1個(gè)2

  3              11       ……包含1個(gè)2余1

  4              100      ……包含2個(gè)2

  5              101      ……包含2個(gè)2余1

  6              110      ……包含3個(gè)2

  7              111      ……包含3個(gè)2余1

  8              1000     ……包含4個(gè)2

  9              1001     ……包含4個(gè)2余1

  10            1010     ……包含5個(gè)2

……

看起來，二進(jìn)制數(shù)與2的個(gè)數(shù)有關(guān)，也就是說可以換算成2的乘方形式。但是，現(xiàn)在的問題是：任何一個(gè)二進(jìn)制數(shù)該包含幾個(gè)2的幾次方呢？該如何去判斷？顯然，應(yīng)該把2的次方數(shù)與二進(jìn)制的數(shù)位聯(lián)系起來，便可以解決這個(gè)問題。

從右邊數(shù)起

二進(jìn)制數(shù)的第一位是1或0，可以看作對(duì)應(yīng)2的0次方；

二進(jìn)制數(shù)的第二位是由1個(gè)2累加而成，對(duì)應(yīng)2的一次方；

二進(jìn)制數(shù)的第三位應(yīng)是由2個(gè)2累加而成，對(duì)應(yīng)2的二次方；

二進(jìn)制數(shù)的第四位應(yīng)是由4個(gè)2累加而成，對(duì)應(yīng)2的三次方；

二進(jìn)制數(shù)的第五位應(yīng)是由8個(gè)2累加而成，對(duì)應(yīng)2的四次方；

等

這樣就找到了二進(jìn)制的位值制記數(shù)方法：

于是得到：

這就是不完全歸納推理所帶來的解題能力，而這種能力的形成需要長期的訓(xùn)練，久而久之才能培養(yǎng)出這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)思考力的訓(xùn)練內(nèi)容一般包括：建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維；體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機(jī)現(xiàn)象；在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法；學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式；等。

這些數(shù)學(xué)思考的內(nèi)容其實(shí)就對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)的核心能力：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念——數(shù)學(xué)抽象能力；幾何直觀——直觀想象能力；運(yùn)算能力——數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；數(shù)據(jù)分析觀念、感受隨機(jī)現(xiàn)象——數(shù)據(jù)分析能力；合情推理和演繹推理——邏輯推理能力。另外，數(shù)學(xué)的基本思想之一的模型思想也是數(shù)學(xué)思考的重要內(nèi)容。

可見，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑，也是形成數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、學(xué)科品質(zhì)及思考力的重要抓手。