６個(gè)學(xué)生平均分成3組，有多少種分法？
６個(gè)學(xué)生平均分到3個(gè)不同的班級(jí)，有多少種分法？
頭痛了吧？
分組分配問(wèn)題是排列組合教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。某些排列組合問(wèn)題看似非分配問(wèn)題，實(shí)際上可運(yùn)用分配問(wèn)題的方法來(lái)解決。
一 提出分組與分配問(wèn)題，澄清模糊概念
n個(gè)不同元素按照某些條件分配給k個(gè)不同得對(duì)象，稱(chēng)為分配問(wèn)題，分定向分配和不定向分配兩種問(wèn)題；
將n個(gè)不同元素按照某些條件分成k組，稱(chēng)為分組問(wèn)題。
分組問(wèn)題有不平均分組、平均分組、和部分平均分組三種情況。
分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不區(qū)分的；而后者即使2組元素個(gè)數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌?，仍然是可區(qū)分的。對(duì)于后者必須先分組后排列。
二 基本的分組問(wèn)題
例1 六本不同的書(shū)，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？
(1)每組兩本（均分三堆）１５
(2)一組一本，一組二本，一組三本６０
(3)一組四本，另外兩組各一本１５
(４)平均分給甲乙丙三人９０
分析：
(1)分組與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題。分組數(shù)是Ｃ６２＊Ｃ４２＊Ｃ２２=90(種)
這90種分組實(shí)際上重復(fù)了6次。
我們不妨把六本不同的書(shū)標(biāo)上1、2、3、4、5、6六個(gè)號(hào)碼。
考察以下兩種分法：(1，2)(3，4)(5，6)與(3，4)(1，2)(5，6)，由于書(shū)是均勻分組的，三組的本數(shù)一樣，又與順序無(wú)關(guān)，所以這兩種分法是同一種分法。以上的分組方法實(shí)際上加入了組的順序，因此還應(yīng)取消分組的順序，即除以組數(shù)的全排列數(shù)Ａ３３＝６，所以分法是 ９０／６=15(種)。
(2)先分組，方法是Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３＝６０ ，那么還要不要除以Ａ３３？我們發(fā)現(xiàn)，由于每組的書(shū)的本數(shù)是不一樣的，因此不會(huì)出現(xiàn)相同的分法，即共有 =60(種) 分法。
(3)分組方法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30(種)
其中有沒(méi)有重復(fù)的分法？我們發(fā)現(xiàn)，其中兩組的書(shū)的本數(shù)都是一本，因此這兩組有了順序，而與四本書(shū)的那一組，由于書(shū)的本數(shù)不一樣，不可能重復(fù)。所以實(shí)際分法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１／Ａ２２=15(種)。
通過(guò)以上三個(gè)小題的分析，我們可以得出分組問(wèn)題的一般方法。
結(jié)論1： 一般地，n個(gè)不同的元素分成p組，各組內(nèi)元素?cái)?shù)目分別為m１ ，m ２，…，mＰ ，其中k組內(nèi)元素?cái)?shù)目相等，那么分組方法數(shù)是Ｃ。
三 基本的分配的問(wèn)題
１定向分配問(wèn)題
例2 六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？
(1) 甲兩本、乙兩本、丙兩本.
(2) 甲一本、乙兩本、丙三本.
(3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配給三人，每人分幾本是一定的,屬分配問(wèn)題中的定向分配問(wèn)題，由分布計(jì)數(shù)原理不難解出：
（１）Ｃ６２＊Ｃ４２＊Ｃ２２=90(種)
（２）Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３=60(種)
（３）Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30(種)。
２不定向分配問(wèn)題
例3 六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配 方法？
(1) 每人兩本
(2) 一人一本、一人兩本、一人三本
(3) 一人四本、一人一本、一人一本
分析：此組題屬于分配中的不定向分配問(wèn)題，是該類(lèi)題中比較困難的問(wèn)題。由于分配給三人，同一本書(shū)給不同的人是不同的分法，所以是排列問(wèn)題。實(shí)際上可看作“分為三組，再將這三組分給甲、乙、丙三人”，
因此只要將分組方法數(shù)再乘以Ａ３３＝６ ，即
?。ǎ保保担?90(種)
（２）６０＊６=360(種)
?。ǎ常保担?90(種)。
結(jié)論2. 一般地，如果把不同的元素分配給幾個(gè)不同對(duì)象，并且每個(gè)不同對(duì)象可接受的元素個(gè)數(shù)沒(méi)有限制，那么實(shí)際上是先分組后排列的問(wèn)題，即分組方案數(shù)乘以不同對(duì)象數(shù)的全排列數(shù)。
解不定向分配題的一般原則：先分組后排列。
例4 六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種分法？
分析：六本書(shū)和甲、乙、丙三人都有“歸宿”，即書(shū)要分完，人不能空手。因此，考慮先分組，后排列。先分組，六本書(shū)怎么分為三組呢？有三類(lèi)分法(1)每組兩本(2)分別為一本、二本、三本(3)兩組各一本，另一組四本。所以根據(jù)加法原理，分組法是 + + =90(種)。再考慮排列，即再乘以 。所以一共有540種不同的分法。
四 分配問(wèn)題的變形問(wèn)題
例5 四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？
分析：恰有一個(gè)空盒，則另外三個(gè)盒子中小球數(shù)分別為1，1，2。實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為先將四個(gè)不同的小球分為三組，兩組各1個(gè)，另一組2個(gè)，分組方法有 (種)，然后將這三組(即三個(gè)不同元素)分配給四個(gè)小盒(不同對(duì)象)中的3個(gè)的排列問(wèn)題，即共有 =144(種)。
例6 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有多少種？
分析：先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，共有Ｃ１０?。矗茫矗?種)分法。再考慮排列，甲任務(wù)需2人承擔(dān)，因此2人的那個(gè)組只能承擔(dān)甲任務(wù)，而一個(gè)人的兩組既可承擔(dān)乙任務(wù)又可承擔(dān)丙任務(wù)，全排。
共Ｃ１０ ４＊Ｃ４２＊Ａ２２ =2520(種)不同的選法。
例7 設(shè)集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A為定義域，B為值域，則從集合A到集合B的不同的函數(shù)有多少個(gè)？
分析：由于集合A為定義域，B為值域，即集合A中的每個(gè)元素都有“歸宿”，而集合B的每個(gè)元素接受集合A中對(duì)應(yīng)的元素的數(shù)目不限，所以此問(wèn)題實(shí)際上還是分組后分配的問(wèn)題。先考慮分組，集合A中4個(gè)元素分為三組，各組的元素?cái)?shù)目分別為1、1、2，則共有 (種)分組方法。再考慮分配，即排列，再乘以 ，所以共有 =36(個(gè))不同的函數(shù)。
例８設(shè)集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8},映射f:A->B滿足f(1)<＝f(2)<＝f(3)<＝f(4)＝<f(5)且Ｂ中的三個(gè)元素在Ａ中都有原象，這樣的映射共有多少個(gè)？從１，２，３，４，５，中插入３個(gè)隔板，依次與６，７，８，對(duì)應(yīng)，因此共有Ｃ４３＝４種不同的映射
附
一 編號(hào)分組：
1 相同元素 編號(hào)分組
“編號(hào)分組”的意思是：即使分出來(lái)兩個(gè)或多個(gè)組中，元素的個(gè)數(shù)相同，仍然看成不同的組
例題：
10個(gè)相同的小球，放入5個(gè)不同的盒子里面，每個(gè)盒子至少要放一個(gè)球。
問(wèn)有幾種放法？
方法（隔板法）
5個(gè)盒子，設(shè)置4個(gè)隔板，插入9個(gè)空中。C94
2 不同元素 編號(hào)分組
分成兩種情況：
(i)非均勻編號(hào)分組（每組元素個(gè)數(shù)不同）
例題：10個(gè)人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同（在這里體現(xiàn)“編號(hào)分組”）勞動(dòng)，問(wèn)有幾種安排方法？
方法：分步選人，分別適合各組人數(shù)，然后要乘以組數(shù)的全排列。
C102×C83×C55×A33
(ii)均勻編號(hào)分組（包括部分均勻、全部均勻）
例題：10個(gè)人分成三組，各組人數(shù)分別為2、2、6，去參加不同勞動(dòng)
問(wèn)有幾種安排方法？
方法：分步選人，分別適合各組人數(shù)。
但是，由于有兩個(gè)或兩個(gè)以上的組人數(shù)相同，而選人時(shí)又是分步選人的（即有順序在里面），所以必然會(huì)造成重復(fù)。比如：甲乙、丙丁和丙丁、甲乙是一種情況，我們卻多算了。要除以元素相同的幾個(gè)組的組數(shù)的全排列
選人完之后要放進(jìn)編好號(hào)碼的組里面，所以乘以總組數(shù)的全排列。
C102×C82×C66÷A22×A33
二 不編號(hào)分組：
與編號(hào)分組不同的是，在不編號(hào)分組中，各個(gè)組元素的個(gè)數(shù)成為了區(qū)別不同組的唯一標(biāo)志，換言之，只要有兩個(gè)或者多個(gè)組有相同個(gè)數(shù)的元素，它們就被視為相同的組。
在這里，由于組已經(jīng)沒(méi)有編號(hào)了，如果要放進(jìn)組里面的元素再不可區(qū)分，那問(wèn)題就變得沒(méi)什么意義，而且很簡(jiǎn)單了。比如：三個(gè)相同的球，放入兩個(gè)相同的盒子里面，只有一種放法，那就是其中一個(gè)盒子放一個(gè)球，另外那個(gè)盒子放剩下的那兩個(gè)球。所以用列舉法就可以了。
在這里主要討論不同元素的情況。
1，不同元素，不編號(hào)不均勻分組。
例題：10個(gè)人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加相同（在這里體現(xiàn)“不編號(hào)分組”）勞動(dòng)，問(wèn)有幾種安排方法？
方法：和“不同元素，編號(hào)不均勻分組”相比，不必乘以組數(shù)的全排列，因?yàn)槿齻€(gè)組參加的是相同的勞動(dòng)（這里“相同”的言下之意是：勞動(dòng)內(nèi)容相同，又是同時(shí)去的，如果不同時(shí)，還要當(dāng)作編號(hào)分組）
C102×C83×C55
不同元素 不編號(hào)均勻分組（部分均勻、全部均勻）
例題：10個(gè)人分成三組，各組人數(shù)分別為2、2、6，去參加相同勞動(dòng)，問(wèn)有幾種安排方法？
方法：要除以相同元素個(gè)數(shù)的那幾個(gè)組的組數(shù)的全排列，但是不必乘以總組數(shù)的全排列。
C102×C82×C66÷A22
