1.學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握排列、組合問(wèn)題的解題策略
2.重點(diǎn)
（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略：
（2）合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略；
（3）排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略；
（4）正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；
（5）相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；
（6）不相鄰問(wèn)題插空處理的策略。
3.難點(diǎn)
綜合運(yùn)用解題策略解決問(wèn)題。
4.學(xué)習(xí)過(guò)程:
(1)知識(shí)梳理
1．分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有幾類(lèi)辦法，在第一類(lèi)中有m1種有不同的方法，在第2類(lèi)中有m2種不同的方法……在第n類(lèi)型有m3種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。
2．分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……，做第n步有mn種不同的方法；那么完成這件事共有種不同的方法。
特別提醒：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與“分類(lèi)”有關(guān)，要注意“類(lèi)”與“類(lèi)”之間所具有的獨(dú)立性和并列性；分步計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān)，要注意“步”與“步”之間具有的相依性和連續(xù)性，應(yīng)用這兩個(gè)原理進(jìn)行正確地分類(lèi)、分步，做到不重復(fù)、不遺漏。
3．排列：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.
4．排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.
5．排列數(shù)公式：
特別提醒：
（1）規(guī)定0! = 1
（2）含有可重元素的排列問(wèn)題.
對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于.
例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù).
6．組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.
7．組合數(shù)公式：
8．兩個(gè)公式：① ②
特別提醒：排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.
聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.
區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無(wú)順序關(guān)系.

(2)典型例題
考點(diǎn)一:排列問(wèn)題
例1.六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？
?。?）甲不站兩端；
?。?）甲、乙必須相鄰；
?。?）甲、乙不相鄰；
?。?）甲、乙之間間隔兩人；
?。?）甲、乙站在兩端；
　（6）甲不站左端，乙不站右端.
　
考點(diǎn)二:組合問(wèn)題
例2. 男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？
?。?）男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；
?。?）至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；
?。?）隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；
?。?）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員.
　
考點(diǎn)三:綜合問(wèn)題
例3.4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).
　（1）恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？
　（2）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？
　（3）恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？
　
當(dāng)堂測(cè)試
1.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有（ ）
A.70 種 B.80種 C.100 種 D.140 種
2.2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有（ ）
A.48 種 B.12種 C.18種 D.36種
3.從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A.48 B.12 C.180 D.162
4.甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（ ）
A.150種 B.180種 C.300種 D.345種
5.甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，則甲、乙所選的課程中至少有1門(mén)不相同的選法共有（ ）
A.6 B.12 C.30 D.36
6.用0 到9 這10 個(gè) 數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．324 B.328 C.360 D.648
7.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙 至少有1人入選，而丙 沒(méi)有入選的不同選法的總數(shù)為（ ）
A.85 B.56 C.49 D.28
8.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的總數(shù)為（ ）
A.18 B.24 C.30 D.30
9.3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 （ ）
A.360 B.288 C.216 D.96
　　
參考答案：
例1 解：（1）方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法：
方法二：由于甲不站兩端，這兩個(gè)位置只能從其余5個(gè)人中選2個(gè)人站，有種站法，然后中間4人有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法：
方法三：若對(duì)甲沒(méi)有限制條件共有種站法，甲在兩端共有種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即共有站法：
（2）方法一：先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，和其余4人進(jìn)行全排列有種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有
方法二：先把甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有種站法，再在5個(gè)空檔中選出一個(gè)供甲、乙放入，有種方法，最后讓甲、乙全排列，有種方法，共有
（3）因?yàn)榧住⒁也幌噜?，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)，有種站法；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔（含兩端）中，有種站法，故共有站法為
也可用“間接法”，6個(gè)人全排列有種站法，由（2）知甲、乙相鄰有種站法，所以不相鄰的站法有.
（4）方法一：先將甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有種，然后將甲、乙按條件插入站隊(duì)，有種，故共有站法.
方法二：先從甲、乙以外的4個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上，有種，然后把甲、乙及中間2人看作一個(gè)“大”元素與余下2人作全排列有種方法，最后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列，有種方法，故共有站法.
（5）方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法.
方法二：首先考慮兩端兩個(gè)特殊位置，甲、乙去站有種站法，然后考慮中間4個(gè)位置，由剩下的4人去站，有種站法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有站法.
（6）方法一：甲在左端的站法有種，乙在右端的站法有種，且甲在左端而乙在右端的站法有A種，共有站法.
方法二：以元素甲分類(lèi)可分為兩類(lèi)：①甲站右端有種站法，②甲在中間4個(gè)位置之一，而乙不在右端有種，故共有站法.
例2 解 （1）第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有種選法.
　第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有種選法.
　共有種選法.
（2）方法一 至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：
　1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
　由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為
　.
　　方法二 “至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解.
　從10人中任選5人有種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有種.
　所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為.
（3）方法一：可分類(lèi)求解：
　“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的選法為；
　“只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法為；
　“男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法為；
　所以共有種選法. 9分
　　方法二：間接法：
　從10人中任選5人有種選法.
　其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有種.所以“至少1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法為種. 9分
（4）當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人任意選，共有種選法.不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有種選法.其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)的選法共有種選法.
　所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有種.
例3 解 （1）為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個(gè)球分成2，1，1的三組，然后再?gòu)?個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另 外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有
（2）“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.
?。?）確定2個(gè)空盒有種方法.
4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成（3，1）、（2，2）兩類(lèi)，第一類(lèi)有序不均勻分組有種方法；第二類(lèi)有序均勻分組有種方法.
　故共有種.
　當(dāng)堂檢測(cè)答案
1.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有 （ ）
A.70 種 B.80種 C.100 種 D.140 種
解析：分為2男1女，和1男2女兩大類(lèi)，共有=70種，
解題策略：合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略。
2.2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有 （ ）
A.48 種 B.12種 C.18種 D.36種
解析：合理分類(lèi)，通過(guò)分析分為（1）小張和小王恰有1人入選，先從兩人中選1人，然后把這個(gè)人在前兩項(xiàng)工作中安排一個(gè)，最后剩余的三人進(jìn)行全排列有種選法。（2）小張和小趙都入選，首先安排這兩個(gè)人，然后再剩余的3人中選2人排列有種方法。
共有24+12=36種選法。
解題策略：1.特殊元素優(yōu)先安排的策略。
2.合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略。
3.排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略。
3.從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為 （ ）
A.48 B.12 C.180 D.162
解析：分為兩大類(lèi)：（1）含有0，分步1，從另外兩個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)，種方法，2.從3個(gè)奇數(shù)中選兩個(gè)，有種方法；3.給0安排一個(gè)位置，只能在個(gè)、十、百位上選，有種方法；4.其他的3個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排列，有種排法，根據(jù)乘法原理共種方法。（2）不含0，分步，偶數(shù)必然是2，4 ；奇數(shù)有種不同的選法，然后把4個(gè)元素全排列，共種排法，不含0 的排法有種。根據(jù)加法原理把兩部分加一塊得
解題策略：1.特殊元素優(yōu)先安排的策略。
2.合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略。
3.排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略。
4.甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（ ）
A.150種 B.180種 C.300種 D.345種
解析：4人中恰有1名女同學(xué)的情況分為兩種，即這1名女同學(xué)或來(lái)自甲組，或來(lái)自乙組，則所有不同的選法共有 種選法。
解題策略：合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略。
5.甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，則甲、乙所選的課程中至少有1門(mén)不相同的選法共有（ ）
A.6 B.12 C.30 D.36
解析：可以先讓甲、乙任意選擇兩門(mén)，有種選擇方法，然后再把兩個(gè)人全不相同的情況去掉，兩個(gè)人全不相同，可以讓甲選兩門(mén)有 種選法，然后乙從剩余的兩門(mén)選，有種不同的選法，全不相同的選法是種方法，所以至少有一門(mén)不相同的選法為種不同的選法。
解題策略：正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略。
6.用0 到9 這10 個(gè) 數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 （ ）
A.324 B.328 C.360 D.648
解析： 第一類(lèi)個(gè)位是零，共種不同的排法。
第二類(lèi)個(gè)位不是零，共種不同的解法。
解題策略：合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略.
7.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙 至少有1人入選，而丙 沒(méi)有入選的不同選法的總數(shù)為（ ）
A.85 B.56 C.49 D.28
解析：合理分類(lèi)，甲乙全被選中，有種 選 法，甲乙有一個(gè)被選中，有種不同的選法，共+=49種不同的選法。
解題策略：
（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略，
（2）合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略.
8.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的總數(shù)為（ ）
A.18 B.24 C.30 D.30
將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分成三組，則共有種不同的分法，然后三組進(jìn)行全排列共種不同的方法；然后再把甲、乙分到一個(gè)班的情況排除掉，共種不同的排法。所以總的排法為種
注意:
這里有一個(gè)分組的問(wèn)題，即四個(gè)元素分成三組有幾種不同的分法的問(wèn)題。
這里分為有序分組和無(wú)序分組，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)研究 ，這里不再詳述。
解題策略：
1.正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略
2.相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略
3.排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略；
9.3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）
A.360 B.288 C.216 D.96
解析：分析排列組合的問(wèn)題第一要遵循特殊元素優(yōu)先考慮的原則，先考慮女生的問(wèn)題，先從3個(gè)女生中選兩位，有種方法，然后再考慮順序，即先選后排，有種方法；這樣選出兩名女生后，再考慮男生的問(wèn)題，先把三個(gè)男生任意排列，有中不同的排法，
然后把兩個(gè)女生看成一個(gè)整體，和另一個(gè)女生看成兩個(gè)元素插入4個(gè)位置中。有種不同的排法，共有種不同的排法。然后再考慮把男生甲站兩端的情況排除掉。
　　
甲可能站左端，也可能是右端，有種不同的方法，然后其他兩個(gè)男生排列有種排法，最后把女生在剩余的三個(gè)位置中排列，有種不同的排法。共種不同的排法， 故總的排法為種不同的方法。
本題難度大，體現(xiàn)的排列組合的解題策略多：
（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略：
?。?）合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略；
?。?）排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略；
?。?）正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；
　（5）相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；
　（6）不相鄰問(wèn)題插空處理的策略。
解排列組合的應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn)：
仔細(xì)審題，判斷是排列還是組合問(wèn)題，要按元素的性質(zhì)分類(lèi)，按事件發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步。
深入分析，嚴(yán)密周詳，注意分清是乘還是加，要防止重復(fù)和遺漏，辯證思維，多角度分析，全面考慮。
對(duì)限制條件較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問(wèn)題分解成若干簡(jiǎn)單的基本問(wèn)題后用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理來(lái)解決。
由于排列組合問(wèn)題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果時(shí)，應(yīng)著重檢查所設(shè)計(jì)的解決方案是否完備，有無(wú)重復(fù)和遺漏，也可采用不同的方法求解。看看結(jié)果是否相同，在對(duì)排列組合問(wèn)題分類(lèi)時(shí)，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏和重復(fù)。