要理解微積分的本質到底是什么，還要從數(shù)學的本質和數(shù)字的本質開始理解。

數(shù)學是科學的基礎，但并不是某個神明發(fā)明的，而是人類積累的結果，因此要從數(shù)學的起源說起。

數(shù)學的一個最主要基礎是數(shù)字。

在人類最早階段，雖然語言或手勢或記號都可能是最早被作為交流的載體，但是數(shù)字是第一個能夠準確交流信息的載體。雖然“啊、咦、嗚”這些聲音也能進行交流，甚至最早就被用于信息的傳遞，但是這些都沒有數(shù)字表達的清晰準確。1根手指代表的就是1只羊，2跟手指就代表兩只羊。數(shù)字的準確性在最早期的交流中已經體現(xiàn)其優(yōu)勢出來。

數(shù)學的基礎在數(shù)字，從數(shù)字開始逐步建立了運算、方程、函數(shù)等，又開始建立微積分、概率、隨機過程，又產生了復數(shù)、群論、范數(shù)，又建立了集合、矩陣、張量等等。

數(shù)字的性質決定數(shù)學的性質。數(shù)字有一個很重要的特性就是線性、同質性、無差別性。這個性質意味著所有數(shù)字代表的內容只跟大小有關，與性質無關。比如2只羊，并不能區(qū)分出來兩只羊的差別，2這個數(shù)字代表1個再加1個，這兩個1沒有區(qū)別，同樣3,4,5一直到成千上萬，數(shù)字所代表的只是量，每一個量都可以由1的累加起來。

除了數(shù)字，數(shù)學的另一個基礎是形，從形開始建立了幾何、拓撲等數(shù)學分支。

幾何的性質同樣是線性、同質性、無差別性。無論是點、直線、平面，還是三角形、四邊形，四面體、立方體等，在同一理論下的形狀代表的內容是一樣的。比如點，在任何形狀中的點都沒有區(qū)別。

這種無差別性帶來了巨大的好處，尤其是在最早期的時候，人類唯一無差別交流的只有數(shù)字，手指有10個，足以應付大部分計數(shù)需要了。而最早的文字應該也是記錄數(shù)字的。

但是這種無差別性是和真實的物質世界并不相符的，在宇宙中沒有完全一樣的物體，包括物質層和生命層的所有物體，都是不相同的。

這種無差別、同質、線性，在帶來方便的同時，也帶來了一個巨大的問題，就是數(shù)學的基礎從一開始就和物質世界是有偏差的。初期看沒有太大的問題，但是出現(xiàn)的結果就是：一方面物理學就是在逐步克服數(shù)學的線性，以適應現(xiàn)實的世界；另一方面，數(shù)學的發(fā)展過程也是一個突破自身線性的過程，在這個過程中發(fā)展新的領域。比如微積分、比如各種變換、比如非歐幾何等。

微積分的本質就是因為在現(xiàn)實世界中，實體的邊界并不是理想的點、直線和平面。對于曲線的長度計算，分割成小的線段等效成直線，然后累加就是微積分。對于面積和體積也是如此，這就是微積分的本質所在。因為人類已經對直線、平面的性質有了根深蒂固的概念，所以微積分直到牛頓和萊布尼斯才正式成為數(shù)學工具。

泰勒展開式或叫泰勒變換也是這個用處，只是用到了函數(shù)上。函數(shù)是理想化的，就像直線和平面一樣，在現(xiàn)實世界中類似簡單函數(shù)映射很少存在，對于真實物體的任何一點，都不是切線能夠擬合的，可能要很多階導數(shù)，這樣就產生了泰勒展開式。實質上泰勒展開式也是分割計算再積累的一種形式。

非歐幾何是基本規(guī)則的突破，其建立的基礎并不是中學里學到的直線、平面，而是更接近現(xiàn)實的非直線規(guī)則。比如可以以球體的表面作為面的基礎，建立一套幾何理論，直線在遠處相交，這就是黎曼幾何。這樣建立的幾何在處理地球表面上的一些計算會簡化很多。

你可能會說為啥有了直角坐標系幾何，還要出現(xiàn)黎曼幾何，其實所有的理論都是為現(xiàn)實服務的。在現(xiàn)實世界中，遇到的球面的狀態(tài)比平面的狀態(tài)更多，尤其是天文學，因此黎曼幾何應該有更多的用處，其就像日心說和地心說的關系，那一個更簡單就用那一個。

傅里葉變換描述起來要復雜一些，和非歐幾何有點類似。

傅里葉變換是現(xiàn)代通信、導航等無線電領域用到的最多的計算工具，幾乎無處不在。傅里葉變換的基礎是波動，把波動當成類似幾何的點、線、面一樣的基礎假設，而正弦波表示的周期波動就像是歐氏幾何的點、直線、平面一樣。

在現(xiàn)實中，并沒有標準的正弦波，而再復雜的波動都可以等效成一個個的正弦波，都可以由正弦波來表示，這就是傅里葉變換，其就像微積分在幾何中的作用一樣，也跟泰勒變換在函數(shù)中的作用一樣。

先建立標準的、簡單的規(guī)則，然后通過變換去擬合復雜的現(xiàn)實世界，就是牛頓開始建立的科學的方法，就是自然哲學的數(shù)學原理。

可能你還有一個疑問，人類為什么沒有在一開始就建立一個更貼近現(xiàn)實的數(shù)學體系？

我認為，人類建立的數(shù)字/空間/時間/直線體系就是最簡單的、實用的體系，打獵、采摘、種植等活動并不復雜，只是因為人類社會的發(fā)展，尤其是智慧的發(fā)展需要更精細化的要求，致使開始的體系無法滿足需求了。這也從另一個方面說明沒有造物主，麥克斯韋方程有完美形式是因為人類最早建立的體系更符合電磁波的傳播的參數(shù)而已。

數(shù)字除了計數(shù)的功能，另一個主要的功能是分割功能，數(shù)字看起來與周期性沒有任何相似性，但是其實起到了基本相同的作用，復制的反方向就是分割。周期性是在固定的時間長度或距離上進行采樣，而數(shù)字也是如此。數(shù)字本身就是一個周期性，周期長度是1。

總之，數(shù)字的發(fā)明是智慧起源的核心之一。智慧的目的是增加有序性，實現(xiàn)方法是對齊，而數(shù)字就是實現(xiàn)對齊的手段之一，可能是最主要的手段。