《概率論沉思錄》

《概率論沉思錄》（Probability Theory: The Logic of Science）是美國物理學家杰恩斯（E. T. Jaynes，1922-1998）關(guān)于概率論在科學研究中應用的經(jīng)典著作。杰恩斯是最早意識到概率論可視為傳統(tǒng)亞里士多德邏輯的擴展的人之一，他將拉普拉斯、貝葉斯、哈羅德·杰弗里斯、考克斯和香濃等人的思想與成果綜合為一個現(xiàn)代概率推理框架，將概率和統(tǒng)計推斷作為整個科學的邏輯基礎，對現(xiàn)代數(shù)學和科學產(chǎn)生了深遠影響。《概率論沉思錄》既是一本數(shù)學書，也是一本科學哲學與邏輯學書，甚至一本生活智慧書。書中提供大量生活實例和常識的解讀，也講述了概率統(tǒng)計的歷史脈絡，在物理學、數(shù)學、經(jīng)濟學、生物學等領域中的廣泛應用。

《概率論沉思錄》

作者：埃德溫·湯普森·杰恩斯

譯者：廖海仁

著名數(shù)學物理學家，圣路易斯華盛頓大學和斯坦福大學教授，統(tǒng)計力學和概率統(tǒng)計推斷方面權(quán)謀埃德溫·湯普森·杰恩斯，40年思想著作；

無數(shù)讀者苦等15年的概率論神作，英文版豆瓣評分9.4高分；

概率論作為邏輯的延伸，是所有科學推斷的基礎。本書收集了概率統(tǒng)計的各種線索，將概率和統(tǒng)計推斷融合在一起，用新的觀點生動地描述了概率論在物理學、數(shù)學、經(jīng)濟學、化學和生物學等領域中的廣泛應用，尤其是闡述了貝葉斯理論的豐富應用，彌補了傳統(tǒng)概率論和統(tǒng)計學的不足，并揭開了眾多悖論背后的玄機。

“幾何”味的“微分幾何”

本書并不是一定要當作一部正在上演的五幕正劇才能完全讀懂．盡管如此，我還是認為書中的故事情節(jié)很重要，這種非常規(guī)的結(jié)構(gòu)和書名也都很合適，理由如下．首先，我力求用演出戲劇的方式來展現(xiàn)微分幾何的思想，就如我看待它們的方式一樣，不僅要看到它們的歷史發(fā)展，而且（更重要的是）要看到它們的層級關(guān)系，各種想法相互關(guān)聯(lián)的影響，以及它們在數(shù)學其他領域和物理學中令人想象不到的含義．

其次，這部所謂的五幕劇中每一幕的劇情都（或多或少）符合莎士比亞戲劇的經(jīng)典結(jié)構(gòu)（劇情的這種結(jié)構(gòu)并非都是有意設計的，更多的是內(nèi)容自然演進而形成的），特別是預期中的劇情“高潮”確實就出現(xiàn)在第三幕：曲率．事實上，在開始寫作本書幾年后的一天，我突然清楚地意識到：我撰寫的東西就是一部五幕數(shù)學劇．就在這一天，我“更正”了本書的書名，并將之前的五“部分”改為五“幕”．

· 第一幕：空間的本質(zhì)

· 第二幕：度量

· 第三幕：曲率

· 第四幕：平行移動

· 第五幕：形式

前四幕實現(xiàn)了我的承諾，相互獨立、有“幾何”味地介紹了微分幾何．第四幕是真正的“數(shù)學動力站”，它使得我們最終可以用幾何方法證明前三幕中的許多論斷．

這幾幕主題的幾個方面是非正統(tǒng)的，處理它們的幾何方法也是非正統(tǒng)的．在此，我們只說三個最重要的例子．

第一，第三幕是整部劇的高潮，而這一幕的高潮是全局高斯 – 博內(nèi)定理——這是連接局部幾何與全局拓撲的著名定理．這個話題的內(nèi)容是標準的，但我們的處理方法就不是標準的了．為了突出這個定理的中心地位和根本重要性，我們?nèi)挤帕艘唤M豪華的“數(shù)學煙花”：用五章的篇幅來討論它，還貢獻了四個不同尋常的證明，每個證明都體現(xiàn)了對證明結(jié)果和微分幾何根本性質(zhì)的新見解．

第二，從二維曲面到 n 維空間（稱為“流形”）的轉(zhuǎn)換（通常在研究生階段學習）常常是令學生困惑和害怕的內(nèi)容．第 29 章（在本書中篇幅第二長）通過集中研究三維流形的曲率（這是能夠可視化的），尋求建立一座跨越這個鴻溝的橋梁．

當然，我們討論的框架是可以應用到任意維流形的．我們利用這種方法引入了著名的黎曼張量，用它來度量 n 維流形的曲率．我們直觀、有幾何味地介紹了黎曼張量，在技術(shù)上是完整的．

第三，我們覺得，黎曼張量在自然科學的競技場上單槍匹馬就能取得光輝、偉大的勝利，在充分討論了黎曼張量之后，繼續(xù)隱藏這一點就不好了．所以，在第四幕的最后，我們用很長的篇幅有幾何味地介紹了愛因斯坦偉大的廣義相對論：物質(zhì)和能量的引力作用于四維時空，引起時空彎曲．這一章在本書中篇幅第三長，不僅（完全用幾何的語言）討論了（愛因斯坦在 1915 年發(fā)現(xiàn)的）著名的引力場方程，而且介紹了它在黑洞、引力波和宇宙學最新研究中的意義．

現(xiàn)在，我們來到第五幕，這是與前四幕具有不同特點的一幕．我們在此力求完成本書的第二個目標，它與第一個目標截然不同，但同樣意義非凡．

即使最瘋狂的幾何迷也不得不承認，（開篇引語中描述的）阿蒂亞的殘忍機器是個繞不開的惡魔，但是，如果我們必須做計算，至少也要做得非常優(yōu)雅．幸運的是，從 1900 年開始，埃利·嘉當就建立了一種簡潔有效的新計算方法．它首先用于研究李群，而后為微分幾何提供了一種新的研究途徑．

嘉當?shù)陌l(fā)現(xiàn)稱為“外微分”，它的研究對象及其微分式和積分式統(tǒng)稱為“微分形式”（本書中簡稱為“形式”）．我們將在第五幕的最后，用本書篇幅最長的一章，跟隨嘉當?shù)闹敢?，最終展示這種方法的優(yōu)美和有效性——用符號運算的方法重新證明在前四幕中已經(jīng)用幾何方法證明了的結(jié)論．不僅如此，微分形式還將幫助我們完成一些在前四幕里做不到的事情：特別是，它們給出了一種通過曲率 2 次微分形式（簡稱為 2-形式）來計算黎曼張量的方法，既有效又優(yōu)美．

然而，我們首先要充分發(fā)揮嘉當思想自身的實力，在完全不依賴前四幕內(nèi)容的前提下，引入完整的微分形式理論．為避免造成任何困惑，我們再說一次：第五幕中的前六章與微分幾何沒有絲毫關(guān)系！我們這樣做的原因是，微分形式在數(shù)學、物理學和其他一些學科的不同領域內(nèi)都有成果豐富的應用．我們的目的是使微分形式能被盡可能廣泛的讀者所接受，即使他們的主要興趣不是微分幾何．

為達到此目的，我們努力尋求一種比常用方法更直觀、更形象的辦法來討論微分形式．盡管如此，也請不要有任何幻想：第五幕的主要目的就是建造一臺“魔鬼機器”（只需要本科水平就可以完成），一種非常有力的計算方法．這些微分形式的威力使我們回憶起復數(shù)：可謂一石激起千層浪，嘉當?shù)奈⒎中问侥芙忉尩臇|西比它的發(fā)現(xiàn)者要求的還要多得多．這真是個理想的形式，堪稱妙手偶得！

只需舉一個例子就夠了：微分形式可以統(tǒng)一闡明向量微積分中的所有公式．可以說，這就是本科生的一本啟示錄，只要允許他們?nèi)プx就行了．事實上，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式僅僅是微分形式的一個定理在不同情況下的表現(xiàn)方式，而這個定理比這些特殊情況下的表現(xiàn)方式更簡單．盡管從數(shù)學到物理學，微分形式都具有不可置疑的重要性，但是絕大多數(shù)本科生在離開學校之前未學到過微分形式，我早就認為這是個問題．只有屈指可數(shù)的幾本本科生的（向量微積分或微分幾何）教科書曾經(jīng)提到過微分形式，并且告訴學生這個內(nèi)容歸屬于研究生課程．

如此可悲的狀況已經(jīng)持續(xù)了一個多世紀，我仍未看到即將發(fā)生重大改變的任何跡象．作為回應，第五幕要做的不是咒罵黑暗，而是點燃一支蠟燭，奮力去說服讀者相信嘉當?shù)奈⒎中问剑捌浠A“張量”）既簡單又優(yōu)美，說服讀者相信它們（還有嘉當?shù)拿郑┲档贸蔀楸究粕n程的一個標準組成部分．這就是第五幕的宏偉目標．在前四幕讓讀者沉浸于純粹的幾何之后，最后一幕就是代數(shù)計算的表演，稱得上是一個暢快淋漓的大結(jié)局．