三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)和日常生活中的重要性不必多說(shuō)，今天主要聊聊學(xué)好三角函數(shù)的幾個(gè)關(guān)鍵步驟。

要想透徹理解三角函數(shù)的基本概念，關(guān)鍵點(diǎn)在于如何靈活運(yùn)用單位圓和三角函數(shù)線這兩個(gè)基本工具。

我們一步一步地來(lái)詳細(xì)說(shuō)明：

銳角三角函數(shù)對(duì)正弦、余弦、正切的定義非常簡(jiǎn)單，就是幾個(gè)比值而已：

直角三角形ABC中，阿爾法角的正弦就是角的對(duì)邊與斜邊的比值

余弦是阿爾法角的鄰邊和斜邊的比值：

正切比較特殊一點(diǎn)，是阿爾法角的正弦和余弦的比值，其實(shí)也就是對(duì)邊和鄰邊的比值:

雖然用“比值”這個(gè)方法引入一個(gè)新的概念，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和化學(xué)上常常用到，但多少有點(diǎn)讓人摸不著頭腦，因?yàn)樗莾蓚€(gè)變量相比較產(chǎn)生的，看不見(jiàn)、摸不著，并不直觀，需要大腦進(jìn)行二次抽象，很多學(xué)生在此處會(huì)出現(xiàn)思維打結(jié)的現(xiàn)象，捋不順溜。

比如前面說(shuō)過(guò)的三角學(xué)中的“弧度”這個(gè)概念，它也是用一個(gè)比值來(lái)定義的。詳情請(qǐng)參看——）

并且這種定義方法對(duì)于大于90度的鈍角立馬就顯得無(wú)能為力，比如對(duì)120度、150度的角，因?yàn)檫@時(shí)候你發(fā)現(xiàn)，角的對(duì)邊和鄰邊以及斜邊到底是哪一個(gè)呢？

這會(huì)讓人感到很迷惑。

那么有沒(méi)有新的方法對(duì)角的正弦、余弦、正切進(jìn)行直觀的定義，并且這種定義對(duì)任意角也適用呢？

有，那就需要引入“單位圓”這種工具。

一、單位圓的概念

咱們還是拿上面的直角三角形來(lái)介紹單位圓是怎么引入的。

在上面的直角三角形ABC中，阿爾法角的正弦是對(duì)邊比斜邊，余弦是鄰邊比斜邊，假如我們把這個(gè)三角形的斜邊AC的長(zhǎng)度人為地限定為單位1，這樣阿爾法角的正弦和余弦立馬就變成了這樣：

顯然，這樣就顯得直觀多了，如果我們把這個(gè)三角形放入直角坐標(biāo)系一個(gè)半徑為1的圓中，那么就變成下面這個(gè)樣子：

我們現(xiàn)在把這個(gè)半徑為1的圓稱為單位圓。

有了這個(gè)單位圓，一個(gè)角的正弦、余弦值就可以只用一個(gè)變量來(lái)表示，這樣就顯得直觀多了：

正弦=BC，也就是點(diǎn)C在直角坐標(biāo)系的縱坐標(biāo)值y；

余弦=AB，也就是點(diǎn)C在直角坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)值x。

好了，到了這里，我們把角的正弦值可以直接用線段BC的長(zhǎng)度來(lái)表示，把角的余弦值用線段AB的長(zhǎng)度來(lái)表示。

二、三角函數(shù)線的概念

現(xiàn)在我們更進(jìn)一步：因?yàn)榫€段BC的長(zhǎng)度就是角的對(duì)邊和斜邊的比值，所以我們稱線段BC為阿爾法角的正弦線；

我們同時(shí)規(guī)定：一個(gè)角的正弦，是指從角的終邊和單位圓的交點(diǎn)，向x軸做垂線得到的垂線段的長(zhǎng)度。

如果這條垂線段在y軸的正半軸，則這個(gè)長(zhǎng)度為正值；

如果這條垂線段在y軸的負(fù)半軸，則這個(gè)長(zhǎng)度為負(fù)值；

同樣，因?yàn)榫€段AB的長(zhǎng)度就等于角的鄰邊和斜邊的比值，所以我們把線段AB稱為阿爾法角的余弦線；

我們同時(shí)規(guī)定：一個(gè)角的余弦是指從角的終邊和單位圓的交點(diǎn)處，向y軸做垂線得到的垂線段的長(zhǎng)度。

如果這個(gè)線段在x軸的正半軸，則這個(gè)長(zhǎng)度為正值；

如果這個(gè)線段在x軸的負(fù)半軸，則這個(gè)長(zhǎng)度為負(fù)值；

不過(guò)，現(xiàn)在有點(diǎn)遺憾的是角的正切還是按照比值來(lái)定義的，我們能否在單位圓中也找到一條線段來(lái)表示阿爾法角的正切值呢？

當(dāng)然可以，如下圖：

現(xiàn)在，我們把AB延長(zhǎng)，交單位圓于D，從點(diǎn)D做單位圓的切線，交AC的延長(zhǎng)線于E，這樣，阿爾法角的正切值就可以用這條切線中線段DE的長(zhǎng)度來(lái)表示，這是因?yàn)椋?/p>

所以，我們把線段DE稱為阿爾法角的正切線。

我們同時(shí)規(guī)定：從角的始邊和單位圓的交點(diǎn)處做該圓的切線，這條切線和角的終邊相交，兩個(gè)交點(diǎn)之間形成的切線段長(zhǎng)度就為這個(gè)角的正切值。

注意：正切線是指從角的始邊和單位圓的交點(diǎn)，也就是在x軸的正方向，做單位圓的切線，不能從x軸負(fù)方向做切線。如果角的終邊不在一、四象限，那么這條切線和二、三象限角終邊的反向延長(zhǎng)線相交。

如果這條線段落在y軸的正半軸，則角的正切值為正值。

如果這條線段落在y軸的負(fù)半軸，則角的正切值為負(fù)值。

我們把阿爾法角的正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為阿爾法角的三角函數(shù)線。

引入了單位圓和三角函數(shù)線這兩個(gè)工具之后，我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)第一象限角的三角函數(shù)值都可以用單位圓上的線段長(zhǎng)度來(lái)表示，這也太直觀了，看得見(jiàn)、摸得著，手拿把掐就把三角函數(shù)值搞定了。

且慢！這只是在第一象限的角，我們能直觀的用線段長(zhǎng)度來(lái)表示三角函數(shù)值，那么，在其它象限的角是否也可以如法炮制呢？

當(dāng)然可以，如法炮制！看圖：

貝塔角終邊落在第二象限，它的正弦線是CD，正弦值是線段CD的長(zhǎng)度，線段落在Y軸正半軸，所以，正弦值為正值。

余弦線是AD，余弦值為線段AD的長(zhǎng)度，落在x軸負(fù)半軸，所以，余弦值為負(fù)值。

正切線為BT，正切值為線段BT長(zhǎng)度，落在y軸負(fù)半軸，所以，正切值為負(fù)值。

如果角的終邊落在第三、第四象限呢？

如法炮制，如法炮制而已。略過(guò)略過(guò)。

看，有了這個(gè)三角函數(shù)線，任何一個(gè)角的正弦值、余弦值、正切值都是可以變成在單位圓上看得見(jiàn)、摸得著的線段長(zhǎng)度，大小、正負(fù)都一眼可知，完全不用絞盡腦汁的瞎想一通了。

嗯，一切都是最好的安排。

三、單位圓、三角函數(shù)線有什么用途？

用途大著呢，首先是直觀，容易記憶，不再是瞎子摸象了，記住一次就不會(huì)再忘，這一條特別重要，因?yàn)橛≡谘劬锏臇|西比記在腦子里的東西更不容易忘記。

第二：三角函數(shù)線更重要的作用在于推導(dǎo)誘導(dǎo)公式。特別特別重要。

為什么呢？

因?yàn)槿绻萌呛瘮?shù)線這個(gè)工具，推導(dǎo)各類誘導(dǎo)公式的時(shí)候，直接畫(huà)圖就可以了，特別直觀。

感謝您的閱讀！