您可能知道三個(gè)主要的三角函數(shù)——正弦、余弦和正切。您可能還知道一些額外的三角函數(shù)，稱為正割、余割和余切。您可能已經(jīng)看到，反三角函數(shù)有時(shí)被稱為反正弦、反余弦等。

但是這些名字是從哪里來(lái)的呢？

在本文中，我們將了解這些名稱的來(lái)源。

如果您不熟悉圓的弦、切線和正割，請(qǐng)查看圓文章的各個(gè)部分。

初級(jí)三角函數(shù)——正弦、正切、正割

當(dāng)我們考慮主要的三角函數(shù)時(shí)，我們通常會(huì)想到正弦、余弦和正切。這些是最常用于解決三角函數(shù)問(wèn)題的函數(shù)。

但從歷史上看，正弦函數(shù)、正切函數(shù)和正割函數(shù)被認(rèn)為是主要函數(shù)。

為什么是這樣？如果我們?cè)谝粋€(gè)單位圓內(nèi)形成一個(gè)三角形，中心有一個(gè)角a ，那么正弦函數(shù)、正切函數(shù)和正割函數(shù)將告訴我們?nèi)齻€(gè)邊中每一個(gè)的長(zhǎng)度，以a表示。每個(gè)功能都以其相關(guān)的方面命名。

正弦函數(shù)

正弦函數(shù)與圓的弦有關(guān)。弦是圓周上兩點(diǎn)之間的線。這是一個(gè)圓的弦的例子：

正弦這個(gè)詞是圓的弦的舊術(shù)語(yǔ)。它起源于梵語(yǔ)中的弓弦（如弓箭），因?yàn)閳A的弦和圓弧看起來(lái)很像弓：

要了解正弦函數(shù)與圓的弦的關(guān)系，我們可以在單位圓內(nèi)畫一個(gè)三角形：

這里，直角三角形POQ在中心有一個(gè)角a 。斜邊OP的長(zhǎng)度為 1，因?yàn)樗菃挝粓A的半徑。與角a相對(duì)的一側(cè)的長(zhǎng)度為x。

正弦函數(shù)的定義是：

現(xiàn)在，如果我們繪制第二個(gè)全等三角形ROQ，我們可以看到直線PR形成圓的弦：

所以sin a告訴我們長(zhǎng)度x，它是構(gòu)成弦PR一部分的三角形邊的長(zhǎng)度。我們稱它為正弦函數(shù)，因?yàn)檎冶硎竞拖摇?/span>

實(shí)際上，長(zhǎng)度x等于弦長(zhǎng)的一半。正弦函數(shù)有時(shí)被稱為半弦函數(shù)，盡管現(xiàn)在很少使用該術(shù)語(yǔ)。

正切函數(shù)

如您所料，正切函數(shù)與圓的切線有關(guān)。圓的切線是與圓的圓周相切但不與圓相交的線。這是一個(gè)例子：

我們可以再次在單位圓內(nèi)畫一個(gè)三角形來(lái)發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)與圓的正切的關(guān)系：

這個(gè)三角形TOS與我們?yōu)檎液瘮?shù)繪制的三角形不太一樣。前面的三角形有一條長(zhǎng)度為 1 的斜邊，這個(gè)三角形的邊與長(zhǎng)度為 1 的角a相鄰。

對(duì)邊ST的長(zhǎng)度為y。

該圖還顯示了圓的切線，即直線SU。ST是該切線的一部分。

正切函數(shù)的定義是：

所以tan a告訴我們長(zhǎng)度y。這是構(gòu)成切線SU一部分的三角形ST的邊長(zhǎng)。

因此我們稱它為正切函數(shù)。

正割函數(shù)

正如您所料，正割函數(shù)與圓的正割有關(guān)。割線是在兩個(gè)地方穿過(guò)圓周的線。割線類似于弦，只是它延伸到圓周之外：

這次我們繪制與切線示例相同的三角形TOS ：

在此圖中，斜邊SO 的長(zhǎng)度為z。鄰邊OT 的長(zhǎng)度為 1，因?yàn)樗菃挝粓A的半徑。

線SV是圓的割線，因此斜邊SO是割線的一部分。

正割函數(shù)是余弦函數(shù)的倒數(shù)，所以定義為：

所以sec a告訴我們長(zhǎng)度SO ，它是構(gòu)成割線SV一部分的三角形邊的長(zhǎng)度。所以我們稱它為正割函數(shù)。

二次三角函數(shù) - 余弦、余切、余割

輔助三角函數(shù)的名稱是通過(guò)將前綴co添加到其中一個(gè)主要函數(shù)的名稱而形成的。這表明該函數(shù)是基于互補(bǔ)角的。

在直角三角形中，兩個(gè)銳角a和b稱為余角：

角a和b總和為 90 度。

在三角函數(shù)的情況下，主要函數(shù)基于圓心的角度（我們一直稱之為a）。輔助功能基于互補(bǔ)角b。

余弦函數(shù)

這是我們之前用來(lái)說(shuō)明正弦函數(shù)的圖表，但這次也顯示了余角b ：

我們之前已經(jīng)看過(guò)正弦函數(shù)的方程式：

需要明確的是， sin a的值告訴我們角度a的長(zhǎng)度PQ（即x ） 。cos b的值也告訴我們x的值，但是根據(jù)角度b。

當(dāng)然，邊PQ與角a相對(duì)，但它與角b相鄰，因此替換邊名稱可以得到余弦的常用公式：

余切和余割函數(shù)

余切函數(shù)可以類似的方式找到。我們不會(huì)詳細(xì)討論它，但是角cot b的公式使用與tan a相同的邊，但切換相反和相鄰：

反三角函數(shù)

反三角函數(shù)允許我們從兩側(cè)找到角度，例如，如果：

此反正弦函數(shù)有時(shí)稱為反正弦的反正弦。同樣，反正切可以稱為arctangent或arctan等。

為什么是這樣？好吧，如果我們?cè)趩挝粓A的中心以弧度為單位測(cè)量一個(gè)角度，那么它創(chuàng)建的弧的長(zhǎng)度等于該角度。這是arcsin的說(shuō)明：

x的反正弦等于圓弧PW的長(zhǎng)度。當(dāng)然，它也等于角度a 。