2023年08月專業(yè)筆記

揭秘宇宙萬(wàn)物運(yùn)行規(guī)律的數(shù)學(xué)——《常微分方程》關(guān)鍵公式的推導(dǎo)和例題詳解

本文給出了《常微分方程》中常用的重要公式的推導(dǎo)過(guò)程和詳細(xì)的解釋。從工科應(yīng)用的角度出發(fā)，重點(diǎn)放在常用方程的求解計(jì)算。對(duì)于解的存在性定理等理論性太強(qiáng)的定理不做討論。本文分以下幾部分：<0>從實(shí)例引入 <1>一階微分方程 <2>高階微分方程 <3>微分方程組 <4>精選試題

圖1 微分方程知識(shí)體系結(jié)構(gòu)

<0>從實(shí)例引入

正如標(biāo)題所言，常微分方程（Ordinary Differential Equation）是一門揭秘宇宙萬(wàn)物運(yùn)行規(guī)律的數(shù)學(xué)。著名科幻小說(shuō)《三體》中數(shù)學(xué)天才魏成如癡如狂的計(jì)算推演三體星球的運(yùn)行規(guī)律，用的數(shù)學(xué)工具就是微分方程。從數(shù)學(xué)上說(shuō)，微分方程是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具，在科技、工程、經(jīng)濟(jì)管理、生態(tài)、環(huán)境、人口、交通等各領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。但是任何數(shù)學(xué)要發(fā)揮作用，首先要建立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。這里以一個(gè)導(dǎo)彈跟蹤問(wèn)題為例來(lái)建立微分方程模型。

<1>一階微分方程

圖2 一階微分方程知識(shí)結(jié)構(gòu)

<1.1>線性方程的通解

的通解公式

<1.2>恰當(dāng)方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的解

<1.3>伯努利方程的解法

,變量代換設(shè)，把它轉(zhuǎn)化成線性方程解決。

<1.4>里卡提方程的解法

已知一個(gè)特解，通過(guò)變量代換 ，把它轉(zhuǎn)化成伯努利方程解決。

<2>高階微分方程

<2.1>二階線性常系數(shù)微分方程 （高數(shù)教材節(jié)選）

<2.1.1>二階線性常系數(shù)齊次微分方程

<2.1.2>二階線性常系數(shù)非齊次微分方程

ay”+by’+cy=f(x)

1. 其中

解釋：當(dāng)α是特征方程的單根，則 是齊次方程的解。因此當(dāng)把特解代入方程左邊時(shí)，特解的因子多項(xiàng)式次數(shù)最高項(xiàng)會(huì)消掉。而方程右邊的次數(shù)最高項(xiàng)為m次，于是因子多項(xiàng)式次數(shù)最高項(xiàng)應(yīng)該為m+1次. 并且多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)可省略（因?yàn)辇R次方程的通解里已包含該項(xiàng)）。于是因子多項(xiàng)式=x乘以m次多項(xiàng)式. 同理，當(dāng)α是特征方程的重根，則 和是齊次方程的解。前面的因子多項(xiàng)式次數(shù)最高項(xiàng)會(huì)消掉。于是次數(shù)最高項(xiàng)應(yīng)該為m+1次. 前面多項(xiàng)式提出一個(gè)x再乘以后面里的x，于是因子多項(xiàng)式=乘以m次多項(xiàng)式。

解釋：當(dāng)是特征方程的根，則和都是齊次方程的解。因此當(dāng)把特解代入方程左邊時(shí)，特解的因子多項(xiàng)式次數(shù)最高項(xiàng)會(huì)消掉。而方程右邊的次數(shù)最高項(xiàng)為m次，于是因子多項(xiàng)式次數(shù)最高項(xiàng)應(yīng)該為m+1次. 并且多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)可省略（因?yàn)辇R次方程的通解里已包含該項(xiàng)）。于是因子多項(xiàng)式=x乘以m次多項(xiàng)式.

<2.2>線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)

1）即非齊次方程通解=齊次方程通解+一個(gè)特解。

2）如果當(dāng)f(x)=f1(x)時(shí),有一個(gè)特解 ，

當(dāng)f(x)=f2(x)時(shí),有一個(gè)特解 ，

那么當(dāng)f(x)=f1(x)+f2(x)時(shí),有一個(gè)特解 。

<3>微分方程組

<3.1> （1）的解為 其中Φ(x)是齊次方程組的解矩陣。

<3.2>（1）的解為

<3.3>矩陣指數(shù)計(jì)算 （和）

定義式，實(shí)際計(jì)算步驟：1先把A對(duì)角化，2 再計(jì)算指數(shù)函數(shù)。

<4>精選試題（真題）

<4.1>

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<4.10> ，

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