第十三個公式是：Gal(k/Q)=S₅。Gal(k/Q)代表有理數(shù)Q上的多項(xiàng)式伽羅瓦群，S₅代表5種物體的所有120種排列的群。只要一個多項(xiàng)式的伽羅瓦群等于S₅，與之對應(yīng)的多項(xiàng)式方程就無法用5種基本操作（+，-，÷，×與n次方根）。

啥意思呢，還記得之前的卡爾達(dá)諾公式吧，那是求得了三次方程通解的根式。延伸下去，自然大家就想，二次方程有根式通解，三次也有，那四次，五次呢？這個公式就是用來解決五次方程是否能有通解這個判斷的工具。

這個公式是由挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾和法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦共同確定的，當(dāng)然并不是兩人合作，而是阿貝爾找到了途徑，伽羅瓦確定成型。這兩個人都只活了二十來歲，阿貝爾26歲因肺結(jié)核去世，伽羅瓦21歲因決斗去世。阿貝爾出身沒落的官宦家庭，其數(shù)學(xué)才能為學(xué)校教授們所賞識，并且認(rèn)為挪威這個小地方無法容納他的才華，學(xué)校教授們共同請示挪威國王，給了阿貝爾一筆獎學(xué)金，讓他去丹麥哥廷根和巴黎留學(xué)。阿貝爾留學(xué)了兩年，卻沒有給當(dāng)時的數(shù)學(xué)界大拿高斯、柯西留下任何印象。他把自己最重要的論文交給了巴黎科學(xué)院，柯西卻把這篇論文一直鎖在抽屜里忘記了，直到阿貝爾去世多年后才發(fā)表出來。阿貝爾回到挪威后，發(fā)表一系列論文，瞬間就征服了高斯和柯西，他們也才發(fā)現(xiàn)這小伙其實(shí)在自己眼皮下路過過。于是趕緊向阿貝爾發(fā)出邀請，不過阿貝爾卻很快因?yàn)榉谓Y(jié)核去世了。

伽羅瓦運(yùn)氣也實(shí)在不行，他也同樣的，交了論文給柯西，柯西照樣也給弄丟了！柯西這么一個大數(shù)學(xué)家，卻連續(xù)兩次把數(shù)論史上最重要的兩篇論文弄丟過。伽羅瓦后來對此一直耿耿于懷，尤其聯(lián)想到他之前的阿貝爾的遭遇。伽羅瓦也因?yàn)樯孀惴▏蟾锩?，而屢屢入獄，這也是造成他沒有得到更大發(fā)展的原因。后來居然去跟人家決斗，被打死了。

他們兩人的工作，實(shí)際上是提出了群論和對稱性的概念。在解決五次方程根的問題時，他們發(fā)現(xiàn)了五個解能夠構(gòu)成一個數(shù)群，數(shù)群就像一個金字塔構(gòu)造一樣。同時，這五個解不論如何在方程中排列，表達(dá)式也不會發(fā)生改變，總和也不會發(fā)生改變。因此，一個標(biāo)準(zhǔn)的五次多項(xiàng)式可以有120種對稱性排列。他們還發(fā)現(xiàn)，一個有根式解的五次多項(xiàng)式方程可允許的排列數(shù)是20以內(nèi)。

對稱群是一種基本的工具，現(xiàn)在反過來想應(yīng)該是像工具中的輪子一樣的東西，但卻直到大家開始造飛機(jī)了，才發(fā)現(xiàn)輪子是起飛的重要保證。這一基礎(chǔ)工具，居然到了后來的理論物理學(xué)描述亞原子領(lǐng)域?qū)ΨQ性時，發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。

第十四個公式是：ds²=(dx²+dy²)/y²。非歐幾何的勾股定理，dx和dy代表一個無窮小的三角形的直角邊，ds代表它的斜邊。

非歐幾何的創(chuàng)造性，與之前漢密爾頓的四元數(shù)是一樣的強(qiáng)悍。這兩門數(shù)學(xué)分支都需要有完全獨(dú)斷的勇氣，敢于否認(rèn)眼見為實(shí)這種經(jīng)驗(yàn)，即便是見了棺材也不掉淚的勇氣。非歐幾何來源于歐幾里得幾何體系中的一個裂縫——平行線的公理假設(shè)，這是歐幾里得體系最基礎(chǔ)的五大柱石型假設(shè)，不容置疑的假設(shè)。但相比其他四條公理，這條公理一直顯得有點(diǎn)別扭。于是千百年來吸引了無數(shù)人窮盡一生之力去證明它，卻始終沒有得到回報(bào)。

十九世紀(jì)中葉，天才級的高斯在處理這個問題時，也沒有結(jié)果，但他的能力讓他意識到，也許就是從這個平行線假設(shè)無法得到證明的地方，可以發(fā)展出一個新的幾何體系。接著他的密友沃爾夫?qū)膬鹤硬s爾也加入了論證的陣營，經(jīng)過一番艱苦努力，波約爾拿出了論文，也認(rèn)為可能存在一種新的幾何學(xué)。這篇論文卻被高斯否定了，高斯認(rèn)為不值得為這個論證耗費(fèi)如此多的精力。但高斯的學(xué)生黎曼則繼續(xù)這條道路前行，從老師對二維空間的曲率理解，推導(dǎo)到了三維四維空間的曲率理解。另一個獨(dú)立發(fā)現(xiàn)非歐幾何的，就是偉大的羅巴切夫斯基。

非歐幾何揭示的，其實(shí)是人類的理性到了極致，同樣可以與佛教哲學(xué)那樣，看透我們所理解的常規(guī)世界的扭曲和錯誤之處。它告訴人類，人所認(rèn)知的世界，實(shí)際上是根據(jù)人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)塑造出來的。舉個例子，一只生活在一個大地球儀上的螞蟻，它不會有我們所具有的常規(guī)性的幾何知識，那么在它的眼中，兩條平行線最終會在它所居住的世界的南北兩極匯聚起來，而不是永遠(yuǎn)不相交；三角形的內(nèi)角和也不是180度，而可以再大一點(diǎn)，存在有兩個直角的三角形等等。還有生活在海洋深處的鯨魚，如果它們單純靠聲波來進(jìn)行交流和探測的話，那么他們眼中的直線距離，在我們看來就是圓形——聲波傳播的速度是與海洋的深度呈正比的。

即便是我們自己，也可以通過轉(zhuǎn)換位置來看到差異——站在地球表面我們看到的自由落體運(yùn)動，是直線；但轉(zhuǎn)移到近地軌道上，不論是衛(wèi)星、飛船、月球，其實(shí)都在向地球做自由落體運(yùn)動，但它們的自由落體運(yùn)動卻成了圓周型。有意思吧？

多么奇怪的世界！是人的認(rèn)知在塑造世界，而不是反過來。

第十五個公式是：

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這是高斯發(fā)明的計(jì)算小于n的質(zhì)數(shù)數(shù)量的公式。當(dāng)然，是近似，數(shù)字n越大，估計(jì)會越準(zhǔn)確。

大概是在二十年前還在學(xué)校時，得知高斯在大學(xué)期間發(fā)明出了用尺規(guī)方法畫正十七邊型。其時只覺得牛，但沒有想出來是怎么畫的。又過了好幾年后，工作期間與人聊天，才明白可以把圖形解析為一個代數(shù)問題，即怎樣求出360的17等分，也就是求一個多項(xiàng)式方程的根。高斯就是這么干的，他解出了這個方程X¹⁷=1。也正是通過這個正十七邊型，他推導(dǎo)出一個定理——如果整數(shù)n的所有奇質(zhì)數(shù)因子都比2的某次冪多1，且這些奇質(zhì)數(shù)因子只在n中出現(xiàn)一次，則正n邊型可以畫出來。尤其是引發(fā)了質(zhì)數(shù)思考。

質(zhì)數(shù)是個奇怪的東西，它在數(shù)軸上的分布幾乎是沒有規(guī)律的，高斯猜想，質(zhì)數(shù)在數(shù)軸上的密度隨著n的自然對數(shù)ln（n）成比例下降。由此開發(fā)了上述公式。這個公式的意義在于，當(dāng)n越大，則估計(jì)會越準(zhǔn)確。

第十六個公式是傅里葉級數(shù)公式。級數(shù)是我個人一直沒搞明白的東西，只知道傅里葉級數(shù)可以把任何事物的變化都加總為正弦波組合的形式。傅里葉是典型的現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維——用函數(shù)來表達(dá)一切變化和因果關(guān)系，他的級數(shù)就是從模擬熱傳導(dǎo)過程發(fā)現(xiàn)的。

第十七個公式是麥克斯韋四個方程，四個方程概括了電磁學(xué)的全部。麥克斯韋的推導(dǎo)過程再次證明了一個神奇的事實(shí)——越是空，越接近本質(zhì)。麥克斯韋對電磁現(xiàn)象的研究是通過三篇論文達(dá)成的，前兩篇論文他一直在沿用牛頓的機(jī)械觀解釋電場與磁場關(guān)系，他用了一大堆自旋的或正旋或逆旋的無形的齒輪來描述場的作用。結(jié)果在他測算出磁場傳播速度與光速是一回事之后，他意識到光、電、磁可能有同一性，于是終于放棄了對實(shí)在物的信念，完全依賴數(shù)學(xué)推導(dǎo)——理性體悟，接受空空如也的現(xiàn)實(shí)，找到了統(tǒng)一電磁理論的四個簡潔明了的方程——這四個方程與物質(zhì)和粒子毫無關(guān)系，從空到空。越是簡潔，卻越說明內(nèi)涵之深邃，以及相關(guān)工作的艱巨。

第十八個是質(zhì)能方程。無須多言。值得一提的是，愛因斯坦通過純粹數(shù)學(xué)推導(dǎo)下的猜想，找到了在時間流動和空間變化過程中的裂縫，這些裂縫因?yàn)槲覀兊乃俣扰c光速相比天差地別，因而既有認(rèn)知體系無法察覺到。所以愛因斯坦揭示出了難以用常規(guī)語言和觀念理解的時空觀念——我們既有的時空觀其實(shí)都是幻覺和謬誤。無獨(dú)有偶，佛學(xué)則是借助冥想這個個人體驗(yàn)式的方法，逐步剝離我們?nèi)粘Ｇ榫w和觀念所主導(dǎo)的大腦的自動模式（default mode），從而體悟到完全不同的時間感和空間感。

關(guān)于質(zhì)能方程的推導(dǎo)，有很多復(fù)雜的版本，其實(shí)有一個很簡單的方式聯(lián)想——運(yùn)動物體的動能，可以由牛頓方程給出：E=（1/2）mv²。m是物體的質(zhì)量，v是物體的速度，運(yùn)動物體的能量就是那么計(jì)算，任何運(yùn)動物體的能量都可以寫為：E=（1/2）mv²₁-（1/2）mv²₂的形式，v₁和v₂就是指物體從一個速度狀態(tài)變換到另一個速度狀態(tài)——這是高中物理知識，其中有一個常識假設(shè)——m是不變的。把這個放到狹義相對論體系里考慮，假設(shè)速度v為光速，光速c是常量不變，那么運(yùn)動物體的動能就不是由速度決定的，根據(jù)能量守恒，那就只有質(zhì)量發(fā)生了變化——也就是說，運(yùn)動導(dǎo)致質(zhì)量變化，從而讓物體有了多余的動能，也就應(yīng)該寫為E=（1/2）m₁c²-（1/2）m₂c²。這個質(zhì)量的變化，簡單的換算一下就是：m₁-m₂=E/c²。也就是那個著名的E=mc²的推導(dǎo)過程。是的，你看出來其中有些計(jì)算細(xì)節(jié)被忽略了，愛因斯坦真就是這么干的，他其實(shí)并沒有從數(shù)學(xué)上證明質(zhì)能方程，他就是這么做了個近似處理，不過這已經(jīng)夠了。

第十九個公式是：

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ψ是波函數(shù)，m是質(zhì)量，α和β是自旋矩陣旋量，p是動量。這是狄拉克的粒子能量方程。矩陣自旋量其實(shí)就是漢密爾頓發(fā)明的四元數(shù)組，也就是用一個矩陣來代表粒子的狀態(tài)。粒子的能量決定于其質(zhì)量、動量和自旋狀態(tài)——對愛因斯坦的修正和細(xì)化——也就是彌補(bǔ)了愛因斯坦的模糊處理。其實(shí)愛因斯坦坦承他在數(shù)學(xué)能力上有欠缺，一直到他拿了諾獎，數(shù)學(xué)在他心中也不怎么受歡迎。他開創(chuàng)了一個領(lǐng)域，接著由狄拉克、海森堡這些數(shù)學(xué)天才來細(xì)化，并且揭示出了一個愛因斯坦自己也不愿相信的領(lǐng)域——量子力學(xué)。

這個方程中的α和β是關(guān)鍵，是對粒子四個狀態(tài)的簡化處理。當(dāng)時認(rèn)為，粒子應(yīng)該只有兩種狀態(tài)，要么逆時針自旋，要么順時針自旋，哪來的額外兩個狀態(tài)？狄拉克當(dāng)時也不知道，他只不過是進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出這個結(jié)論。后來他猜測，是不是還有一種沒發(fā)現(xiàn)的粒子，跟前面兩種狀態(tài)是相反的？——反物質(zhì)。

大家笑得要死。結(jié)果不到一年，正電子，也就是電子的反物質(zhì)被發(fā)現(xiàn)了——數(shù)學(xué)之可怕。

現(xiàn)在大家知道了，四元數(shù)組中一組代表了兩組不同的粒子，一種是玻色子——光子就是，還有一組是費(fèi)米子——電子、質(zhì)子和中子就是。他們有不同的性質(zhì)，玻色子喜歡集群——所以會有激光這種東西產(chǎn)生；費(fèi)米子喜歡獨(dú)來獨(dú)往，所以原子的最低能級上頂多能共處兩個電子——這就解釋了元素周期律。

而且，狄拉克方程也告訴我們，宇宙中不是看起來那樣空蕩蕩的，真空里充斥了各種正反能量，時不時就可以無中生有出來。

狄拉克本人一生沉默寡言，當(dāng)他因?yàn)檫@個方程獲得諾獎時，他的第一反應(yīng)是拒絕，因?yàn)樗X得出名不利于他的研究。——一個這樣沉默寡言不好獎項(xiàng)的科學(xué)家，照樣可以擁有自己的研究條件和自由發(fā)展空間，這恐怕不是用個人的勤奮和天才能解釋到位的。

第二十個公式是：

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陳省身-高斯-博內(nèi)公式。M代表一個無邊界的偶數(shù)維空間或宇宙，χ（M）是該空間的歐拉示性數(shù)，Ω是空間的曲率，這個公式是告訴我們，如果知道空間里每一點(diǎn)的曲率，就可以推導(dǎo)出這個宇宙的總體形狀信息?！媸切?/strong>。

簡單說，牛頓時代的空間，是固定的三維視角，空間處處均等；到愛因斯坦時代，看到了彎曲的空間，有曲率，但曲率是一定的；到陳省身，則拋棄了之前的所有“一定”假設(shè)，可以不用坐標(biāo)系，考察一個空間的性質(zhì)——曲率也是在持續(xù)流變的空間，所謂微分幾何。

第二十一個公式是：2^Ξ0=Ξ₁。康托爾的連續(xù)統(tǒng)假說。Ξ₁是次最小的基數(shù)性，Ξ₀是最小無限整數(shù)集的基數(shù)性的大小。這個公式是說，實(shí)數(shù)集是整數(shù)集之后的次最小數(shù)字集合。

無限有大小嗎？其實(shí)是有的。一些深刻的數(shù)學(xué)觀念，因?yàn)閷I(yè)門檻的緣故，沒有成為我們的常識——比如，數(shù)字并不是基礎(chǔ)，集合才是，比如之前說過的1+1=2，你單純從數(shù)字是無法理解的，只有從集合的角度來定義。這是康托爾的證明，一個無限集合S，它的冪的集合將永遠(yuǎn)有著多于S的元素，S的基數(shù)性是n，而S的冪的集合的基數(shù)性則是2ⁿ。無限是有大小的。他反過來又論證，一個可數(shù)無限集，與另一個可數(shù)無限集加總，其實(shí)還是一個可數(shù)無限集，并沒有增加什么。

比如一個可數(shù)無限房間的賓館，來了一群可數(shù)無限的客人，每人一間房，都安排滿了。這時又來了一個客人，他還能不能入住呢？康托爾說，可以，你把1號房間的人安排到2號去，以此類推，這個新來的客人就可以馬上入住。接著他又反過來，當(dāng)我要問第256。。。。號客人住在哪間房？你應(yīng)該是不知道的，因?yàn)樗麄円恢痹趽Q。

好了，這么個研究有什么作用？它涉及數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題，關(guān)系到微積分，微積分就是研究無限接近的，如果連無限是什么也沒搞清楚，咋弄？也正因?yàn)榭低袪枌o限集合的研究，發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)則——沒有真正無限大到可以囊括一切集合的集合，換句話說，你是找不到一個可以統(tǒng)攝無限領(lǐng)域的普遍規(guī)則的——即便是數(shù)學(xué)創(chuàng)造，也是有限的?？低袪栆l(fā)了哥德爾的不完備定理和海森堡的測不準(zhǔn)原理——這兩條定理為人類的理性能力劃定了邊界。

無限這個問題能把人逼瘋——康托爾生前最后幾年就是在瘋?cè)嗽憾冗^的。

第二十二個公式是：dx/dt=-10x+10y, dy/dt=28x-y-xz+10y, dz/dt=-(8/3)z+xy。混沌理論公式，xyz各是一個氣象變量。

至今天氣預(yù)報(bào)也沒有達(dá)到半個世紀(jì)前馮諾依曼預(yù)言的準(zhǔn)確度，原因其實(shí)簡單——混沌，也就是稀里糊涂一團(tuán)糟。這個公式是氣象學(xué)家愛德華·洛倫茲得出來的，粉碎了計(jì)算機(jī)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家對精確度的夢想。

方程展現(xiàn)的是系統(tǒng)中關(guān)鍵變量隨時間的變化趨勢，關(guān)鍵是其中的xz和xy，使得方程組變成了二階非線性，這就是產(chǎn)生混沌的根源。

在洛倫茲眼里，x是對流氣流強(qiáng)度，y是上升與下降氣流間溫度梯度大小，z不明確，代表的事垂直溫度分布相對于線性的畸變——非線性的氣流層溫度分布狀態(tài)。把這個方程組按時間畫出來，就成了一個蝴蝶型圖案。

這個問題延伸出來的，就是著名的三體問題。

第二十三個公式：

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著名的布萊克-斯科爾斯方程，期權(quán)定價公式。V是期權(quán)的價值，S是期權(quán)對應(yīng)資產(chǎn)到期價值，r代表利率，σ代表股價波動性。這個方程代表了經(jīng)濟(jì)學(xué)內(nèi)卷化發(fā)展帶來的錯覺——金融市場可以向經(jīng)典物理世界一樣被精確預(yù)測和控制。

其實(shí)這個公式并沒有告知大家你可以戰(zhàn)勝市場，其隱含了兩點(diǎn)至關(guān)重要的信息——一是方程的左邊，你必須關(guān)注資產(chǎn)本身的價值S，這個價值是在變化的，同時要關(guān)注期限t，波動性或者風(fēng)險蘊(yùn)藏其中，也就是在時間t內(nèi)你要根據(jù)S的變化動態(tài)調(diào)整投資組合。二是方程的右邊，你不做任何舉動，僅把錢存在銀行里吃利息——風(fēng)險最小的投資。市場有效的話，二者其實(shí)是相等的。其實(shí)已經(jīng)告知大家，任何精確的數(shù)學(xué)公式，也無法預(yù)測極端事件。

斯科爾斯本人就職的長期資本管理公司在1998年的慘敗，正是對這個思維的反諷。

對數(shù)學(xué)興趣很足，卻不擅長數(shù)學(xué)，這是個人的煩惱。