試題內(nèi)容

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，交AB于點(diǎn)E，AD=AC， AD、CE交于點(diǎn)F.求證：點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).

解法分享

楊博遠(yuǎn)   王雨辰   王爍杰
楊力鳴   任軒巖   劉依茹

解法分析

條件的初步加工

由題意得：
DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴∠1=∠2.

方法1：相似三角形1

∵AD=AC，
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠2，
∴△ABC～△FCD.
∴AC:FD=BC:CD=2:1，
∴AC=2FD，
∴AD=2FD，
∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).

方法2：相似三角形2

作AG⊥CD于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)O，連接OD.
根據(jù)“等腰三角形三線合一”可證：
AG垂直平分CD，
∴OD=OC，
∴∠3=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OD∥AB，
∴∠4=∠5，
根據(jù)“等式性質(zhì)1”可證：
∠6=∠7，
∴△FOD～△AEC.
∴FD:AC=OD:EC，
根據(jù)“平行線分線段成比例”可證：
點(diǎn)O是CE的中點(diǎn)，
根據(jù)“直角三角形斜邊中線定理”可證：
EC=2OD，
∴AC=2FD，
∴AD=2FD，
∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).

方法3：平行四邊形

作AG⊥CD于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)O，連接OD.
∵DE⊥BC，
∴ED∥AG，
與方法2同理可證：
OD∥AB，
∴四邊形AODE是平行四邊形.
∴AD、OE互相平分，
∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).

方法4：平行線分線段成比例

作AG⊥CD于點(diǎn)G；過BD的中點(diǎn)N作BD的垂線，交AB于點(diǎn)M.
∴DG=CD=BC，BN=ND=BD=BC，
∴BN=ND=DG，
∵AG⊥CD，DE⊥BC，MN⊥BD，
∴AG∥DE∥MN，
∴BM:ME:EA=BN:ND:DG=1:1:1，
∴點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AM的中點(diǎn)，
在△BEC中，由“中位線定理”得：
MD∥EC，
根據(jù)“平行線分線段成比例”可證：
AF:FD=AE:EM=1:1，
∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).

方法5：三角形的重心

作AG⊥CD于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)O.
根據(jù)“等腰三角形三線合一”可證：
DG=CD=BD，
∵AG⊥CD，DE⊥BC，
∴ED∥AG，
∴△BED～△BAG，△COG～△CED，
∴ED:AG=BD:BG=2:3，
OG:ED=CG:CD=1:2，
∴OG=ED，AG=ED，
∴OG:AG=1:3，
∴點(diǎn)O是△ACD的重心，
∴CF是△ACD的中線，
∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).

方法6：全等三角形

延長DC到點(diǎn)G，使CG=CD，連接AG.
根據(jù)SAS證明：△ADB?△ACG，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴EC∥AG，
根據(jù)“平行線分線段成比例”可證：
DF:FA=DC:CG=1:1，
∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).