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1 試題內(nèi)容 通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達到解一題知一類的目的.下面是一個案例. 原題:如圖1,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,連接EF,試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系. (1)思路梳理 因為AB=AD,所以把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合.因為∠ADG=∠B=90°,得∠FDG=180°,點F、D、G共線.根據(jù) ,易證△AFG? ,故EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系是 . (2)類比延伸 如圖2,點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長線上,∠EAF=45°.連接EF,試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明. (3)聯(lián)想拓展 如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°猜想BD、DE、EC之間的數(shù)量關(guān)系,不必說明理由.
圖一
圖二
圖三  2 解法分析
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ABE?△ADG(第一組全等三角形)，所以AE=AG，BE=DG，因為∠ADC=∠ADG=90°，所以C、D、F、G四點共線，所以FG=DF+DG.
因為∠EAF=45°，∠EAG=90°(旋轉(zhuǎn)角)，所以∠GAF=45°.在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，所以△AEF?△AGF(SAS)(第二組全等三角形)，所以EF=FG=DF+DG=DF+BE，即EF=DF+BE.
把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合.同(1)理可證：△ABE?△ADG(第一組全等三角形)，所以AE=AG，BE=DG，∠1=∠2.在四邊形ECGA中，易證∠1+∠3=180°，所以∠2+∠3=180°，即C、D、F、G四點共線.所以FG=DF-DG.
因為∠EAF=45°，∠EAG=90°(旋轉(zhuǎn)角)，所以∠GAF=45°.在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，所以△AEF?△AGF(SAS)(第二組全等三角形)，所以EF=FG=DF-DG=DF-BE，即EF=DF-BE.
把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACF,可使AB與AC重合.同(1)理可證：△ABD?△ACF(第一組全等三角形)，所以AD=AF，BD=CF，∠1=∠3=45°.在△CEF中，易證∠2+∠3=90°，即△CEF是直角三角形，所以 EC2+CF2=FE2.
因為∠DAE=45°，∠DAF=90°(旋轉(zhuǎn)角)，所以∠FAE=45°.在△ADE和△AFE中，AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE，所以△ADE?△AFE(SAS)(第二組全等三角形)，所以DE=FE.因為EC2+CF2=FE2，BD=CF，所以EC2+BD2=DE2 3 半角模型
動點的位置分三種情況：動點(E)在線段(BC)上，動點(E)在線段(BC)的延長線上，動點(E)在線段(BC)的反向延長線上. 不論是哪一種情況，全等三角形1(藍色)，多點共線，全等三角形2(黃色)始終存在，只是三條線段(EF、BE、DF)的和差關(guān)系發(fā)生了變化. 溫馨提示： 1.如果同學(xué)們不想證明多點共線，也可以通過截長補短法構(gòu)造相等的線段，再通過證明，得到全等三角形1，今后將為同學(xué)們講解此法. 2.半角模型背景下，多點共線的關(guān)系可能會發(fā)生變化(比如第三問中，三點為直角三角形的頂點). |
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