微分幾何關(guān)心的是幾何圖形的“本質(zhì)”性質(zhì)，不關(guān)心幾何圖形在空間中的位置。在不考慮空間位置的情況下，兩條曲線之間的差別只在于它們的“形狀”，也就是它們是如何彎曲的。為了描述曲線在“形狀”上的本質(zhì)差別，我們需要一個量來描述曲線是如何彎曲的，這個量就是曲率。

  直線和圓是最簡單的兩種曲線，它們上面每個點的曲率都一樣。除了直線和圓，在一般情況下，一條曲線上面每個點的彎曲程度是不一樣的，會隨著點的改變而變化，因此曲率是一個隨著曲線的點變化而變化的函數(shù)。

  讓我們來看看如何建立一個可以描述曲線彎曲程度的量。我們先來看平面曲線。

  如下圖所示：假設(shè)曲線γ上有一點p，p₁是鄰近于p的另一個點，我們要描述曲線從點p到p₁是如何彎曲的。

  我們要引進兩條分別與p和p₁相關(guān)聯(lián)的直線，因為只有“直”的東西能夠被直接量化，我們想要量化任何彎曲的東西都需要用某種“直”的東西去逼近它。為此我們引進p和p₁的切線，因為曲線上的每個點上都唯一對應(yīng)了一條切線（不考慮奇點的情況下），這樣才不會由于一個點對應(yīng)多條直線，而使得一個點上有多個不同的曲率。

  我們考慮這兩條切線之間的角度差（夾角），如圖所示，當(dāng)p到p₁的“距離”固定時，兩條切線的夾角越大，曲線的彎曲程度越大，反之夾角越小則彎曲程度越小。因此可以用這兩條切線的夾角來描述曲率，但曲率并不只取決于夾角。

  顯然當(dāng)p₁到p的“距離”越大時曲線在這兩點間的彎曲程度越大，“距離”越小彎曲程度越小。因此只有在p₁到p的“距離”固定時p₁和p的切線的夾角才能準確地刻畫p₁到p的彎曲程度。因此我們用夾角除以p₁到p的“距離”，得到的就是單位“距離”里的夾角（也就是夾角隨“距離”變化的速度）。然后我們把點p₁趨近于點p，其極限就是點p的彎曲趨勢，它描述了曲線在這個點上如何彎曲，我們稱它為曲率。

  注意這里p₁到p的“距離”的含義可以有很多種。我們可以建立一個坐標系，通過p₁和p在這個坐標系中的坐標來刻畫p₁到p的“距離”。但這樣得到的曲率就會依賴于這個坐標系。我們需要的是一個能描述曲線本質(zhì)的不依賴于坐標系選擇的曲率定義，因此我們需要用一個不依賴于坐標系的只屬于曲線本身的量來刻畫p₁到p的“距離”，這個量就是曲線的弧長，我們用曲線在p₁到p的弧長來刻畫上面所說的p₁到p的“距離”。

  至此，我們得到了曲線在一點p處的曲率的定義。

  以上是兩個最平凡的例子，更復(fù)雜的例子需要更具體的計算，稍后我們給出曲率更具體的計算公式再講。我們先來關(guān)注另一個問題。

  現(xiàn)在我們有了曲率這個量來描述曲線如何彎曲，那么曲率這個量是否已足夠描述曲線？我們是否不再需要定義其它的量來描述不同曲線之間的差別？

  對于平面曲線來說，答案是肯定的。也就是說，

定理1：平面內(nèi)兩條曲線的曲率函數(shù)相同（且曲率都大于0），當(dāng)且僅當(dāng)這兩條曲線只有位置上的差別，其“形狀”完全一樣。

  因此曲率這個量足以描述一條平面曲線的本質(zhì)。

  上面的定理限制了曲率是大于0的情況。曲率也可能小于0，這是由于空間的定向不同所致，空間的不同定向會導(dǎo)致曲率大于0或小于0，具體情況如下：

（圖中的t表示切向量，n_s是與t垂直的主法向量（稍后解釋其準確意義）。）

  在這幾張圖中，圖1和圖4具有相同的定向，圖2和3也有相同的定向。對有相同定向的曲線做平移和旋轉(zhuǎn)變換不會改變其定向，做反射變換會改變其定向。比如圖1的曲線可以通過旋轉(zhuǎn)和平移變成圖4，但無論怎樣旋轉(zhuǎn)和平移都不會變成圖2或圖3，必須經(jīng)過反射才能變成圖2或3。

（如何給空間和空間中幾何圖形的定向的問題，我以前在講行列式的幾何意義時已經(jīng)做過詳細的解釋和總結(jié)，這里不再重復(fù)。）

  曲率為負的曲線段可以通過反射變換變成相應(yīng)的曲率為正的曲線段，因此我們一般只討論曲率為正的情況，對于既包含正曲率又包含負曲率的曲線可分段討論。

  現(xiàn)在我們來看3維空間。在平面中只需要曲率一個量就可以決定一條曲線的“形狀”。而在3維空間中，只有曲率一個量是不夠的。

  因此3維空間中的曲線，除了曲率以外還需要其它的量來描述。

  直觀上講，3維空間中的曲線，除了會像平面曲線一樣沿著某個平面彎曲（由曲率描述）以外，還會沿著與這個平面垂直的方向彎曲。正是這個沿著與某個平面垂直的方向的彎曲，造成了空間曲線與平面曲線的不同。

  （比如上面例子的圓柱螺旋線，它沿著xy平面的彎曲方式與一個圓彎曲方式相同，但是多出了一個沿著z軸的彎曲趨勢。）

  為了描述空間曲線與平面曲線的這個差別，我們要引進密切平面的概念。直觀上講，曲線上一個點p的密切平面，就是過這個點p，且最貼近這條曲線的平面。更嚴格點的定義是，曲線上一點p，t_p是曲線過p點的切線，p₁是曲線上鄰近p的一點，過t_p和p₁存在一個平面。當(dāng)p₁趨近于p點時，過t_p和p₁的平面的極限就是密切平面。（密切平面有很多定義，稍后我們給一個更精確的。）

  平面曲線上每個點的密切平面都是同一個（就是這條曲線所在的平面）?？臻g中的非平面曲線，其上的每個點都有一個離開該點所在密切平面的趨勢，也就是沿著與密切平面垂直的方向彎曲趨勢。因此我們用，與密切平面垂直的向量的方向改變量，來描述這個彎曲趨勢。

  同曲率一樣，撓率也因為空間的定向而有正負號之分。（如何定義撓率的正負號稍后會講。）

  曲率和撓率這兩個概念，足以描述空間曲線之間的差異。這個事實由以下定理表述：

  定理2（空間曲線論基本定理）:空間中的曲線，如果它們有著完全相同的曲率和撓率（曲率大于0），那么這兩條曲線只有空間位置的差別，它們的“形狀”完全一樣。

  以上我們從比較直觀的角度，講述了如何建立曲率和撓率的概念來描述空間曲線如何彎曲的思想。接下來我們要給出曲率和撓率更加精確的可以用于計算的定義。

  回憶一下上節(jié)說過的內(nèi)容。曲線都可以由只含一個參數(shù)的方程表示，我們以曲線的弧長為參數(shù)，這樣的方程γ(s)稱為自然參數(shù)方程。（以后若沒有特別提及我們用的曲線方程都是自然參數(shù)方程。）曲線上某個點的導(dǎo)數(shù)γ＇(s)是曲線在這一點上的切向量（也是曲線在這一點上隨著參數(shù)變化而改變的速度）。

  由Frenet-Serret公式，當(dāng)給定了曲率函數(shù)κ(s)和撓率函數(shù)τ(s)后（κ(s)>0），t,n,b關(guān)于弧長的導(dǎo)數(shù)t＇,n＇,b＇也都確定了。于是由微分方程的解的唯一性理論，可以推出，在不考慮空間位置的情況下，存在唯一一條曲線其曲率函數(shù)和撓率函數(shù)分別就是κ(s)和τ(s)。這也就是前面說過的空間曲線論基本定理。我們現(xiàn)在用更嚴格的語言重新表述一下這個定理（證明很長不講。）：

  定理2＇（空間曲線論基本定理）:給定兩個連續(xù)函數(shù)κ(s)和τ(s)（κ(s)>0），在不考慮空間位置的情況下，有且只有一條曲線，滿足：s是這條曲線的弧長，κ(s)和τ(s)分別是這條曲線的曲率和撓率。

  下面我們給出曲率和撓率的參數(shù)公式。

  上面的結(jié)果可以看出，圓柱螺旋線的曲率和撓率都是常數(shù)。圓柱螺旋線可以說是最簡單的非平面曲線，因為比它更簡單的只有撓率為0的曲線，而撓率為0的曲線都是平面曲線。我們有以下命題：

  例4和例5的結(jié)論證明本文前面的想法：曲率可以描述平面曲線的彎曲，撓率可以描述空間曲線的彎曲。前面我們只能做直觀的討論，現(xiàn)在得到了嚴格證明。

  從例4和例5的證明也可以看出微分幾何與初等幾何的差別：在微分幾何中我們可以通過幾何圖形的局部性質(zhì)（在這里是t,n,b的性質(zhì)），對幾何圖形進行分類，對滿足某種局部性質(zhì)的所有的幾何圖形進行統(tǒng)一的研究，而不是對無數(shù)種可能存在的具體的幾何圖形一個個地進行研究。

參考文獻

【1】Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry.

【2】梅向明，黃敬之 編，微分幾何（第三版）。

【3】Dirk J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, Second Edition.

【4】Shoshichi Kobayashi, Differential Geometry of Curves and Surfaces.