【原】小樂數學科普：慶祝安德魯·懷爾斯證明費馬大定理30周年紀念日——譯自艾薩克·牛頓研究所播客Living Proof

zzllrr小樂 2023-07-06 發(fā)布于江蘇

展開全文

作者：Rachel Thomas、Marianne Fryberger、Dan Aspel 2023-6-23

譯者：zzllrr小樂，數學科普微信公眾號 2023-7-6

丹·阿斯佩爾（Dan Aspel）：您好，歡迎來到艾薩克·牛頓研究所播客《Living Proof》。我叫丹·阿斯佩爾。今天，我們在一個非常重要的日子為您帶來一個非常特別的劇集。這是因為2023年6月23日，距離安德魯·懷爾斯爵士首次證明費馬大定理已經過去30周年了。這是在INI（Isaac Newton Institute 艾薩克·牛頓研究所）的主研討室舉行的，是新成立的研究所舉辦的首批項目之一。您即將聽到的這部引人入勝的紀錄片是我們與Plus雜志的同事Marianne Fryberger（瑪麗安娜·弗萊伯格）和Rachel Thomas（瑞秋·托馬斯）合作制作的。您可以在plus.和Podbean上找到通過《Maths on the Move》播客托管的相同內容。在她們的同一網站和我們自己的上，您會發(fā)現嵌入此播客的一篇深入文章，您可以在其中觀看一段簡短但我們希望對大家有影響的對安德魯·懷爾斯的視頻采訪，是與這部紀錄片是在同一天錄制的。現在就介紹這么多。我將把你留給那個時代的風云人物。我們希望您喜歡即將聽到的內容。

安德魯·懷爾斯：我是安德魯·懷爾斯，費馬大定理是費馬在17世紀的命題或主張，即方程x?+y?=z?（其中x、y和z都是整數并且n至少是3）沒有解。

瑞秋·托馬斯：這是數學家安德魯·懷爾斯的聲音，他因證明數學界最著名的結果之一——費馬大定理而聞名。整整30年前，即1993年6月23日，他在劍橋艾薩克·牛頓研究所宣布了他對這一結果的證明。在這個特別節(jié)目中，我們將聽到安德魯·懷爾斯和其他數學家講述這一結果的重要性以及這個周年紀念日的重要性。

瑪麗安娜·弗萊伯格：歡迎來到艾薩克·牛頓研究所的《Living Proof》播客和plus. 的《Maths on the move》播客的特別聯合版。我是瑪麗安娜·弗萊伯格。

瑞秋·托馬斯：我是瑞秋·托馬斯。在這個播客中，我們和來自艾薩克·牛頓研究所的好朋友丹·阿斯佩爾（Dan Aspel）很幸運地在安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）的牛津大學學術之家與他進行了交談。

瑪麗安娜·弗萊伯格：我們還采訪了劍橋大學數學系的同事湯姆·克納（Tom K?rner) 和杰克·索恩 (Jack Thorne)。在我們深入研究懷爾斯令人驚嘆且鼓舞人心的故事的細節(jié)之前，讓我們先看一下其核心的著名定理。讓我們首先考慮 x2+y2=z2形式的方程。瑞秋，問題是你能找到三個非零整數的解，即x、y和z都是整數嗎？

瑞秋·托馬斯：嗯，我從畢達哥拉斯定理（即勾股定理）那里知道，如果我有一個直角三角形，兩條直角邊長分別為x、y，斜邊長度為z，則 x2+y2=z2。所以我知道肯定有一些。事實上，我碰巧知道有一個整數解，如果你有一個直角邊長分別為3、4的直角三角形，斜邊的長度將為5，因為3的平方加4的平方等于5的平方。事實上，我認為另一個解是12的平方加5的平方等于13的平方。所以我肯定至少得到該方程的兩個解。

瑪麗安娜·弗萊伯格：事實上，有無限多個滿足該方程的整數三元組，稱為畢達哥拉斯三元組（Pythagorean triples）。劍橋大學的湯姆·克納30年前有幸見證了懷爾斯 (Wiles) 宣布證明了費馬最后定理（FLT - Fermat last Theorem，即費馬大定理），他講述了這個有趣結果的故事。

湯姆·克納：對于平方，有很多122+52=132等形式的公式。人們自然會問，我們可以對立方做同樣的事情嗎？所以你看看它并嘗試一下，但它不起作用。費馬在他的一本古老的丟番圖方程書中的筆記中寫道，立方或四次方或任何其他高次冪都不存在這種關系。但不幸的是，頁邊空白太短，無法寫下我的證明?，F在我們懷疑他沒有完整的證明，但他可能對某些冪次有證明。這個猜想變得越來越有名。我認為可以公平地說，這是數學中最著名的問題。

瑪麗安娜·弗萊伯格：費馬在1637年的數學書中做出了著名的注釋。因此，這個未經證實的陳述確實花了很長時間才聲名鵲起。安德魯·懷爾斯 (Andrew Wiles) 在10歲時偶然發(fā)現了費馬最后定理，距離那個著名的潦草筆記已經過去了300多年。

安德魯·懷爾斯：嗯，我第一次知道費馬大定理是當我10歲左右的時候，從E.T. Bell所著的一本書的封面上得知。我從公共圖書館找到的這本書，整本書都是關于這個問題。它宣傳了這個著名的難題，并談到了為解決這個問題所做的嘗試。我剛剛被它的浪漫歷史所吸引。所以我花了十幾年甚至在大學里嘗試解決這個問題，我甚至認為我已經解決了一次并將其展示給我的導師。但當我成為一名專業(yè)數學家時，我意識到這不是你應該做的事情，因為它可能不會產生任何結果。即使失敗的嘗試也不再那么有趣了。

瑞秋·托馬斯：但是費馬大定理并沒有放過安德魯·懷爾斯。后來，在1980年代中期一些相關的數學取得重大進展之后（我們稍后會詳細介紹），他再次開始研究費馬大定理。令人驚訝的是，他決定獨自秘密地這樣做，這對我們來說似乎是一件不尋常的事情，因為數學通常是一個真正的合作學科。而他不僅自己做，并且還花了七年的時間。

安德魯·懷爾斯：有趣的是，很少有人愿意花那么長時間來解決一個問題。我的意思是，當他們做剩下的工作時，他們可能會斷斷續(xù)續(xù)地思考這個問題，但實際上，要真正致力于解決一個問題，需要某種性格。而我并沒有真正談論它，因為我最初沒有怎么談論它，然后我意識到它得到了太多不必要的關注。如果你說你正在努力，你就不會得到安寧。所以我覺得私下做更明智。

杰克·索恩：我想我第一次意識到這一點是在我上A-level課（英國高中課程）的時候，我正準備申請大學，并認為也許值得在大學學習數學。我想多讀一點，只是為了說明我有多熱衷。我買了幾本書，其中一本是西蒙·辛格（Simon Singh）的《費馬大定理》書，我想這可能是許多人第一次意識到這個主題的地方。我覺得我發(fā)現它實際上非常令人興奮，因為做A-level數學你會學習如何進行某些類型的計算以及如何平衡桿上的兩個球等等。但這是我第一次看到一個與數學問題相關的真正人類故事。這不僅僅是一個人的故事，也是幾個世紀以來人們相互交談的故事。但我發(fā)現這很令人興奮。

瑪麗安娜·弗萊伯格：上面這段話是來自劍橋大學的杰克·索恩 (Jack Thorne)。當1993年安德魯·懷爾斯宣布他的著名證明時，他年僅六歲。杰克·索恩是建立在費馬大定理之上的數學領域的專家。他幫助我們追蹤證明的主要步驟，盡管證明本身已經醞釀了350多年，但即使是普通人，我們也可以遵循這些步驟。

杰克·索恩：這個故事的第一種真正重要的元素是這樣的想法，即你可以假定一個費馬方程的解，并且想證明不存在這樣的解。在數學中你做過這種典型的事情，讓我們假設它確實存在，然后我們嘗試從中得出一個矛盾。你可以做的一件事就是嘗試采用這樣一個假定的解，然后寫下可能感興趣的其他數學對象。發(fā)揮作用的就是所謂的弗雷橢圓曲線（Frey elliptic curve）。因此，你可以使用此解寫下另一個方程式?；舅枷胧?，這條橢圓曲線，無論它是什么，都應該具有非常奇怪的屬性，以至于它不可能實際存在，這就是矛盾之處。但你會說，奇怪的屬性是什么？我該如何證明它不存在？然后你必須采取一個額外的步驟，即與先驗的東西聯系起來，這似乎是數學的另一個部分，即模形式（modular form）的世界。因此，這些是來自分析的其他類型的對象，它們具有與橢圓曲線所擁有的不同的對稱性。但在20世紀下半葉出現了一系列數學家，通常按照時間順序排列的名字是 Taniyama（谷山）、Shimura（志村）、Weil（韋伊）。一系列數學家建議，對于任何橢圓曲線，例如你可能從費馬方程的解開始寫下的橢圓曲線，都可以關聯一個模形式?，F在人們稱之為模猜想（modularity conjecture）。在懷爾斯的工作之前，已經證明，如果能證明這種所謂的模猜想，那么如果你能在橢圓曲線的世界和模形式之間建立這座橋梁，那么你就可以量化橢圓曲線的奇異性，這樣就足以解決費馬問題了。

瑞秋·托馬斯：好的，信息量相當大。我們?yōu)槭裁床豢焖倩仡櫼幌履?？目的是證明費馬方程即x?+y?=z?，對于任何大于2的指數n，不存在非零整數解。瑪麗安娜，接下來會發(fā)生什么？

瑪麗安娜·弗萊伯格：接下來以典型的數學方式，你要做的就是假設有一個解，看看是否可以從該假設中得出矛盾，然后證明該假設是錯誤的?，F在事實證明，從費馬方程x?+y?=z?，你可以建立另一個涉及x和y的三次冪的方程，這就是以數學家格哈德·弗雷（Gerhard Frey）命名的弗雷曲線（Frey curve）。這是橢圓曲線的一個例子。因此人們認為，任何橢圓曲線都應該與另一個稱為模形式的對象相關聯?，F在我們不會在這里討論什么是模形式，我們只是接受應該有這樣一個模形式連接到每個橢圓曲線。橢圓曲線和模形式之間應該存在這種聯系，這一事實就是著名的模猜想。1980年代中期，數學家約翰·皮埃爾·塞爾 (John Pierre-Serre) 和肯·里貝特 (Ken Ribet) 的研究表明，如果費馬最后定理是錯誤的，即費馬方程存在整數解，那么弗雷曲線就會變得很奇怪，而根本不可能出現與之相關的模形式。

瑞秋·托馬斯：啊，原來矛盾就在這里。因此，如果可以證明模猜想，即每個橢圓曲線確實都有一個模形式，那么就可以證明這種奇怪的弗雷曲線不可能存在。因為如果真的存在，那么它將沒有關聯的模形式。因此，我們假設的費馬方程的解也不存在，這使得費馬最后定理成立。

瑪麗安娜·弗萊伯格：完全正確。這正是Serre和Ribet在1980年代的工作，讓懷爾斯燃起費馬大定理能被證明的希望。在這里，他再次開始講述這個故事。

安德魯·懷爾斯：大約在1984-85年，Gerhard Frey提出了如何使用更現代的數學來攻克費馬大定理的建議。它并不完全正確，但隨后被澄清和發(fā)展，首先由塞爾以精確猜想的形式，然后由Ribet在1986年，實際上明確表明塞爾的猜想將暗示費馬大定理。因此，當第一個公告發(fā)布時，我一直持懷疑態(tài)度，但當Ribet證明了這種聯系時，我完全被迷住了，我就放棄了一切，立即開始研究費馬（大定理）。我的意思是，一開始，即使將其轉化為當時眾所周知的問題，即模問題，也沒有人真正知道如何解決模問題。或者我可以說，從某種意義上來說，人們的想法太多了。甚至不清楚它應該從數學的哪一個分支開始，因為你可以用分析、幾何或算術的方式來描述它，人們可以在這些不同的領域中的每一個領域中進行表述。因此尚不清楚哪種技術對此有用。所以最初，我所做的只是試圖找到一個真正的觀點，一種真正思考問題的方法。我被梅瑟（Mazer）在不同問題上提出的一些想法所吸引，有些想法是幾年前我在哈佛時提出的。我試圖從這個角度來處理它。慢慢地，它給了我一條路，然后我再思考它，然后它發(fā)展了一點，然后我改變了方式，但它只給了我第一個立足點。從那時起，我一直感覺自己正在取得某種進步。我的意思是，我還不知道它是否會收斂到一個答案或收斂到其他一些未解決的問題。

瑞秋·托馬斯：然而，懷爾斯最終確實找到了模猜想的證明，這意味著費馬大定理也是正確的。1993年6月23日，他在劍橋艾薩克·牛頓研究所宣布了這一消息。現在，這是一個具有里程碑意義的公告。湯姆·克納再次來到這里，湯姆很幸運能夠出席發(fā)布會，盡管他從事完全不同的數學領域。正如湯姆所解釋的那樣，安德魯·懷爾斯在艾薩克·牛頓研究所進行了三天的一系列講座，而沒有人知道安德魯·懷爾斯即將宣布證明。

湯姆·克納：但是謠言開始流傳。安德魯·懷爾斯做了三場講座，我不知道是否有人知道，或者有些人只是猜測，但我問了安德魯的一位學生，他說他不能說。所以我說，好吧，我會后悔錯過講座嗎？他說是的。因此，我加入了相當大的人群，大演講廳，甚至比大多數講座中的人數還要多，先是前沿專家，然后是次要專家，然后是為了萬一而前來的忠實人群。是的，我覺得氣氛熱烈，但我沒有理解講座的任何內容，確實如我所料，之前已經有兩場講座了。事實上，數學是非常困難的，除非你深入思考，否則你不會指望理解某些東西，尤其是像這樣抽象的東西。最后，安德魯寫下了費馬大定理的陳述，并表示他認為他所做的一切證明了這一點。掌聲雷動。然后專家們起身提問，這表明雖然證明（的細節(jié)）還有待徹底檢查，但這至少是一個非常合理的解決問題的方法，也是一種解決問題的新方法，無論成功與否，它確實增加了非常大量的數學知識。

瑪麗安娜·弗萊伯格：以下是從安德魯·懷爾斯的角度對這次經歷的描述。

安德魯·懷爾斯：一方面，我很高興能夠展示它，但也有一種感覺你正在發(fā)布它。而且第一次總是會有緊張感。你一直在思考這個問題，很多都是你自己想出來的。你覺得自己沒有做過任何傻事。不，我認為人們想看到細節(jié)，但他們可以看到這是一種全新的方法，它將證明一些事情，無論是否具有最終聲明的尚有待觀察的所有細節(jié)。

瑪麗安娜·弗萊伯格：想要查看證明細節(jié)的愿望是有道理的。事實證明，這個證明有一個漏洞，懷爾斯與數學家理查德·泰勒（Richard Taylor）一起花了近一年的時間才修復。但最終，在1994年，證明完成了，費馬在書頁邊的注釋中激發(fā)了數百年歷史的問題終于得到了解決。

瑞秋·托馬斯：你可能會認為懷爾斯的證明最終奠定了這一數學領域的地位，為解決這一問題而開發(fā)的數學關閉了大門。但事實并非如此。事實上，正如懷爾斯告訴我們的那樣，情況恰恰相反。

安德魯·懷爾斯：費馬大定理的一個非常奇怪的事情是，它有一個浪漫的故事，而且人們因為這個原因想要攻克它。但歷史上有兩次（不是一次，而是兩次），在這個問題上取得了進展。特別是在這個問題上的研究，為數學打開了一扇巨大的新大門。我的意思是，有些問題，你只要解決它們，找到解，但當歷史結束時，問題就結束了。而這個問題的歷史現在已經結束了，但是它打開了兩扇門，第一扇是在19世紀，當時它基本上開啟了我的領域，因為庫默爾（Ernst Kummer）試圖以完全不同的方式解決這個問題，導致了數環(huán)中的理想數（ideal number）、一般的理想類群（ideal class group）以及我所在領域的整個基本算術的構建。然后又發(fā)生了，問題取得了進展，但是在原來的費馬問題上，它解決了很多情況，但沒有解決一般情況。后來這個問題就沉寂了很長一段時間。然后在Frey、Serre和Ribet之后，它再次開放。現在它打開了另一扇門。這次是關于所有這些模性質（modularity）的問題?，F在，這些模性質問題正為所謂的朗蘭茲綱領的偉大前景打開了一扇大門。這就是數學的未來。

瑪麗安娜·弗萊伯格：除了向我們解釋之外，即使面向專家也很難解釋朗蘭茲綱領。所以我們不會在這個播客中嘗試它。簡言之，它由羅伯特·朗蘭茲 (Robert Langlands) 在1960年代提出的一系列影響深遠的猜想組成，在不同的數學領域之間建立了極其令人驚訝的聯系。許多人將證明所有這些猜想視為現代數學中最大的項目。特別是，朗蘭茲告訴我們，模形式領域提供了解決數論問題的工具，這些工具更類似于我們從微積分中學到的知識。安德魯·懷爾斯又來了。

安德魯·懷爾斯：朗蘭茲帶來的是這樣一種理解，即實際上與微積分中更多出現的函數有著幾乎更深層次的聯系。因此，他說實際上這將為你提供解決其中一些數論問題的關鍵，這些問題的答案實際上是用這種更加基于分析和微積分的數學進行編碼的。

瑞秋·托馬斯：杰克·索恩向我們介紹了朗蘭茲綱領所提供的橋梁，它將我們從數論帶到了一個非常不同的世界，即模形式概括的數學。

杰克·索恩：有兩個先驗的世界，尚不清楚它們是否應該相互連接，但事實上，它們以曾經非常神秘但又非常引人注目的方式相互交談。它們緊密相連。這真的就像有一條隱藏的電話線。你可以對一定數量的理論問題中將要發(fā)生的情況做出非常精確的預測，然后你可以在計算機上對該問題進行一些計算，然后結果證明你的預測有效并且100%準確。實際上這有點神奇。

瑪麗安娜·弗萊伯格：杰克·索恩是該領域的領先專家。他致力于朗蘭茲綱領，還致力于解決有關費馬方程的廣義版本和類似方程的問題。

杰克·索恩：我這些天的大部分工作都是在朗蘭茲綱領中，你可能會說在某種程度上直接受到這些用于研究費馬方程的技術的啟發(fā)。我做了很多工作來證明橢圓曲線在更一般的設置中的模性質（modularity）。一個非常有趣的設置是，如果你開始考慮其他數字系統中的一些解，例如如果我不采用數字a,b,c，不像經典解一樣思考方程（例如具有整數或有理數系數的費馬方程），會怎么樣？例如，也許我可能會采用數字a,b,c，它們是整數和√2的整數倍數組合。如果我輸入像2的平方根這樣的東西，會發(fā)生什么變化？事實證明，這整個美麗的理論存在并且概括了經典設置。

瑪麗安娜·弗萊伯格：那么，如果你說輸入2的平方根，那么費馬最后定理的類比是什么？

杰克·索恩：如果你采用這些廣義的數字系統，即所謂的數域之一。我認為只要p是足夠大的素數，a?+b?=c?就沒有解，但我們不知道如何證明這一點。如果假設來自朗蘭茲綱領的各種猜想成立，我們知道如何證明這一點。這就像一個未來的夢想，即我們能夠無條件地證明這樣的結果，但目前我們還做不到。

瑞秋·托馬斯：安德魯·懷爾斯對費馬最后定理的證明解決了一個很容易陳述的問題，即使是高中生也能理解。然而，它打開了一扇通向數學深層領域的大門，杰克·索恩相信這個領域將在未來十年左右看到令人興奮的發(fā)展。

瑪麗安娜·弗萊伯格：費馬最后定理無疑定義了安德魯·懷爾斯的職業(yè)生涯。他是為數不多的在數學之外享有盛譽的數學家之一。在數學領域，他獲得了豐富的榮譽和獎項，包括2016年享有盛譽的阿貝爾獎。

瑞秋·托馬斯：我們向安德魯·懷爾斯提出的最后一個問題是：如果他在90年代初沒有找到解決方案，是否也會繼續(xù)研究費馬大定理？他的回答非常符合他的數學方法。

安德魯·懷爾斯：我不是一個對問題輕言放棄的人。

瑪麗安娜·弗萊伯格：我們希望您喜歡我們播客的這一期特別節(jié)目，該播客是艾薩克·牛頓研究所的《Living Proof》播客和 plus. 的《Maths on the Move》播客聯合推出的。您可以訪問以下網站了解有關費馬最后定理的更多信息 plus./Fermat 。

瑞秋·托馬斯：該播客由我 Rachel Thomas、Marianne Fryberger 和 Dan Aspel 制作。感謝您的聆聽，再見。

參考資料：

https://www./media/podcasts/post/52-thirty-years-of-proof-celebrating-andrew-wiles-on-the-anniversary-of-fermats-last-theorem/

https://www./news/ini-news/wiles-flt-30/

https://plus./content/very-old-problem-turns-30