必刷小題16　圓錐曲線

一、單項選擇題

1．(2023·淄博模擬)雙曲線－x²＝1的離心率為(　　)

A.  B.   C.   D.

答案　C

解析　雙曲線－x²＝1的焦點在y軸上，a＝，b＝1，c＝＝2，

所以離心率為＝＝.

2．(2022·鄭州模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以C的上、下頂點和一個焦點為頂點的三角形的面積為48，則橢圓的長軸長為(　　)

A．5  B．10  C．15  D．20

答案　D

解析　根據(jù)題意，由橢圓的離心率為可得＝，

又×2b×c＝48，即bc＝48，且a²＝b²＋c²，

故可得a＝10，b＝8，c＝6，則橢圓的長軸長2a＝20.

3．(2022·長春模擬)已知M為拋物線C：x²＝2py(p>0)上一點，點M到C的焦點的距離為7，到x軸的距離為5，則p等于(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　B

解析　拋物線C：x²＝2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－，因為點M到C的焦點的距離為7，到x軸的距離為5，所以＝2，所以p＝4.

4．(2023·河北衡水中學(xué)檢測)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為12π，則橢圓C的方程為(　　)

A.＋＝1                                     B.＋＝1

C.＋＝1                                    D.＋＝1

答案　A

解析　由題意，設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，

因為橢圓C的離心率為，面積為12π，

所以

解得a²＝16，b²＝9，

所以橢圓C的方程為＋＝1.

5．(2022·滁州模擬)已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F₁，F₂，點P在橢圓上且在x軸的下方，若線段PF₂的中點在以原點O為圓心，OF₂為半徑的圓上，則直線PF₂的傾斜角為(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　在橢圓＋＝1中，a＝2，b＝，c＝＝1，

設(shè)線段PF₂的中點為M，連接PF₁，MF₁，如圖所示，則F₁F₂為圓O的一條直徑，則F₁M⊥PF₂，

因為M為PF₂的中點，則|PF₁|＝|F₁F₂|＝2c＝2，則|PF₂|＝2a－|PF₁|＝2，

所以△PF₁F₂為等邊三角形，由圖可知，直線PF₂的傾斜角為.

6．(2023·石家莊模擬)已知，點P是拋物線C：y²＝4x上的動點，過點P向y軸作垂線，垂足記為點N，點M(3,4)，則|PM|＋|PN|的最小值是(　　)

A．2－1  B.－1  C.＋1  D．2＋1

答案　A

解析　由拋物線C：y²＝4x知，焦點F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，

過點P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，如圖，

由拋物線定義知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，

當(dāng)F，P，M三點共線時，|PM|＋|PN|取得最小值，則最小值為|MF|－1＝－1＝2－1.

7．(2022·德州聯(lián)考)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，曲線C上一點P到x軸的距離為c，且∠PF₂F₁＝120°，則雙曲線C的離心率為(　　)

A.＋1                                             B.

C.＋1                                             D.

答案　B

解析　作PM⊥x軸于點M，如圖，

依題意|PM|＝c，∠PF₂F₁＝120°，

則∠PF₂M＝60°，

由題意知F₂(c,0)，

由sin∠PF₂M＝＝，得|PF₂|＝2c，

由雙曲線的定義知|PF₁|＝2a＋2c，而|F₁F₂|＝2c，

在△PF₁F₂中，由余弦定理得

|PF₁|²＝|PF₂|²＋|F₁F₂|²－2|PF₂|·|F₁F₂|cos∠PF₂F₁，

解得2a＋2c＝2c，即a＝(－1)c，

又離心率e＝，于是有e＝，

所以雙曲線C的離心率為.

8．(2022·連云港模擬)直線l：y＝－x＋1與拋物線C：y²＝4x交于A，B兩點，圓M過兩點A，B且與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則圓M的半徑是(　　)

A．4                                                  B．10

C．4或10                                          D．4或12

答案　D

解析　可設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由消去x，可得y²＋4y－4＝0，

則y₁＋y₂＝－4，即y₁＋y₂＝－x₁＋1－x₂＋1＝－4，

則x₁＋x₂＝6，可得AB的中點坐標(biāo)為P(3，－2)，

易知，直線l過拋物線焦點(1,0)，

則|AB|＝x₁＋1＋x₂＋1＝8，

且AB的垂直平分線方程為 y－(－2)＝1×(x－3)，

即y＝x－5，

則可設(shè)圓M的圓心為M(a，b)，半徑為r，

所以b＝a－5，

則圓M的方程為(x－a)²＋(y－b)²＝r²，

即(x－a)²＋(y－a＋5)²＝r²，

又圓心M(a，b)到直線l: y＝－x＋1的距離d＝＝，且滿足²＋d²＝r²，

則16＋2(a－3)²＝r²，①

又因為圓M與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以|a＋1|＝r，

即(a＋1)²＝r²，②

①②聯(lián)立解得或

二、多項選擇題

9．(2023·濟(jì)南模擬)已知雙曲線C：－＝1(m>0)，則下列說法正確的是(　　)

A．雙曲線C的實軸長為2

B．雙曲線C的焦點到漸近線的距離為m

C．若(2,0)是雙曲線C的一個焦點，則m＝2

D．若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則m＝2

答案　CD

解析　由雙曲線C：－＝1，

得a＝，b＝，c＝，

則雙曲線C的實軸長為2，故A錯誤；

雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，

取右焦點(，0)和漸近線x＋y＝0，

則右焦點(，0)到漸近線x＋y＝0的距離為＝，故B錯誤；

因為(2,0)是雙曲線C的一個焦點，

所以c＝＝2，則m＝2，故C正確；

因為漸近線y＝x和y＝－x垂直，

所以·＝－1，解得m＝2，故D正確．

10．(2022·濰坊模擬)已知拋物線x²＝y的焦點為F，M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A．點F的坐標(biāo)為

B．若直線MN過點F，則x₁x₂＝－

C．若＝λ，則|MN|的最小值為

D．若|MF|＋|NF|＝，則線段MN的中點P到x軸的距離為

答案　BCD

解析　易知點F的坐標(biāo)為，選項A錯誤；

根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，MN過焦點F時，

x₁x₂＝－p²＝－，選項B正確；

若＝λ，則MN過點F，則|MN|的最小值即拋物線通徑的長，為2p，即，選項C正確；

拋物線x²＝y的焦點為，

準(zhǔn)線方程為y＝－，

過點M，N，P分別作準(zhǔn)線的垂線MM′，NN′，PP′，垂足分別為M′，N′，P′(圖略)，

所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.

所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝，

所以線段|PP′|＝＝，

所以線段MN的中點P到x軸的距離為|PP′|－＝－＝，選項D正確．

11．(2023·湖北四地聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，長軸長為4，點P(，1)在橢圓C外，點Q在橢圓C上，則(　　)

A．橢圓C的離心率的取值范圍是

B．當(dāng)橢圓C的離心率為時，|QF₁|的取值范圍是[2－，2＋]

C．存在點Q使得·＝0

D.＋的最小值為1

答案　BCD

解析　由題意得a＝2，

又點P(，1)在橢圓C外，

則＋>1，解得b<，

所以橢圓C的離心率e＝＝>，

即橢圓C的離心率的取值范圍是，故A不正確；

當(dāng)e＝時，c＝，b＝＝1，

所以|QF₁|的取值范圍是[a－c，a＋c]，

即[2－，2＋]，故B正確；

設(shè)橢圓的上頂點為A(0，b)，F₁(－c,0)，F₂(c,0)，

由于·＝b²－c²＝2b²－a²<0，

所以存在點Q使得·＝0，故C正確；

(|QF₁|＋|QF₂|)＝2＋＋≥2＋2＝4，

當(dāng)且僅當(dāng)|QF₁|＝|QF₂|＝2時，等號成立，

又|QF₁|＋|QF₂|＝4，

所以＋≥1，故D正確．

12．(2022·濟(jì)寧模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，左、右頂點分別為A₁，A₂，點P是雙曲線C上異于頂點的一點，則(　　)

A．||PA₁|－|PA₂||＝2a

B．若焦點F₂關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點在C上，則C的離心率為

C．若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線PA₁的斜率與直線PA₂的斜率之積為1

D．若雙曲線C為等軸雙曲線，且∠A₁PA₂＝3∠PA₁A₂，則∠PA₁A₂＝

答案　BCD

解析　對于A，在△PA₁A₂中，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，

得||PA₁|－|PA₂||<|A₁A₁|＝2a，故A錯誤；

對于B，焦點F₂(c,0)，漸近線不妨取y＝x，即bx－ay＝0，

設(shè)F₂關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為(m，n)，

則

解得

即F₂關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為，

由題意知該點在雙曲線上，

故－＝1，

將c²＝a²＋b² 代入，

化簡整理得b⁴－3a²b²－4a⁴＝0，即b²＝4a²，

所以e²＝＝＝1＋＝5，

故e＝，故B正確；

對于C，雙曲線C為等軸雙曲線，

即C：x²－y²＝a²(a>0)，

設(shè)P(x₀，y₀)(y₀≠0)，

則x－y＝a²，則x－a²＝y，

故·＝·＝＝1，故C正確；

對于D，雙曲線C為等軸雙曲線，

即C：x²－y²＝a²(a>0)，

且∠A₁PA₂＝3∠PA₁A₂，

設(shè)∠PA₁A₂＝θ，∠A₁PA₂＝3θ，

則∠PA₂x＝4θ，

根據(jù)C的結(jié)論·＝1，

即有tan θ·tan 4θ＝1，

在三角形中，只有兩角互余時，它們的正切值才互為倒數(shù)，

故θ＋4θ＝，θ＝，故D正確．

三、填空題

13．(2022·煙臺模擬)寫出一個滿足以下三個條件的橢圓的方程________________．

①中心為坐標(biāo)原點；②焦點在坐標(biāo)軸上；③離心率為.

答案　＋＝1(答案不唯一)

解析　只要橢圓方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可．

14．(2023·衡水中學(xué)模擬)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角為________．

答案　

解析　∵＝2，∴＝4，故＝4，

∴＝，

∴兩條漸近線方程為y＝±x，

∴兩條漸近線所成的銳角為.

15．(2023·海東模擬)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”．事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：與相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點A(x，y)與點B(a，b)之間距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點，可得方程＋＝4的解是________．

答案　x＝±

解析　因為＋＝4，所以＋＝4，可轉(zhuǎn)化為點(x,2)到點(－2,0)和點(2,0)的距離之和為4，所以點(x,2)在橢圓＋＝1上，則＋＝1，解得x＝±.

16．(2022·臨沂模擬)已知拋物線C：x²＝2py(p>0)的焦點為F，Q(2,3)為C內(nèi)的一點，M為C上的任意一點，且|MQ|＋|MF|的最小值為4，則p＝________；若直線l過點Q，與拋物線C交于A，B兩點，且Q為線段AB的中點，則△AOB的面積為________．

答案　2　2

解析　如圖，過點M作MM₁垂直準(zhǔn)線于點M₁，由拋物線定義可知|MF|＝|MM₁|.所以|MQ|＋|MF|＝|MQ|＋|MM₁|.

過點Q作QQ₁垂直準(zhǔn)線于點Q₁，交拋物線于點P，

所以|MQ|＋|MM₁|≥|PQ|＋|PQ₁|，

所以當(dāng)M在P處時，|MQ|＋|MM₁|＝|PQ|＋|PQ₁|＝|QQ₁|最小，

此時|QQ₁|＝3＋＝4，解得p＝2.

所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x²＝4y.

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則有

兩式相減得x－x＝4y₁－4y₂，

即(x₁＋x₂)(x₁－x₂)＝4(y₁－y₂)．

因為Q(2,3)為線段AB的中點，所以x₁＋x₂＝4，所以直線AB的斜率為k＝＝＝1，所以直線AB的方程為y－3＝1×(x－2)，即y＝x＋1.

由A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)符合消去y得x²－4x－4＝0，

所以x₁＋x₂＝4，x₁x₂＝－4.

所以弦長|AB|＝·|x₁－x₂|＝·＝·＝8.

而O到直線AB的距離為d＝＝，

所以S_△AOB＝|AB|·d＝×8×＝2.