本講教育信息】

一. 教學(xué)內(nèi)容：

       期末復(fù)習(xí)：圓錐曲線與方程

［學(xué)習(xí)目標］

圓錐曲線將幾何與代數(shù)進行了結(jié)合，高考中是重點，主客觀題必不可少，易、中、難題皆有。重點掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)，重視求曲線的方程或曲線的軌跡，加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的探究。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決，這樣加強了對數(shù)學(xué)各種能力的考查，重視對數(shù)學(xué)思想、方法進行歸納提煉，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程。

［考點分析］

1、知識框圖：

2、知識歸納：

拋物線：

3、橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程

    （1）范圍：，橢圓落在組成的矩形中。

    （2）對稱性：圖象關(guān)于y軸對稱，圖象關(guān)于x軸對稱。圖象關(guān)于原點對稱。

    （3）頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點

    橢圓共有四個頂點：，。

叫橢圓的長軸，長為2 a，叫橢圓的短軸，長為2b。

    （4）離心率：橢圓焦距與長軸長之比。。（）

    （5）橢圓的第二定義：一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù)，那么這個點的軌跡叫做橢圓。

橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式

    （6）橢圓的準線方程

    對于，左準線；右準線

對于，下準線；上準線

焦點到準線的距離（焦參數(shù)）

4、雙曲線的幾何性質(zhì)：

    （1）頂點

    頂點：，特殊點：

    實軸：長為2a，a叫做實半軸長。虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長。

    雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異。

    （2）漸近線

    雙曲線的漸近線（）

    （3）離心率

    雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率范圍：e>1

    （4）等軸雙曲線

    定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。

    等軸雙曲線的性質(zhì)：a、漸近線方程為：；

b、漸近線互相垂直；

c、離心率。

    （5）共漸近線的雙曲線系：如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程寫成。

    （6）共軛雙曲線

    以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。

    （7）雙曲線的第二定義：到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線。

    （8）雙曲線的準線方程：

    對于來說，左準線，右準線；

    對于來說，下準線；上準線。

    焦點到準線的距離（也叫焦參數(shù)）。

5、拋物線的幾何性質(zhì)

    （1）頂點：拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點. 在方程中，當(dāng)y＝0時，x＝0，因此拋物線的頂點就是坐標原點。

    （2）離心率： 拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示。由拋物線的定義可知，e＝1。

【典型例題】

例1、已知一曲線是與兩個定點O（0，0），A（3，0）距離的比為的點的軌跡，求此曲線的方程，并說明軌跡是什么圖形。

解：設(shè)點M（x，y）是曲線上的任意一點，由兩點間的距離公式，點M所適合的條件可以表示為。

將上式兩邊平方，得

化簡得x²＋y²＋2x－3=0，

這就是所求的曲線方程.

把x²＋y²＋2x－3=0的左邊配方，得（x＋1）²＋y²=4.

所以此軌跡是以C（－1，0）為圓心，2為半徑的圓。

例2、已知雙曲線的中心在原點，焦點、在坐標軸上，一條漸近線方程為，且過點（4，）。

（1）求雙曲線方程；

（2）若點M（3，）在此雙曲線上，求；

（3）求的面積。

解：

（1）由題意知，雙曲線的方程是標準方程

∵ 雙曲線的一條漸近線方程為  

∴ 設(shè)雙曲線方程為

把點（4，）代入雙曲線方程得，

∴ 所求雙曲線方程為

（2）由（1）知雙曲線方程為

∴ 雙曲線的焦點為、  

∵ M點在雙曲線上

∴ ，

∴

（3）∵    

∴    

∴ 為直角三角形

∵

∴

例3、如圖，F₁、F₂為橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，直線l：y =2x ＋5與橢圓C交于兩點P₁、P₂，已知橢圓中心O點關(guān)于l的對稱點恰好落在C的左準線l'上。

    （1）求準線l′的方程；

（2）已知·、－a²、·成等差數(shù)列，求橢圓C的方程。

解：（1）設(shè)中心O關(guān)于l的對稱點為Q（x₀，y₀），

則                       

解得又點Q在左準線l′上，

∴l′的方程為x=－4.

（2）設(shè)P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、F₁（－c，0）、F₂（c，0）.

∵·，－a²， ·成等差數(shù)列，

∴·＋·=－a²，

即（＋）·=－a².

（x₁＋x₂，y₁＋y₂）·（c，0）=－a²，c（x₁＋x₂）=－a².

∴x₁＋x₂=.

由得（4a²＋b²）x²＋20a²x＋25a²－a²b²=0.

∴x₁＋x₂=－，∴=－，18c=4a²＋b².

又=4，∴a²=8，b²=4.

∴橢圓C的方程為=1.

例4、求漸近線為  ，且與直線5x－6y－8=0相切的雙曲線方程.

解析：方法一：設(shè)雙曲線（t≠0），和直線相切，聯(lián)立方程組消去x，得，則有：

，解得t=1，故所求雙曲線方程為

方法二：由雙曲線方程x±2y=0，故可設(shè)雙曲線方程為x²－4y²=λ，（λ≠0），它和直線5x－6y－8=0切于點P（x₁，y₁），

∴切線方程為x₁x－4y₁y=λ，

∵x₁x－4y₁y=λ與5x－6y－8=0重合，

      ∴

    解得，，代入，得λ=4

故所求雙曲線方程為x²－4y²=4

例5、在雙曲線 的一支上不同的三點與焦點的距離成等差數(shù)列。

    （1）試求y₁＋y₂，

（2）證明線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求該定點坐標。

解析：

則A、B、C三點的焦半徑

∵2|FB|=|FC|＋|FA|

∴y₁＋y₂=12。

（2）∵A、C均在雙曲線上，

【模擬試題】

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1. 若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（   ）

A.            B.              C.                  D.

2. 已知雙曲線，則雙曲線右支上的點到右焦點的距離與點到右準線的距離之比等于（   ）

A.                 B.           C. 2                      D. 4

3. 已知兩點M（－2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足＝0，則動點P（x，y）的軌跡方程為（   ）

A.            B.          C.                   D.

4. 設(shè)O為坐標原點，F為拋物線y²＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若＝－4，則點A的坐標是（   ）

A. （2，±2）                         B. （1，±2）       

C.（1，2）                                D.（2，2）

5. P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x＋5）²＋y²＝4和（x－5）²＋y²＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為（   ）

A. 6            B. 7              C. 8                  D. 9

6. 已知A、B、C三點在曲線y=上，其橫坐標依次為1，m，4（1＜m＜4），當(dāng)△ABC的面積最大時，m等于（    ）

A. 3                      B.                     C.                           D.

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

7. 已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是                              。

8. 已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y²＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是                             。

9. 拋物線上的點到直線距離的最小值是                       。

10. 已知雙曲線=1（a＞0，b＞0）上一點P到兩焦點F₁、F₂的距離分別是6和2，點M（，0）到直線PF₁和PF₂的距離相等，則此雙曲線的方程為___________。

三、解答題（本大題共4題，共50分）

11. 已知直線y=kx－1與雙曲線x²－y²=1的左支交于A、B兩點，若另一條直線l經(jīng)過點P（－2，0）及線段AB的中點Q，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍。

12. 已知、 是雙曲線的兩個焦點，點 在雙曲線上且滿足 ，求 的面積。

13. 已知一曲線是與兩個定點O（0，0），A（3，0）距離的比為的點的軌跡，求此曲線的方程，并說明軌跡是什么圖形。

14. 過拋物線y²=4x的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點。

（1）求AB的中點C到拋物線準線的距離；

（2）求線段AB的長。

【試題答案】

1. 解：橢圓的右焦點為（2，0），所以拋物線的焦點為（2，0），則，故選D。

2. 解析：依題意可知 ，，故選C。

3. 解：設(shè)，，，

則由，

則，化簡整理得所以選B。

4. 解：F（1，0）設(shè)A（，y₀）則＝（ ，y₀），＝（1－，－y₀），由· ＝－4Ty₀＝±2，故選B。

5. 解：設(shè)雙曲線的兩個焦點分別是F₁（－5，0）與F₂（5，0），則這兩點正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點P與M、F₁三點共線以及P與N、F₂三點共線時所求的值最大，此時|PM|－|PN|＝（|PF₁|－2）－（|PF₂|－1）＝10－1＝9。故選D。

6. 解析：由題意知A（1，1），B（m，），C（4，2）.

直線AC所在方程為x－3y＋2=0，

點B到該直線的距離為d=.

∵m∈（1，4），∴當(dāng)時，S_△ABC有最大值，此時m=.

答案：B

7. 解：已知為所求；

8. 解析（數(shù)形結(jié)合）由橢圓的定義：橢圓上一點到兩焦點的距離之和等于長軸長2a，可得的周長為4a=

9. 解：設(shè)拋物線上一點為（m，－m²），該點到直線的距離為，當(dāng)m=時，取得最小值為

10. 解析：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得

.

∴c=3.而2a=6－2，∴a=2.∴b²=5.

∴雙曲線方程為=1.

11. 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.

由，得（1－k²）x²＋2kx－2=0，

又∵直線AB與雙曲線左支交于A、B兩點，

故有

解得－＜k＜－1

12. 解：∵ 為雙曲線 上的一個點且 、 為焦點.

　　∴　∵

　　∴在 中，

　　∵

　　∴ 　∴

　　∴

13. 解：設(shè)點M（x，y）是曲線上的任意一點，由兩點間的距離公式，點M所適合的條件可以表示為

將上式兩邊平方，得

化簡得x²＋y²＋2x－3=0，

這就是所求的曲線方程.

把x²＋y²＋2x－3=0的左邊配方，得（x＋1）²＋y²=4.

所以此軌跡是以C（－1，0）為圓心，2為半徑的圓.

14. 解：（1）拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=－1，

直線AB的方程為y=x－1，

設(shè)點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）.

將y=x－1代入y²=4x得x²－6x＋1=0.

則x₁＋x₂=6，x₁·x₂=1.

故中點C的橫坐標為3.

所以中點C到準線的距離為3＋1=4.

（2）|AB|=

=

=

=

==8，

即線段AB的長為8或記住類似這樣條件的弦長|AB|==8.