t測驗

求是1025 2023-04-04 發(fā)布于山東

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管榮展

基于 $t$ 分布的假設測驗。

英文名稱
t-test

所屬學科
作物學

t統(tǒng)計數(shù)

由正態(tài)總體得到樣本平均數(shù) $\bar y$ ，可以計算 $u$ 統(tǒng)計數(shù)：

$u=\frac{\bar y-\mu }{\sigma \bar y}$

$u$ 統(tǒng)計數(shù)服從標準正態(tài)分布 $N(0，1)$ ，因而可以基于分布作出統(tǒng)計假設測驗。然而，實踐中往往正態(tài)總體的參數(shù)是未知的，為解決這個問題，可用樣本標準誤 $s_\bar y$ 替換 $\sigma_ \bar y$ ，從而得到 $t$ 統(tǒng)計數(shù)。 $t$ 統(tǒng)計數(shù)服從 $t$ 分布，因而可用于假設測驗。

$t=\frac{\bar y-\mu}{s_\bar y}$

該統(tǒng)計數(shù)可以用于測驗樣本平均數(shù)與已知常數(shù)之間差異顯著性。

若測驗兩個平均數(shù)（ $\bar y_1$ 和 $\bar y_2$ ）所代表的總體平均數(shù)（ $\mu_1-\mu_2$ ）的差異，此時 $t$ 為：

$t=\frac{(\bar y_1-\bar y_2) -( \mu _1- \mu_2) }{s_{\bar y_1-\bar y_2}}$

測驗方法見平均數(shù)假設測驗。

t分布

$t$ 分布（t-distribution）是1908年由W.S.戈塞特（William Sealy Gosset，1876～1937）首先提出的，又稱學生氏分布（Student's t-distribution）。它是一組對稱密度函數(shù)曲線，具有一個單獨參數(shù) $\nu$ 以確定某一特定分布。 $\nu$ 是自由度，在理論上當 $\nu$ 增大時， $t$ 分布趨近于正態(tài)分布（ $u$ 分布）。

$t$ 分布的密度函數(shù)為：

$f_v(t)=\frac{[(v-1)/2 ]!}{ \sqrt{ \pi v} [(v-2)/2]! } (1+\frac{t^2}{v}) ^{-(\frac{v+1}{2 })} , \ \ (-\infty < t < +\infty)$

$t$ 分布的平均數(shù)和標準差為 $\mu_t=0$ （假定 $v>1$ ）； $\sigma_t=\sqrt{v/(v-2)}$ （假定 $v>2$ ）。

$t$ 分布曲線是對稱的，圍繞其平均數(shù) $\mu_t=0$ 向兩側遞降。自由度較小的 $t$ 分布比之自由度較大的 $t$ 分布具有較大的變異度。和正態(tài)曲線比較， $t$ 分布曲線稍扁平，峰頂略低，尾部稍高。 $t$ 分布是一組隨自由度 $v$ 而改變的曲線，但當 $v＞30$ 時趨近于標準正態(tài)分布。由于 $t$ 分布受自由度制約，所以 $t$ 值與其相應的概率也隨自由度而不同（見圖）。

t分布的形狀與標準正態(tài)分布的比較

基于t分布的假設測驗

$t$ 分布的概率累積函數(shù)為： $F_v(t)=\int^t_{-\infty} f_v(t)dt$ ?？梢杂嬎憷鄯e概率函數(shù)及其反函數(shù)，從而可以給出統(tǒng)計推斷?；?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2023/04/0411/263681486_1_2023040411115083.svg' src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" data-latex="t">分布的假設測驗，要根據具體的研究目的，作兩尾測驗或者單尾測驗。兩尾測驗時，可以根據累積概率計算概率值：

$\mathrm{Pr}ob(>|t|) =2\int^\infty_{|t|} f_v(t)dt$

通常，作物學試驗中顯著水平 $\alpha$ 取0.05或者0.01。若 $\mathrm{Pr}ob(>|t|)>0.05$ ，則認為差異不顯著，反之認為差異顯著。

若作單尾測驗，用于統(tǒng)計推斷的概率計算為：

$\mathrm{Pr}ob(>|t|) =\int^\infty_{|t|} f_v(t)dt$ 。

同樣，若 $\mathrm{Pr}ob(>|t|)>0.05$ ，則接受無效假設，反之接受備擇假設。

為方便作出假設測驗的結論，免除計算上的不便，統(tǒng)計學家通過求解下式方程的辦法，計算出 $t$ 測驗的臨界值 $t_\alpha$ ：

$2\int^\infty _{t_\alpha} f_v(t) dt=\alpha$ （兩尾測驗）

$\int^\infty _{t_\alpha} f_v(t) dt=\alpha$ （單尾測驗）

通過 $t$ 值與臨界值 $t_\alpha$ 比較的辦法，確定測驗的顯著性。若 $|t|> t_\alpha$ ，則推斷認為差異顯著，反之推斷認為差異不顯著。