黎曼幾何基本知識本節(jié)我們要給出測地線的概念,有兩種途徑定義測地線.一種是將測地線視為歐氏空間中的直線按下述意義的推廣:歐氏空間中,直線的切向量是常向量,即切向量場沿直線的導數(shù)為零;另一種途徑是將測地線看做局部距離最短的曲線.
則沿曲線的向量場的協(xié)變導數(shù)為 顯然, 此定義不依賴于基的選取. 如果曲線的切向量可延拓為定義在的鄰域內(nèi)的向量場,則上述的定義和限制在上一致. 但是,這種延拓并不總是可能.
注意,測地線的切向量的長度為常數(shù),即為常數(shù). 事實上,對, 有 這里,我們用了Leibnitz法則和的事實. 接下來, 我們介紹熟知的局部坐標系下的測地線方程. 令為的局部坐標卡,使得為從到中區(qū)域的局部微分同胚. 令為中曲線,則 其中為中曲線的參數(shù)方程. 通常認為在下的像與本身相同. 注意,, 局部坐標系下的測地線方程實際上是關(guān)于的方程組. 令為光滑函數(shù), 根據(jù)切空間的定義, 因此, 接下來我們根據(jù)協(xié)變導數(shù)的定義運算 如果為測地線,則. 從而滿足微分方程組 根據(jù)標準的常微分方程理論,上述方程組有短時間局部解,也容易看出,測地線是弧長第一變分的臨界點. 后面, 我們將討論弧長第一變分. 在多變量微積分中,適當?shù)淖鴺讼?例如,直角坐標系和球坐標系, 扮演重要角色,因為它們可將復雜的計算和表達式簡化. 對于微分幾何,由于人們處理的對象很復雜,找到合適的局部坐標尤為重要. 首先, 讓我們利用測地線引進稱做指數(shù)映射的自然局部坐標,上面給出的測地線方程是一個二階二次非線性常微分方程組. 由于流形是光滑的,方程的也是光滑的. 根據(jù)標準的常微分方程理論知,對于任何點和向量, 存在唯一的測地線, 使得且. 這里,可能依賴于和. 如果,則考慮曲線 顯然,且, 此外,曲線對于有確切的定義, 且 其中. 因此至少是在時間段上存在的測地線, 滿足. 注意, 是上的任意向量. 根據(jù)常微分方程的理論,不難證明, 存在滿足下述性質(zhì)的極大開集: (i); (ii)對所有, 存在唯一的測地線, 使得 (iii) 至少在時間段上存在. 接下來我們要給出 定義3:(指數(shù)映射) 給定, 指數(shù)映射是由 給出的,從到映射, 其中是滿足且的測地線. 注: 是在零切向量的某個鄰域上的局部微分同胚. 根據(jù)反函數(shù)定理,只需證明在處的導數(shù)非奇異. 我們將證明在處實際上是恒同映射. 為證明這個事實,我們回憶從一個光滑流形到另一光滑流形的光滑映射的導數(shù)的定義. 在處的導數(shù)是從到的線性映射,使得 這里, 是上任一滿足的光滑曲線,而是在下的像, 即. 注意,這個定義只不過在重新敘述鏈式法則. 接下來我們?nèi)?span>以及定義域為的. 選取任意,令, 則, 根據(jù)上面關(guān)于流形間光滑映射的導數(shù)定義,有 由指數(shù)映射的定義,對于, 其中為測地線,滿足和, 這里的導數(shù)是關(guān)于求導. 由測地線方程局部解的唯一性,我們知 其中是滿足的測地線,因此, 即 不過是從出發(fā),初始切向量等于的測地線,從而 這表明, 由于是包含0的區(qū)域中的任意向量,因此為恒同映射. 指數(shù)映射是切空間到流形的自然局部微分同胚. 一般地, 我們當然不能期望為整體微分同胚. 下面稱為單射半徑的概念度量了仍為微分同胚的程度.
對所有的下確界,稱為整個流形的單射半徑,記做. 與之密切相關(guān)的概念稱為共軛點. 定義:(共軛點)令, 為指數(shù)映射. 稱為點為的共軛點, 如果是的奇異值. 即存在, 使得且線性映射奇異. 單射半徑和共軛點的知識對于理解流形的結(jié)構(gòu)和研究Ricci流是重要的. 我們將在下一節(jié)介紹有關(guān)單射半徑下界的一些結(jié)果. 在微分幾何中,許多對象,例如, 聯(lián)絡,曲率等, 牽涉相當復雜的表達式. 因此,利用有效的局部坐標系以簡化記號和運算非常充要.下面,給出一個最有用的坐標系. 定義5:(局部法坐標系) 令為定義在上的指數(shù)映射. 令為的單位正交基,即, 給定定義 則映射為將映到的局部微分同胚. 局部坐標卡稱為點附近的局部法坐標系. 注: 在局部法坐標系下, 在點(其坐標為)處滿足: (i); (ii) (i)的證明盡管很短,但需要小心概念. 令為上的光滑函數(shù). 根據(jù)局部法坐標系的定義. 因此, 在處, 有 這里只是用了曲線切向量的定義, 即. 因為任意, 故為已選定的的單位正交基. 因此, 我們已證明 為證明斷言(ii), 取, 則在局部上為測地線,滿足且. 在局部法坐標系下,的參數(shù)方程為 因此滿足測地線方程,而這蘊含 注意到, 如果, 這個方程并不意味著. 這是因為對的不同選取,點可以不同. 但是, 通過取和任意的,上述同一方程蘊含. 這就證明了斷言(ii) 在介紹完有關(guān)測地線的這些方程和計算后,讓我們用更為直觀的觀點討論測地線,即把它看做局部距離最小的曲線. 下面我們先回想曲線長度的概念. 定義6:(曲線的長度(弧長)) 令為Riemann流形上的分段曲線, 則曲線的長度(弧長)為 與之緊密相關(guān)的概念是曲線的能量. 定義7:(曲線的能量) 令()為Riemann流形上的分段曲線,則曲線的能量為 定義8:(曲線的變分)光滑曲線的變分是將映到的二元光滑函數(shù), 其中滿足. 曲線在處的切向量記為; 曲線在處的切向量記為;對任何固定的,曲線記作.
這里是曲線在上的長度. 證明: 我們只給出第一個公式的證明. 我們從 出發(fā),在下面的計算中, 我們將用Riemann流形上的向量場的協(xié)變導數(shù)的性質(zhì). 但是, 和都不是上的向量場, 它們通常只在低維子集內(nèi)有定義. 然而,Riemann幾何基本定理中的法則仍能適用, 因此 這里我們用了恒等式(Riemann幾何基本定理中的無撓條件) 由于, 從而命題得證. 從弧長的第一變分公式知,連接兩點的距離最短的曲線一定是測地線. 如果位于足夠小的鄰域內(nèi),連接這兩點且位于此鄰域內(nèi)的測地線也是距離最短的. 然而,如果不靠近,情況就可能不一樣. 有趣的是在臨界的情形,即那些最遠的點,測地線越過它們之后就不再是距離最短的. 這些點形成所謂的割跡,描述如下: 定義10:(割跡) 令為完備流形,且, , 記為滿足的測地線,定義 則的割跡是集合. 割跡中的每個點都被稱為割點. 接下來,我們考慮第二變分公式. 命題11: 給定長度為的以弧長為參數(shù)的測地線, 令為雙參數(shù)光滑變分,即是從到的光滑映射,且, 則在處, 以及 證明: 由第一變分公式的證明知, 因此, 根據(jù)無撓條件和曲率張量的定義,上式化為 如果, 則, 且由為測地線知 因此, 于是, 積分上式,便得命題中的第一個公式. 第二個公式可類似地證明. 在能量和弧長的第二變分公式中,主項是 記, , 則上式化為 如果將能量或弧長看作是曲線的泛函, 則可看成是泛函的Hessian,它扮演著與函數(shù)的Hessian相類似的角色. 定義12:(指標形式) 令是長度為的以弧長為參數(shù)的測地線,則如下定義的雙線性型 稱為的指標形式. 這里,和是沿的向量場,而分別是,沿的協(xié)變導數(shù). 注意到, 把上式代入的指標形式,得 此公式引出了下面的定義.
注: 根據(jù)公式(1), 如果其中一個向量場為Jacobi場,則指標形式由端點處的信息決定. 即如果是Jacobi場, 則 這個性質(zhì)使得利用Jacobi場可簡化許多表達式,例如,體積形式,Laplace算子等.基本的體積比較定理就是按這種方式推導出的. Jacobi場的另一重要性質(zhì)是它們描述了指數(shù)映射的導數(shù). 更確切的說,我們有 命題14: 令, , 為測地線, 則 其中是沿的Jacobi場,滿足以及. 注:回想: 將中的球映到, 因此是從到的映射. 由于是線性空間,故和同構(gòu),因此沒必要區(qū)分著兩個空間中的向量. 對于充分小的數(shù)和, 考慮變分 則由鏈式法則可得 定義向量場為在處的值, 根據(jù)協(xié)變導數(shù)的定義 由于顯然滿足初值條件及, 因此我們只需證明是Jacobi場. 事實上, 這里我們用到是測地線,因此. 下面的兩個命題是Jacobi場的兩個直接應用. 命題15: 令為完備流形上由測地線連接的兩點,滿足, , 且. 則是的共軛點,當且僅當存在沿的非平凡Jacobi場, 使得. 證明: 必要性 假設滿足. 如果共軛, 則根據(jù)共軛點的定義,存在, 使得. 定義上的一族曲線 因向量場 是沿曲線的Jacobi場, 根據(jù)鏈式法則, 由假設, 顯然我們有. 但, 因此非平凡. 這證明了命題的必要性. 充分性 假設存在沿的非平凡Jacobi場,使得, 且, 則. 定義, 因為且 這表明是的共軛點. Jacobi場的另一個應用是它們能刻畫局部法坐標系及與之相關(guān)的測地球坐標系,這簡化了許多計算. 令是以為心, 為半徑的測地球,即 假設這個球和的割跡不相交. 則指數(shù)映射的逆映射存在且是上的局部坐標映射. 令為的單位正交基,中的每個點在這個坐標卡中都能表示為坐標, 即, 由局部法坐標系的定義,知為的局部法坐標系. 定義16:(測地球坐標) 令為的局部法坐標,則在的球坐標系中的坐標稱為的測地球坐標. 命題17: 令, 且和的割跡不相交. 這里是中的單位向量且. 令為的局部法坐標,則有 其中是沿曲線的Jacobi場, 滿足及. 證明: 對任何固定的, 令. 因為球不包含的任何共軛點,因此非奇異,從而 是的一組基. 事實上,它不是別的, 正是局部基. 根據(jù)定義,需要驗證,對任何上的光滑函數(shù), 令為測地線, 則 其中是沿的Jacobi場,滿足和, . 因此, 為的典范基. 在討論指數(shù)映射的一些局部性質(zhì)后,我們轉(zhuǎn)向完備流形的概念,它是基于指數(shù)映射的整體性質(zhì). 定義18: 如果Riemann流形上的任何測地線可延拓為定義在整個實軸上的測地線,則稱此流形是測地完備的. 下面的定理,稱為Hopf-Rinow定理,給出了測地完備流形的有用的描述: 定理19:(Hopf-Rinow定理) 下面有關(guān)Riemann流形的陳述等價: (i)令為由定義的距離函數(shù),即對于, 是關(guān)于的完備度量空間. (ii)對某個點, 指數(shù)映射定義在整個上. (iii)對任何點, 指數(shù)映射定義在整個上 (iv)是測地完備的. (v)中的任何兩點都能用最短測地線連接,即長度等于兩點間距離的測地線. 注: 根據(jù)這個定理,人們通常稱測地完備流形為完備流形. 在證明定理之前,我們敘述兩個和證明有關(guān)的引理. 其中之一是Gauss引理,這個引理至少有兩個證明,這里我們將采用利用Jacobi場的證明. 下面的記號將在引理的證明中用到. 令,對, 定義$B_0(0,r)=\{v\in T_pM: ||v||<r\}$, 并且$b(p,r)$是$m$中的度量球,即$b(p,r)='\{x\in' m|='' d(x,p)<r\}$.<='' p=''></r\}$.<=''>
證明:由鏈式法則,有. 而且 其中是沿的Jacobi場, 滿足以及. 因此, 由于是Jacobi場,而是測地線, 我們有 因此, 為常數(shù). 利用知,當時, 這表明,從而 得證. 最后,利用了和的等價性,對于與中以0為心,為半徑的球面相切的任何向量,就有. 由此根據(jù)剛證明的公式, 便知和測地球面正交.
證明: (1)取足夠小,使得為上的微分同胚. 設點, 則存在中的單位向量, 使得. 我們將證明, 即, 且測地線為最短測地線. 令為連接和的光滑曲線. 首先我們假設對所有, 停留在內(nèi), 則存在函數(shù)以及單位向量, 使得 根據(jù)鏈式法則,則有 這里, 由于被看作是歐氏空間中的向量,因此就是. 又由于是單位向量,根據(jù)Gauss引理,有 上式兩邊對求導得,. 再用Gauss引理,有 所以 這表明 注意到, 由于充分靠近的原點, 因此非奇異, 從而上式中等號成立當且僅當, 這意味著的長度的下確界是, 且若的長度是, 則有, 即是測地線. 令為這樣的測地線,由于是上的微分同胚,且, 故. 因此,就是證明開始時的測地線. 如果跑出,則它在某點處穿過邊界. 由上面的論證,它的長度大于. 無論如何, 我們證明了, 且距離最短. 我們也證明了. 當被任何更小的正數(shù)取代時,這一包含關(guān)系顯然也成立. 由此得結(jié)論 為完成證明, 我們只需要證明反向包含關(guān)系成立. 選取點. 令為連接的光滑曲線,則存在數(shù), 使得點. 在前面,我們已經(jīng)證明, 因此, 對所有連接的光滑曲線取極小,上述不等式化為 這里是上的某個點, 的存在性由的緊性保證. 因此, 于是 由 以及結(jié)論可直接得到. 現(xiàn)在開始Hopf-Rinow定理的證明,主要的工作是證明(i)——(iv)其中之一蘊含(v). 一旦這點獲證,其余的證明就很常規(guī).顯然,(iii)等價于(iv), 而(iii)蘊含(ii). 證明的順序是: (iii) (v), (iii)(ii) (i)(iii). 證明:(Hopf-Rinow定理的證明) 假設對任何, 定義在整個上, 選取兩點, 令充分小. 根據(jù)上面的引理的第(2)部分, 存在使得 再根據(jù)上面引理的第(1)部分,存在單位向量, 使得. 根據(jù)假設,對所有有定義. 令 如果我們能證明, 則 從而, , 且. 因此是連接和的最短測地線. 我們用反證法證明. 假設, 再次應用上面引理的第(1)部分于點和知,存在點和, 使得 由的定義知, , 所以 這蘊含 從而, 這里的所有不等式均為等式. 特別地 令為連接和的最小測地線,則拼接起來的曲線至少是長度為的分段光滑曲線. 由于這條曲線是距離最短的曲線,因此距離的第一變分公式蘊含是光滑測地線. 注意到,和在以開區(qū)間上重合,則測地線方程的唯一性說明,是的延拓,即. 此外, 已證是連接和的最短測地線,因此,的任一段都是最短測地線. 顯然,當被任何取代時, 都有 這和的定義矛盾. 至此已證(iii)蘊含(v). (iii) (ii) (i) 由于(ii)是(iii)的特殊情形, 我們只需證明(ii)蘊含(i), 即如果對某個, 定義在整個上, 則是完備度量空間. 令是Cauchy序列, 根據(jù)(v)(它是(iii)的推論), 存在單位向量列, 使得. 由于的單位球面為緊,故有一子序列收斂到單位向量. 又因為, 我們知道, 為一實Cauchy列. 可看成從出發(fā), 初始速度為的測地線上的點. 假設當時, , 則由測地線方程的有限時間解對初值的連續(xù)依賴性知,. 因此, 時完備度量空間. (i)(iii) 假設是完備度量空間. 取及. 令為使有定義的的上確界. 假定有限, 則選序列, 使得當時,. 于是序列為中的Cauchy列. 令為此序列的極限. 根據(jù)測地線方程,以為初始點, 可將光滑地延拓到之外,這表明. 從而完成了Hopf-Rinow定理的證明. 在幾何分析中,常需要計算距離函數(shù)的Laplacian. 利用Jacobi場,可將距離函數(shù)的二階微分轉(zhuǎn)換為指標形式,而后者牽涉流形曲率的積分表達式, 這顯然有重要的含義. 例如,如果曲率有一定的界,則可得距離函數(shù)的Laplacian的界,這種結(jié)果被稱為Laplacian比較定理. 還可以類似地推導出體積比較結(jié)果, 這將在下節(jié)中介紹. 命題22: 設為維完備Rieman流形,對, 令為距離函數(shù), 是以弧長為參數(shù)的連接和的測地線. 假設與的割跡不相交,令為的單位正交基, 而是沿的平行移動. 對. 令為沿的Jacobi場, 滿足, , 則下面的恒等式成立: 其中, 是指標形式; 這里為矩陣, 為上述Jacobi場,而, 并且為在法坐標系的典范基下度量矩陣的行列式. 證明: 為簡單起見,記為. 根據(jù) 和函數(shù)梯度的定義知,在點處, 這里及以后,除非另外說明, 所有項都從到求和. 注意,在點的鄰域內(nèi),可將延拓為向量場, 使得. 因此, 根據(jù)Riemann幾何基本定理,我們有 由于, 因此,由是測地線知,, 所以 由于為Jacobi場, 則有 最后兩個等式,便完成了命題中第一個恒等式的證明. 接下來,我們證明第二個恒等式. 記矩陣 計算得 這里. 當時,根據(jù)的構(gòu)造知,矩陣是單位陣,從而 注意, 因而. 對, 是Jacobi場. 因此,. 再由證明的第一個恒等式, 這是關(guān)于的第二個恒等式. 最后我們證明涉及的最后一個等式. 令為同一曲線的使得的的Jacobi場. 我們斷言:存在常數(shù)矩陣, 使得. 這是因為,和所滿足的Jacobi場和所是滿足的Jacobi場方程式二階線性, 如果有使得, 則兩Jacobi場和將有同樣的初值及同樣的初始導數(shù), 因而它們必定處處相同. 以記矩陣, 其中為上述Jacobi場,而, 則存在常數(shù)矩陣, 使得 注意到, 當時, 我們有, 所以 從而 因為對, , 并且. 這里為法坐標系下的典范基. 因而 這表明,對, 注: Jacobi場存在且可由顯式表示, 其中 , 而滿足 下面的定理說的是指標形式在沿最短測地線的Jacobi場上取得最小值.
證明: 注意到,在的端點處為零,而的距離最短. 根據(jù)距離的第二變分公式,有 利用分部積分,容易驗證, 而 所以, 且 下一個結(jié)果,常被稱為指標基本定理,說的是不包含共軛點的測地線也滿足上面定理的結(jié)論. 和上面定理不同的是,沒有假設測地線是最短的. 這個定理的直接推論是:不包含共軛點的測地線在所有和它充分接近的曲線中長度最短.
證明: 取的一組基. 則存在沿的Jacobi場, 使得以及. 由沿不存在共軛點的假設知,是唯一的. 這里我們用到Jacobi場是線性的這一事實. 接下來取沿的Jacobi場和向量場, 使得且, 則存在常數(shù)和函數(shù), 使得 由于是Jacobi場, 則由表明 下面計算 這里我們用到等式. 它容易通過微分獲得驗證. 上述計算的第2等號右邊的第一個積分滿足 其中又用到Jacobi場方程和. 將其代入, 我們看到除兩項外其余全部相互抵消,從而得 上式等號成立當且僅當, 即, 或者說. |
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