1. 極點(diǎn)和極線

定義（極點(diǎn)pole和極線polar）：點(diǎn)x 與二次曲線C 共同決定一條直線 l = Cx 叫做 x 對(duì) C 的極線，點(diǎn) x 叫做極線 l 對(duì)C 的極點(diǎn)。

定理（極點(diǎn)與極線的關(guān)系, pole-polar relationship）：點(diǎn)x 對(duì) C 的極線 l 與 C 相交于兩點(diǎn)，通過這兩點(diǎn)的 C 的兩條切線相交于點(diǎn)x.

如果點(diǎn) x 位于C 上，則它的極線就是 C 在點(diǎn) x 上的切線。

如果點(diǎn) x 位于 C 內(nèi)部，會(huì)怎么樣？

定義（相關(guān)，correlation）：由極點(diǎn)和極線的定義可知，二次曲線引入了在空間P² 上從點(diǎn) x 到直線 l 之間的一個(gè)映射，這個(gè)映射關(guān)系可以用1個(gè)3x3非奇異矩陣A 來表示，即 l = Ax. 這叫做相關(guān)，它代表在空間 P² 上從一個(gè)點(diǎn)到一條直線的一個(gè)可逆的映射。

映射矩陣 A 不一定是對(duì)稱的，但是二次曲線C 一定是對(duì)稱的。并且由于 C 的對(duì)稱性，使得這一映射具有共軛的特點(diǎn)。

定義（共軛點(diǎn), conjugate points）：如果極點(diǎn)x 對(duì)二次曲線 C 的極線為 l = Cx，且點(diǎn) y 位于極線 l 上，則有 y^T l = y^T Cx = 0。任意兩個(gè)滿足條件y^T Cx = 0的點(diǎn) x 和y 稱為對(duì) C 共軛。

定理（共軛定理）：如果點(diǎn)x 位于點(diǎn) y 的極線上，那么 y 也位于 x 的極線上。

由二次曲線 C 的對(duì)稱性，很容易得到上述結(jié)論。

由對(duì)偶定理，可以得到具有共軛關(guān)系的兩條直線。

定義（共軛直線，conjugate lines）：兩條直線 l 和m 共軛，如果 l^T C*m = 0.

2. 固定點(diǎn)和固定線

前面已經(jīng)講到，無窮線在投影變換下是固定的，而虛圓點(diǎn)在相似性變換下是固定的。本節(jié)進(jìn)一步討論這個(gè)問題。

對(duì)3x3變換矩陣 H 進(jìn)行特征值分解，得到

He = λe

其中 e 是特征向量，λ 是特征值。如果把特征向量 e 看做 P² 空間中的一個(gè)齊次點(diǎn)，則顯然 e 和λe 代表同一個(gè)點(diǎn)。這說明點(diǎn) e 在變換 H 中是個(gè)固定點(diǎn)。

3x3 矩陣 H 最多有3個(gè)特征值，則相應(yīng)的有3個(gè)固定點(diǎn)。

對(duì)于直線的變換l' = H^-Tl,  把它寫成 l = H^T l',  則可以看到，H^T 的特征向量對(duì)應(yīng)于3條固定線。

歐式矩陣：進(jìn)行特征值分解，得到

可見，歐式矩陣的兩個(gè)特征值{e^iθ,e^-iθ}代表旋轉(zhuǎn)角度，它們對(duì)應(yīng)的特征向量就是兩個(gè)虛圓點(diǎn) I 和 J. 可見虛圓點(diǎn)在歐式變換下是固定的。

第三個(gè)特征向量 (a,b,c)^T，叫做極點(diǎn) (pole) ，對(duì)應(yīng)于特征值1。

相似矩陣：進(jìn)行特征值分解，得到

可見，虛圓點(diǎn)在相似變換下仍然是固定的。特征值代表了旋轉(zhuǎn)角度和縮放比例。

仿射矩陣：對(duì)仿射矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣 H_A^T 進(jìn)行特征值分解，得到

可見，無窮線 l_∞ = (0, 0, 1)^T在仿射變換下是固定的。