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1、東方數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 作為四大文明古國的印度，早期擁有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人幾乎都是僧人，或者種姓地位較高的人；而希臘則是人人可學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；中國是讀書人取得功名后，按照自己的興趣去學(xué)習(xí)探索。 古代東方的數(shù)學(xué)基本上是實(shí)用數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)完全是為實(shí)際生產(chǎn)服務(wù)的，以實(shí)用為目的。古代中國僅是把數(shù)學(xué)當(dāng)做解決實(shí)際問題的一種工具。古代西方的數(shù)學(xué)，以希臘數(shù)學(xué)為例，他們的數(shù)學(xué)家一般都是哲學(xué)家，他們的數(shù)學(xué)更多的是從哲學(xué)家的興趣愛好為驅(qū)動(dòng)力的數(shù)學(xué)。 印度數(shù)學(xué)家多以天文學(xué)為職業(yè)，數(shù)學(xué)成果多半是經(jīng)驗(yàn)的、實(shí)用的，很少給出推導(dǎo)和證明。本質(zhì)上，印度和中國近似，在數(shù)學(xué)這一項(xiàng)目同屬于古代東方數(shù)學(xué)。 除了古希臘人，在歷史上的世界范圍內(nèi)都沒有將數(shù)學(xué)獨(dú)立出來，“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”，單純研究數(shù)學(xué)本身的民族。 2、印度數(shù)學(xué)起源 考古人員發(fā)現(xiàn)，早在公元前1200年，古印度的《吠陀經(jīng)》，就已經(jīng)記載了很多的數(shù)學(xué)知識(shí)。舉個(gè)例子說，我們現(xiàn)在知道的“十進(jìn)制”，就是出自于吠陀經(jīng)，里面最初的記載是“十的力量”。在數(shù)學(xué)中，我們最清楚的通常是用10的冪表示，舉個(gè)例子說，365可以表示為3*10^2，加上6*10^1，再加上5*10^1。用我們現(xiàn)代的數(shù)來來解釋，就是10的冪，而在當(dāng)時(shí)的數(shù)字和10的冪不是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示的，古印度人都有特定的吠陀語，就是“十的力量”。 《繩法經(jīng)》是印度最早的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，其中的數(shù)學(xué)問題涉及祭壇設(shè)計(jì)中的幾何圖案和代數(shù)計(jì)算，畢達(dá)哥拉斯定理的應(yīng)用，相似圖形的性質(zhì)，以及拉繩測(cè)量和基本幾何體的面積計(jì)算等。比如書中提到的祭壇形狀和尺寸的設(shè)計(jì)法則：不論祭壇是正方形、圓形、還是半圓形，面積必須相等。一直到印度教興起，數(shù)學(xué)才逐漸擺脫了宗教的影響，成為天文學(xué)的有力工具。
這種數(shù)字出現(xiàn)在公元前3世紀(jì)，它被人們用于書寫，婆羅門數(shù)字并不是數(shù)字系統(tǒng)的數(shù)字。數(shù)字系統(tǒng)是什么呢？數(shù)字系統(tǒng)僅僅意味著同一個(gè)數(shù)字在不同的位置上代表不同的值，舉個(gè)例子，比如說55這個(gè)數(shù)字，在10位中的個(gè)位表示5個(gè)1，而在10位中的十位表示50。 而“婆羅門的數(shù)字”有著很多的符號(hào)表示和計(jì)算，所以婆羅門的數(shù)字一直到公元前600年才形成完整數(shù)字系統(tǒng)?？脊艑W(xué)家研究證明，“婆羅門數(shù)字”就是阿拉伯?dāng)?shù)字的前身。 當(dāng)今世界所用的最廣泛的數(shù)字系統(tǒng)，幾乎都是阿拉伯?dāng)?shù)字，如果沒有阿拉伯?dāng)?shù)字，我們的文明發(fā)展將停滯甚至滅亡，所以所有使用阿拉伯?dāng)?shù)字的人都應(yīng)該感謝婆羅門數(shù)字的發(fā)明者。在婆羅門數(shù)字中，古印度發(fā)現(xiàn)并發(fā)展了更全面的數(shù)學(xué)概念——零的概念。 在這期間，印度數(shù)學(xué)就像解應(yīng)用題，設(shè)計(jì)規(guī)定形狀的祭壇，搞懂一些基本的幾何知識(shí)和結(jié)論；數(shù)學(xué)知識(shí)多半是用文字表達(dá)的近似的、經(jīng)驗(yàn)性的法則。這一點(diǎn)也和早期中國數(shù)學(xué)的特點(diǎn)差不多。 印度人陳述的畢達(dá)哥拉斯定理：“矩形對(duì)角線生成的(正方形)面積等于矩形兩邊各自生成的(正方形)面積之和”。 接下來，亞歷山大的東征促進(jìn)了希臘與印度的交流，印度首先引入了零號(hào)和完整的十進(jìn)制數(shù)字，這些印度數(shù)字先傳入阿拉伯世界，再由阿拉伯傳到歐洲；印度數(shù)字和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法被歐洲人普遍接受并改造，在近代科學(xué)進(jìn)步中的意義是不言而喻的。 3、印度數(shù)學(xué)的0和負(fù)數(shù) 印度人的數(shù)學(xué)從宗教祭壇設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向天文學(xué)，內(nèi)容主要涉及算術(shù)(運(yùn)算法則)，三角函數(shù)、不定方程、低階方程等等代數(shù)問題。 在1811年，考古學(xué)家挖掘出“巴克沙利手稿”，就是在這個(gè)手稿中，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了零的概念，這個(gè)手稿目前放在了倫敦的牛津大學(xué)圖書館中。“巴克沙利手稿”的出現(xiàn)，成為了公元前2世紀(jì)至公元前3世紀(jì)期間，對(duì)古印度數(shù)學(xué)唯一的見證。這個(gè)手稿，里面涉及了分?jǐn)?shù)，平方根，數(shù)列，代數(shù)方程，級(jí)數(shù)求和等。里面還記載這一次放方程和二次方程。  巴克沙利手稿 巴克沙利手稿，是有70頁的樺樹皮組成，因?yàn)槟甏眠h(yuǎn)，保存的并不是很完整，同時(shí)因?yàn)槟甏脑颍@份手稿的內(nèi)容順序根本無法確定。由于手稿不是紙做的，極其脆弱，研究起來也很困難，一直到近幾年才有突破。研究學(xué)家發(fā)現(xiàn)，手稿中除了公式之外，還出現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)符號(hào)，比如加減號(hào)，而零也并不是突然產(chǎn)生的，最開始用一點(diǎn)“.”表示“0”。 在這本手稿中，“0”并沒有表達(dá)什么數(shù)字，更像一個(gè)占位符，所以最初才用一個(gè)點(diǎn)來表示，后來才逐漸演變成一個(gè)空心圓，同時(shí)也可以看出，印度數(shù)字中，零的出現(xiàn)，克服了早期河谷文明只留空位而沒有符號(hào)的缺點(diǎn)。約公元9世紀(jì)，包括有零號(hào)的印度數(shù)碼和十進(jìn)位數(shù)值記數(shù)法臻于成熟，特別是印度人不僅把“0”看做記數(shù)法中的空位，而且也視其為可施行運(yùn)算的一個(gè)獨(dú)立的數(shù)。印度數(shù)碼在公元8世紀(jì)傳入阿拉伯國家，后又通過阿拉伯人傳至歐洲。所以說，阿拉伯?dāng)?shù)字并不是阿拉伯人創(chuàng)造的，他們只是起了傳播作用。而真正對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)字有貢獻(xiàn)的，正是古印度人。 至今我們依舊無法確定“零”出現(xiàn)的確切時(shí)間，但可以想像的是，它出現(xiàn)的時(shí)間，只會(huì)比我們預(yù)想期的要早得多，當(dāng)然這也證實(shí)了古印度是第一個(gè)使用零概念的國家。  在中國，概念0的出現(xiàn)是在唐代，也是從印度引入。公元718年，唐開元年間來華的天竺高僧瞿曇悉達(dá)在他編纂的《開元占經(jīng)》一書中，出現(xiàn)了關(guān)于概念“0”的占位法?！堕_元占經(jīng)》“天竺九執(zhí)歷經(jīng)”開篇即介紹天竺算字法的以0進(jìn)位法；那個(gè)時(shí)候印度人的零依然是黑點(diǎn)。 負(fù)數(shù)的使用 中國是第一個(gè)發(fā)明和使用負(fù)數(shù)的國家。 在公元前2世紀(jì)，中國就有了負(fù)數(shù)的概念，用紅色表示正數(shù)，用黑色表示負(fù)數(shù)來計(jì)算稅款。《九章算術(shù)》中，除了引進(jìn)正負(fù)數(shù)的概念外，還完整地記載了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，實(shí)際上是正負(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則，也就是書中解方程時(shí)用到的'正負(fù)術(shù)'即'同名相除，異名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之;其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。' 這段話的前四句說的是正負(fù)數(shù)減法法則，后四句說的是正負(fù)數(shù)加法法則。 在印度，負(fù)數(shù)這個(gè)詞最早出現(xiàn)在公元628年，印度天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家布拉馬古普塔在其著作《布拉馬古普塔》中介紹了負(fù)數(shù)的使用規(guī)則。負(fù)數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展也至關(guān)重要。古代印度比其他許多國家都早意識(shí)到這一點(diǎn)。 數(shù)學(xué)家布拉馬古普塔他最早的想法就是正數(shù)是“財(cái)務(wù)”，負(fù)數(shù)是“債務(wù)”。如果這個(gè)數(shù)字比零還小，那就是債務(wù)，舉個(gè)例子，如果一個(gè)農(nóng)民欠了地主10頭牛，那么這個(gè)農(nóng)民擁有的牛是-10，因?yàn)樗乔穭e人的，自身并沒有牛，所以說這是一筆債務(wù)，他需要去買10頭牛來還地主。這對(duì)于農(nóng)民來時(shí)，就是低于零的支持，就是債務(wù)。數(shù)學(xué)家布拉馬古普塔他還提出了“負(fù)數(shù)加負(fù)數(shù)即負(fù)數(shù)，正數(shù)加正數(shù)即正數(shù)”、“正與正、負(fù)與負(fù)、正與負(fù)、正與負(fù)、正與零相乘、負(fù)與零相乘”等操作規(guī)則。 與東方中國、印度相比，許多西方數(shù)學(xué)家不愿意接受負(fù)數(shù)。他們認(rèn)為負(fù)數(shù)是荒謬的，并質(zhì)疑負(fù)數(shù)存在的意義。經(jīng)過不斷的論證和實(shí)踐，負(fù)數(shù)在西方被廣泛接受。 負(fù)數(shù)是東方智慧的產(chǎn)物。負(fù)數(shù)的引進(jìn)，是我國古代數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)給世界數(shù)學(xué)的一份寶貴財(cái)富。負(fù)數(shù)概念引進(jìn)后，整數(shù)集和有理數(shù)集就完整地形成了。 4、印度數(shù)學(xué)與天文學(xué) 微積分的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上一次劃時(shí)代的壯舉。可以說，如果沒有微積分，就沒有現(xiàn)代科技，就沒有人類輝煌的現(xiàn)代文明，人類仍然在黑暗中摸索前行。公元1350年，印度“克拉拉學(xué)派”的一批數(shù)學(xué)家和學(xué)者提出了微積分的核心部分之一“無窮級(jí)數(shù)”的概念。雖然克拉拉邦，學(xué)派沒有建立系統(tǒng)的微積分，但他們已經(jīng)構(gòu)想出了由歐洲數(shù)學(xué)家提出的泰勒級(jí)數(shù)、無窮小、微分等概念。  印度人使用了數(shù)字，引入了負(fù)數(shù)，討論了數(shù)的運(yùn)算法則；廣泛使用了無理數(shù)等等。如數(shù)學(xué)家阿耶波多給出了連續(xù)n個(gè)正整數(shù)的平方和和立方和的表達(dá)式。阿耶波多在印度率先給出了圓周率，但方法不得而知；他還有一項(xiàng)有意義的結(jié)果是一次不定方程的求解。 在阿耶波多之后，過100多年出現(xiàn)了婆羅摩笈多，他留下了兩部天文學(xué)著作《婆羅多修正體系》和《肯達(dá)克迪迦》。婆羅摩笈多使用“二次插值法”，制作了正弦函數(shù)表，收錄在《肯達(dá)克迪迦》；而更多的數(shù)學(xué)內(nèi)容包含在《婆羅多修正體系》中，其中“算術(shù)講義”和“不定方程講義”兩章主要討論了三角形、四邊形、二次方程、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)則，一階和二階不定方程。婆羅摩笈多給出了一元二次方程的求根公式，只是一個(gè)根；他還給出了四邊形的面積公式，(這個(gè)公式從形式上看，很像三角形的面積公式——海倫公式)只是他沒注意到公式成立的條件是四邊形必須內(nèi)接于圓。成立條件，請(qǐng)參考公眾號(hào)：“究盡中學(xué)數(shù)學(xué)”和“究盡數(shù)學(xué)”文章。 在婆羅摩笈多過世后的四個(gè)多世紀(jì)中，印度未曾出現(xiàn)杰出的數(shù)學(xué)家，這期間政治動(dòng)亂、王朝更迭。在拉喜特拉庫塔王朝鼎盛時(shí)期，出現(xiàn)了一位數(shù)學(xué)家——馬哈維拉，他撰寫了印度第一部初具現(xiàn)代形式的教科書《計(jì)算精華》，該書和以往不同，是一本純粹的數(shù)學(xué)書籍，不包含天文學(xué)內(nèi)容；書中包括了零的運(yùn)算、二次方程、利率計(jì)算、整數(shù)性質(zhì)和排列組合等內(nèi)容。 接下來，到了12世紀(jì)，出現(xiàn)了印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆什伽羅。婆什伽羅有兩部重要的數(shù)學(xué)著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》。其中《算法本源》主要探討了正負(fù)數(shù)法則、線性方程組、低階整系數(shù)方程求解等代數(shù)問題；還給出了畢達(dá)哥拉斯定理的兩個(gè)漂亮證明，其中一個(gè)與趙爽的方法相同，另一個(gè)是利用相似三角形的性質(zhì)。 如圖所示，在直角三角形ACB中， 婆什伽羅對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是：采用縮寫文字和符號(hào)來表示未知數(shù)和運(yùn)算；熟練掌握了三角函數(shù)的和差化積公式；比較全面地討論了負(fù)數(shù)，廣泛使用了負(fù)數(shù)。 19世紀(jì)后期印度誕生了享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)天才拉馬努金?？v觀印度的數(shù)學(xué)發(fā)展，不難發(fā)現(xiàn)印度對(duì)數(shù)學(xué)的要求簡單實(shí)用，數(shù)學(xué)家也并不多。和中國相比，有很多相似之處。 5、東方數(shù)學(xué)獨(dú)樹一幟 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起源通常被認(rèn)為是歐洲，而東方的成就往往被忽視。然而，古印度微積分的發(fā)現(xiàn)無疑證明了東方數(shù)學(xué)并不亞于西方數(shù)學(xué)，一個(gè)比西方更早建立起來的更為完善的數(shù)學(xué)體系。一些科學(xué)家試圖證明微積分是通過一些渠道傳到西方的，并被牛頓、萊布尼茨等人學(xué)習(xí)和進(jìn)一步發(fā)展。雖然沒有確鑿的證據(jù)，但至少證明了數(shù)學(xué)應(yīng)該是全人類共同的智力成果，而不是歐洲的一個(gè)獨(dú)特分支。 在古印度，數(shù)學(xué)正在蓬勃發(fā)展。從復(fù)雜的微積分到簡單的數(shù)字，古印度數(shù)學(xué)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了非常重要貢獻(xiàn)。今后，我們或許能在這片土地上探索更多的數(shù)學(xué)秘密，不斷刷新對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的認(rèn)識(shí)。 |
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