古往今來，在所有的數(shù)學(xué)創(chuàng)新中，出現(xiàn)了太多令人驚喜的發(fā)明。有的數(shù)學(xué)概念的發(fā)展和潛力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出發(fā)明者的初衷和預(yù)期，它們?cè)谌祟愇拿鞯倪M(jìn)程中扮演著重要角色，幫助人類擺脫種種愚昧和困境。今天我們要細(xì)數(shù)的就是這樣十個(gè)值得稱頌的數(shù)學(xué)創(chuàng)新。

阿拉伯?dāng)?shù)字

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1、2、3、4、5……這套簡(jiǎn)單的數(shù)字被稱為阿拉伯?dāng)?shù)字。雖然名為“阿拉伯”，但其實(shí)它們最早起源于6或7世紀(jì)的印度，是阿拉伯人從印度人那里習(xí)得的這些數(shù)字，然后在12世紀(jì)左右，中東數(shù)學(xué)家將這套數(shù)字的書寫方法帶到了歐洲。

可能很少有人會(huì)去深思這些最簡(jiǎn)單的數(shù)字的意義，而它們卻是人類文明得以向前推進(jìn)的關(guān)鍵要素。

13世紀(jì)初，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契開始在他的工作中使用阿拉伯?dāng)?shù)字。隨后，西歐的定量科學(xué)取得了巨大的進(jìn)步。為何在此之前羅馬人沒能做出富有創(chuàng)造性的定量科學(xué)？一種說法認(rèn)為，這是因?yàn)橛昧_馬數(shù)字進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算并不是一項(xiàng)方便簡(jiǎn)潔的任務(wù)，因此阿拉伯?dāng)?shù)字的出現(xiàn)代表了計(jì)數(shù)方法上的重大突破，為代數(shù)的發(fā)展鋪平了道路。如果沒有這些數(shù)字，數(shù)學(xué)或許會(huì)一直困在黑暗時(shí)代。

零的概念

在人類歷史上，人們從很久很久以前就理解了“無(wú)”的概念，有記錄以來的第一次使用代表了零的符號(hào)可以追溯到公元前3世紀(jì)的古巴比倫；到了在公元350年左右，瑪雅人的日歷上也出現(xiàn)了與之類似的符號(hào)。但零的概念實(shí)際上是在公元5世紀(jì)左右才在印度充分建立起來的。在此之前，數(shù)學(xué)家會(huì)盡量進(jìn)行最簡(jiǎn)單的算術(shù)計(jì)算。

這些早期的計(jì)數(shù)系統(tǒng)只把零看作一個(gè)占位符，而不是一個(gè)有自己獨(dú)特值或?qū)傩缘臄?shù)字。直到公元7世紀(jì)，人們才充分認(rèn)識(shí)到零的重要性。終于在9世紀(jì)時(shí)，零才以一種與我們今天所使用的橢圓形類似的形式，進(jìn)入了阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)。

在繼續(xù)遷移了幾個(gè)世紀(jì)后，“0”隨著阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)，在12世紀(jì)左右傳到了歐洲。從那時(shí)起，像斐波那契這樣的數(shù)學(xué)家便將0的概念引入了主流思想中，這在后來的笛卡爾、牛頓和萊布尼茨的微積分發(fā)明中均有突出的體現(xiàn)?，F(xiàn)如今，0既是一個(gè)符號(hào)，也是一個(gè)概念，在從物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)，從工程學(xué)到計(jì)算機(jī)的發(fā)展中，都發(fā)揮著重要作用。

負(fù)數(shù)

負(fù)數(shù)概念的第一次出現(xiàn)可追溯到公元前200年的中國(guó)。在《九章算術(shù)》的一章中，負(fù)數(shù)被用于求解一組聯(lián)立方程組。書中用紅色的桿表示正數(shù)，黑色的桿表示負(fù)數(shù)。

7世紀(jì)的印度天文學(xué)家婆羅摩笈多是第一個(gè)賦予負(fù)數(shù)意義的人。他用“財(cái)富”和“債務(wù)”的概念來表示正數(shù)和負(fù)數(shù)。這時(shí)的印度已經(jīng)擁有了一個(gè)含有0的數(shù)字系統(tǒng)。婆羅摩笈多用一種特殊的符號(hào)表示負(fù)號(hào)，并寫下了一些關(guān)于正、負(fù)的運(yùn)算規(guī)則。

直到15世紀(jì)，負(fù)數(shù)才開始出現(xiàn)在歐洲，這開啟了一個(gè)建立在前人思想基礎(chǔ)上的研究過程，并掀起了求解二次方程和三次方程的數(shù)學(xué)熱潮。

小數(shù)

分?jǐn)?shù)的英文fraction一詞來源于拉丁語(yǔ)“fractio”，意思是“斷裂”。在1585年出版的一本小冊(cè)子中，荷蘭數(shù)學(xué)家斯蒂文向歐洲的讀者介紹了十進(jìn)制小數(shù)的概念，表示他要教授“在商業(yè)中遇到的所有計(jì)算都可以不用分?jǐn)?shù)，只用整數(shù)來完成?！彼J(rèn)為他的小數(shù)方法不僅對(duì)商人有價(jià)值，而且對(duì)從占星家到測(cè)量師都有價(jià)值。

但在斯蒂文之前，小數(shù)的基本概念就已經(jīng)在一定程度上得到了應(yīng)用。10世紀(jì)中期，大馬士革的阿爾·烏格利迪西寫了一篇關(guān)于阿拉伯?dāng)?shù)字的論文，在論文中他涉及到了小數(shù)，不過歷史學(xué)家對(duì)他是否完全理解這些數(shù)字存在分歧。我們今天所使用的分?jǐn)?shù)是直到17世紀(jì)才在歐洲出現(xiàn)的。

矩陣

矩陣的起源最早可以追溯到公元前200年到公元前100年之間，在書寫于中國(guó)漢代的《九章算術(shù)》中，“方程”一章里就出現(xiàn)了這種以方形的形式寫下的方程組問題。這是一種通過系數(shù)分離來表示線性方程的方法，是已知最早的矩陣。17世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和各自獨(dú)立地寫下了行列式。

矩陣的現(xiàn)代形式是在19世紀(jì)中葉由英國(guó)數(shù)學(xué)家阿瑟·凱萊（Arthur Cayley）建立的。他從1858年開始，發(fā)表了一系列關(guān)于矩陣的論文，討論了矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的逆、矩陣的轉(zhuǎn)置等等。自矩陣的概念被普及之后，它被應(yīng)用于科學(xué)和工程領(lǐng)域的方方面面。比如在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，矩陣可以被用來表示圖像的旋轉(zhuǎn)和其他轉(zhuǎn)換。

復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的發(fā)展有著非常復(fù)雜的歷史。與多數(shù)人以為的不一樣的是，復(fù)數(shù)的出現(xiàn)并非源自于求解二次方程的需求，而是源自于求解三次方程的需求。

第一次涉及到虛數(shù)的記錄出現(xiàn)在1世紀(jì)，當(dāng)時(shí)，古羅馬數(shù)學(xué)家希羅在研究金字塔的一個(gè)很奇怪的部分，他需要求解√(81-114)。然而，由于他覺得這根本不可能辦到的，因此很快就放棄了。在接下來的很長(zhǎng)一段時(shí)間里，沒有人去過多地觸及這個(gè)概念。

到了16世紀(jì)，一些關(guān)于負(fù)數(shù)平方根的研究又開始慢慢出現(xiàn)。人們發(fā)現(xiàn)了求解三次和四次多項(xiàng)式方程的公式，并意識(shí)到有時(shí)這需要用到負(fù)數(shù)的平方根。最后，在1545年，關(guān)于虛數(shù)的首個(gè)正式研究出現(xiàn)了。那一年，意大利數(shù)學(xué)家吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano）出版了《大術(shù)》一書，在書中他求解了方程x(10-x)=40，得到了x=5±√-15，將復(fù)數(shù)形式a+√-b引入了代數(shù)之中。

雖然自此之后數(shù)學(xué)家開始紛紛在計(jì)算中使用虛數(shù)，但直到近一個(gè)世紀(jì)之后，約翰·沃利斯才提出了第一個(gè)例子，表明負(fù)數(shù)的平方根實(shí)際上是有物理意義的。而我們現(xiàn)在用符號(hào)i來表示虛數(shù)，是從歐拉開始的。他將復(fù)數(shù)可視化為具有坐標(biāo)系中的點(diǎn)，定義了復(fù)指數(shù)，并發(fā)展出了著名的歐拉恒等式。

對(duì)數(shù)

什么是對(duì)數(shù)？一個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家會(huì)給出的答案可能與幾個(gè)世紀(jì)前的數(shù)學(xué)家會(huì)給出的很不一樣。事實(shí)上，對(duì)數(shù)的起源問題并沒有一個(gè)簡(jiǎn)單的答案，但與之相關(guān)的至少有兩位學(xué)者，一位是蘇格蘭男爵約翰·奈皮爾，另一位是瑞士工匠約斯特·比爾吉。在16世紀(jì)末，他們各自獨(dú)立發(fā)展了體現(xiàn)對(duì)數(shù)關(guān)系的系統(tǒng)，并各自花費(fèi)數(shù)年時(shí)間制作計(jì)算對(duì)數(shù)的表格。

對(duì)數(shù)關(guān)系用現(xiàn)代符號(hào)可表示為：

這個(gè)等式將乘法和除法簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的加法和減法運(yùn)算，在17世紀(jì)初，這樣一種概念帶來的沖擊是巨大且直接的。因?yàn)樵?6世紀(jì)末，觀測(cè)天文學(xué)、遠(yuǎn)程導(dǎo)航、測(cè)繪等許多科學(xué)領(lǐng)域得到了前所未有的發(fā)展。這些學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)有著很高的需求，它們?cè)诤艽蟪潭壬系幕A(chǔ)是三角學(xué)，需要三角函數(shù)表等工具進(jìn)行計(jì)算。因此，為了發(fā)展出能夠避開冗長(zhǎng)而復(fù)雜的計(jì)算技術(shù)，人們非常期待能出現(xiàn)可以用加法和減法過程取代的方法。

奈皮爾在這種背景下，選擇將三角函數(shù)作為發(fā)展對(duì)數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)。1614年，他首次發(fā)表了關(guān)于對(duì)數(shù)的著作。他將古希臘語(yǔ)中的兩個(gè)詞語(yǔ)logos（意為比例）和arithmos（意為數(shù)字）組合起來，創(chuàng)造了“l(fā)ogarithm”，即對(duì)數(shù)一詞。大約在同一時(shí)間，瑞士鐘表匠比爾吉也遇到了同樣的計(jì)算問題。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，比爾吉想要生成一個(gè)可以應(yīng)用于所有運(yùn)算過程的表格。1620年，他出版了著作《等差與等比級(jí)數(shù)表》，他的目標(biāo)是創(chuàng)造一個(gè)將乘法、除法、平方根和立方根都可以同時(shí)使用的表。

現(xiàn)在，對(duì)數(shù)在許多方面都與最初的設(shè)想有很大的不同，它已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了作為一種有用的計(jì)算龐大數(shù)字的方法，而是成為了一種數(shù)學(xué)關(guān)系和函數(shù)。對(duì)數(shù)從一個(gè)省力的裝置演變成為數(shù)學(xué)的核心工具之一，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支中都至關(guān)重要。它是群論、微積分的關(guān)鍵，它出現(xiàn)在各種積分的解中。對(duì)數(shù)也構(gòu)成了里氏震級(jí)和酸堿度測(cè)量的基礎(chǔ)，描述了八度音節(jié)的特征……

微積分

說起微積分，可能多數(shù)人通常會(huì)默認(rèn)將功勞都?xì)w于牛頓。但事實(shí)上，微積分的發(fā)現(xiàn)應(yīng)該歸功于兩個(gè)人——牛頓和萊布尼茨。17世紀(jì)末，這兩位杰出的數(shù)學(xué)家?guī)缀踉谕粫r(shí)間各自獨(dú)立發(fā)明了微積分，但他們對(duì)基本概念的思考方式卻截然不同。

牛頓考慮的是隨時(shí)間變化的變量，而萊布尼茨考慮的是變量x和y的范圍無(wú)限接近數(shù)值的數(shù)列。萊布尼茨引入了dx和dy作為這些數(shù)列的連續(xù)值之間的差異，并且他知道通過dy/dx能得到正切。牛頓使用的是x'和y'來計(jì)算正切。他們二人都沒有從函數(shù)的角度來思考微積分，而總是從圖形的角度出發(fā)。對(duì)牛頓來說，微積分是幾何的，而萊布尼茨則更傾向于將它用于分析。

萊布尼茨非常清楚好的符號(hào)的重要性，他所使用的符號(hào)更適合于將微積分推廣到多個(gè)變量，而且這些符號(hào)還讓求導(dǎo)和微積分運(yùn)算更加直觀。因此，今天微積分中所使用的很多符號(hào)都是由萊布尼茨提出的。

微積分使各種各樣的科學(xué)成為可能，如果沒有它的計(jì)算能力，許多科學(xué)都不可能發(fā)生。從建筑到天文學(xué)，從神經(jīng)科學(xué)到熱力學(xué)，一切都依賴于微積分。

非歐幾何

大約在公元前300年，歐幾里得在《幾何原本》一書中提出了5個(gè)幾何公設(shè)：

任意兩點(diǎn)可以通過一直線連接；

任意線段都能延伸成一直線；

任意線段可以一個(gè)端點(diǎn)為圓心該線段為半徑作圓；

所有直角都全等；

若一條直線與兩條直線相交，使同側(cè)的兩角之和小于兩個(gè)直角，那么這兩條直線無(wú)限延伸必定相交。

其中第5個(gè)公設(shè)有別于其他四個(gè)，歐幾里得隱隱覺得它好像不似其他4條那么完美。此后的2000多年時(shí)間里，先后有多名數(shù)學(xué)家嘗試提出這一公設(shè)的替代版本，或者試圖從其他四個(gè)公設(shè)來證明第5個(gè)公設(shè)，其中包括普羅克魯斯齊諾弗尼斯、約翰·沃利斯、喬瓦尼·薩凱里、約翰·海因里?！だ什⒓s翰·普萊費(fèi)爾、阿德里安-馬里·勒讓德等人。

而第一個(gè)真正意義上確認(rèn)第5公設(shè)獨(dú)立于其他4條公設(shè)的，是19世紀(jì)初的高斯。1817年，高斯開始研究這樣一種幾何，在這種幾何中，穿過一個(gè)點(diǎn)可以畫出多于一條與某條線平行的點(diǎn)的線。而在1829年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家尼古拉·羅巴切夫斯基發(fā)表了他的非歐幾何的工作，

而黎曼則在高斯的指導(dǎo)下完成了博士論文。1854年，在黎曼的就職演講中，他重新定義了幾何學(xué)的概念，簡(jiǎn)要探討了球面幾何。雖然這一演講直到1868年才得以發(fā)表，也就是黎曼去世兩年之后，而它的影響是巨大的，例如在愛因斯坦闡明廣義相對(duì)論的過程中，黎曼的非歐幾何起到了重要作用。

二元邏輯

數(shù)百年前，人類發(fā)明了十進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)。直到一個(gè)世紀(jì)以前，我們用于計(jì)算的主要系統(tǒng)仍是十進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)。但是，隨著計(jì)算機(jī)和其他技術(shù)的發(fā)展，我們有了對(duì)更復(fù)雜的數(shù)字系統(tǒng)的需求，這也促使了二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)的誕生。

二進(jìn)制系統(tǒng)的起源可以追溯到19世紀(jì)中期。1847年，英國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家喬治·布爾在《邏輯的數(shù)學(xué)分析》一文中寫下了他的關(guān)于用推理演算和代數(shù)運(yùn)用來解決邏輯問題的思考。

布爾邏輯的有三個(gè)主要邏輯，即AND、OR和NOT邏輯。AND邏輯闡述的是，如果兩個(gè)比較值都為真，那么結(jié)果值為真；OR邏輯說的是如果兩個(gè)比較值中的一個(gè)為真值，那么結(jié)果為真值；NOT邏輯會(huì)反轉(zhuǎn)給定的值，例如如果給定的值是真值，那么NOT會(huì)將它反轉(zhuǎn)為假，如果它是假值，那么NOT會(huì)將把它反轉(zhuǎn)為真值。這里，真和假這兩個(gè)狀態(tài)可以用兩個(gè)數(shù)字表示：1和0，也就是二進(jìn)制系統(tǒng)。

在20世紀(jì)30年代，一些研究人員注意到，布爾的二元邏輯可以用來描述電子電路開關(guān)，從而開始被用于設(shè)計(jì)電子計(jì)算機(jī)。現(xiàn)如今，每個(gè)數(shù)字計(jì)算機(jī)使用的都是這種二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)，它被用于多種應(yīng)用程序，這包括圖像處理、高端音頻和高清視頻的錄制、存儲(chǔ)數(shù)以百萬(wàn)計(jì)的數(shù)據(jù)輸入等等。