有這樣一個(gè)神奇的函數(shù)，它是除了函數(shù)f(x)=0以外，唯一一個(gè)導(dǎo)函數(shù)等于原函數(shù)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是以自然常數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù)：f(x)=e^x

今天我們就來(lái)探討一下為什么函數(shù)f(x)=e^x的導(dǎo)函數(shù)等于原函數(shù)：

f′(x)=(e^x)′=e^x=f(x)

關(guān)于這個(gè)結(jié)論的證明，我查閱了很多資料，結(jié)果驚訝地發(fā)現(xiàn)除了需要付費(fèi)的專(zhuān)業(yè)性教材以外，全網(wǎng)居然沒(méi)有一篇文章能夠真正地講清楚。絕大多數(shù)文章給出的證明是這樣的：

求證：(e^x)′=e^x

證明：根據(jù)求導(dǎo)函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)

y′=f′(x)=lim(△y/△x)

=lim[f(x+△x)-f(x)/△x)]，△x→0

y=f(x)=e^x

f′(x)=lim[f(x+△x)-f(x)/△x)]

=lim[e^(x+△x)-e^x]/△x

=lim[(e^x)×(e^△x)-e^x]/△x

=lim[e^x×(e^△x-1)]/△x

=(e^x)×lim[(e^△x-1)]/△x，△x→0

因?yàn)?e^△x-1)是△x的等價(jià)無(wú)窮小

記作：(e^△x-1)~△x

所謂等價(jià)無(wú)窮小就是指：

lim[(e^△x-1)/△x]=1，△x→0

f′(x)=(e^x)×lim[(e^△x-1)/△x]

=(e^x)×1=e^x，△x→0

(e^x)′=e^x

證畢!

這個(gè)證明看上去沒(méi)有任何問(wèn)題，但其中最關(guān)鍵的一步(e^△x-1)~△x并沒(méi)有解釋清楚。

為什么(e^△x-1)就是△x的等價(jià)無(wú)窮小呢？

這篇文章并沒(méi)有作出進(jìn)一步解釋?zhuān)皇钱?dāng)作一個(gè)固定結(jié)論直接引用。但另一篇文章解釋了為什么(e^△x-1)就是△x的等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

求證：lim[(e^x-1)/x]=1，x→0

證明：根據(jù)泰勒展開(kāi)式

f(x)=e^x=f(x0)/0!+[f(x0)/1!]×(x-x0)+[f(x0)/2!]×[(x-x0)^2]+……+[f(x0)/n!]×[(x-x0)^n]+……

取x0=0，f(x0)=f(0)=e^0=1，x-x0=x-0=x

f(x)=e^x=1/0!+(1/1!)×x+(1/2!)×(x^2)+……+(1/n!)×(x^n)+……

=1+x+(1/2!)×(x^2)+……+(1/n!)×(x^n)+……

e^x-1=x+(1/2!)×(x^2)+……+(1/n!)×(x^n)+……

(e^x-1)/x=1+(1/2!)×(x)+……+(1/n!)×[x^(n-1)]+……

lim[(e^x-1)/x]

=lim{1+(1/2!)×(x)+……+(1/n!)×[x^(n-1)]+……}

=1+(1/2!)×0+……+(1/n!)×0+……=1，x→0

lim[(e^x-1)/x]=1，x→0

證畢！

這個(gè)證明看上去仍然沒(méi)有什么問(wèn)題，但仔細(xì)一想你就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的邏輯漏洞。在利用泰勒展開(kāi)式時(shí)，是需要對(duì)原函數(shù)求n階導(dǎo)數(shù)的。

之所以函數(shù)(e^x)能夠展開(kāi)成以上形式，其根本原因就在于(e^x)的導(dǎo)函數(shù)還是等于原函數(shù)(e^x)，所以(e^x)的n階導(dǎo)數(shù)依然等于原函數(shù)(e^x)，即：f(n)(x)=f(x)。

我們一開(kāi)始利用了(e^x-1)~x證明了(e^x)′=e^x，然后又利用了(e^x)′=e^x證明了(e^x-1)~x，這就是典型的循環(huán)論證！

更有簡(jiǎn)單粗暴的文章直接用洛必達(dá)法則進(jìn)行證明。

求證：lim[(e^x-1)/x]=1，x→0

證明：根據(jù)洛必達(dá)法則

lim[(e^x-1)/x]=lim[(e^x-1)′/(x)′]=lim{[(e^x)′-(1)′]/1}

=lim[(e^x)-0]=lim(e^x)=e^0=1，x→0

lim[(e^x-1)/x]=1，x→0

證畢！

很顯然，這里在運(yùn)用洛必達(dá)法則進(jìn)行證明的過(guò)程中我們同樣用到了(e^x)′=e^x這個(gè)結(jié)論，這又再次陷入到了無(wú)限循環(huán)之中。

那么我們應(yīng)該如何證明(e^x)′=e^x呢？要想嚴(yán)格證明這個(gè)結(jié)論，必然要運(yùn)用到自然常數(shù)“e”的定義，我們是這樣定義“e”的：

可以證明數(shù)列{an}={(1+1/n)^n}，n→∞，必存在極限，我們將這個(gè)極限值叫做自然常數(shù)，用字母“e”表示

e=lim(an)=lim[(1+1/n)^n]，n→∞

類(lèi)似地，還可以通過(guò)函數(shù)求極限來(lái)定義“e”

e=lim[f(x)]=lim[(1+1/x)^x]，x→∞

令y=1/x，則1/y=x

當(dāng)x→∞時(shí)，顯然有(1/x)→0，即y→0，所以有

e=lim[(1+1/x)^x]=lim[(1+y)^(1/y)]，y→0

再把y換成x，一般習(xí)慣表示為：

e=lim[(1+x)^(1/x)]，x→0

最后，我們用“e”的定義來(lái)進(jìn)行證明：

求證：(e^x)′=e^x

證明：根據(jù)求導(dǎo)函數(shù)的定義，前面我們已經(jīng)證明了

y=f(x)=e^x

f′(x)=lim[f(x+△x)-f(x)/△x)]

=(e^x)×lim[(e^△x-1)/△x]，△x→0

令t=e^△x-1，e^△x=1+t

當(dāng)△x→0，t=e^△x-1→e^0-1=1-1=0

△x=log(e，1+t)=ln(1+t)

(e^△x-1)/△x=t/ln(1+t)

=1/[(1/t)×ln(1+t)]=1/ln[(1+t)^(1/t)]

根據(jù)e的定義

lim[(1+t)^(1/t)]=e，t→0

f′(x)=(e^x)×lim[(e^△x-1)/△x]，△x→0

=(e^x)×lim{1/ln[(1+t)^(1/t)]}，t→0

=(e^x)×<1/ln{lim[(1+t)^(1/t)]}>，t→0

=(e^x)×[1/ln(e)]

=(e^x)×(1/1)

=e^x

(e^x)′=e^x

證畢!

回顧整個(gè)推理思路，正確的邏輯順序應(yīng)該是這樣的：

①我們首先定義了數(shù)列{an}={(1+1/n)^n}，n→∞的極限為e；

②然后利用這個(gè)定義和求導(dǎo)函數(shù)的定義證明了(e^x)′=e^x；

③最后利用這個(gè)導(dǎo)數(shù)的結(jié)果和泰勒展開(kāi)式或洛必達(dá)法則證明了(e^x-1)~x。