板塊三  相似三角形模型

(一)金字塔模型                                  (二) 沙漏模型

①；

②．

所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：

⑴相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；

⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；

⑶連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．

三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半．

相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具．

在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形．

【例 1】   如圖，已知在平行四邊形中，，，，那么的長(zhǎng)度是多少？

【例 2】   如圖，測(cè)量小玻璃管口徑的量具，的長(zhǎng)為厘米，被分為等份．如果小玻璃管口正好對(duì)著量具上等份處(平行)，那么小玻璃管口徑是多大？

【例 3】   如圖，平行，若，那么________．

【例 4】   如圖， 中，，，互相平行，，

則        ．

【鞏固】如圖，平行，且，，，求的長(zhǎng)．

【鞏固】如圖， 中，，，，，互相平行，，

則        ．

【例 5】   已知中，平行，若，且比大，求．

【例 6】   如圖：平行， ，，求的長(zhǎng)度

【鞏固】如圖，已知平行，，那么________．

【例 7】   如圖，中，，，與平行，的面積是1平方厘米．那么的面積是       平方厘米．

【例 8】   如下圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為l0厘米，BO長(zhǎng)8厘米。AE=____厘米。

【例 9】   如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是12厘米，E是CD邊上的中點(diǎn)，連接對(duì)角線AC，交BE于點(diǎn)O，則三角形AOB的面積是（         ）平方厘米。

A、24          B、36        C、48          D、60

【例 10】 在圖中的正方形中，，，分別是所在邊的中點(diǎn)，的面積是面積的幾倍？

【例 11】 圖30-10是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米．問(wèn)：陰影部分的面積是多少平方厘米?

【例 12】 如圖，線段與垂直，已知，，那么圖中陰影部分面積是多少？

【例 13】 如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，，則四邊形的面積________．

【例 14】 已知三角形的面積為，，是的中點(diǎn)，且∥，交于，求陰影部分的面積．

【例 15】 已知正方形，過(guò)的直線分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，且，，求正方形的邊長(zhǎng)．

【例 16】 如圖，三角形是一塊銳角三角形余料，邊毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？

【鞏固】如圖，在中，有長(zhǎng)方形，、在上，、分別在、上，是 邊的高，交于，，厘米，厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬．

【例 17】 圖中是邊長(zhǎng)為的正方形，從到正方形頂點(diǎn)、連成一個(gè)三角形，已知這個(gè)三角形在上截得的長(zhǎng)度為，那么三角形的面積是多少？

【例 18】 如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形兩邊長(zhǎng)分別延長(zhǎng)和，割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少？

【例 19】 圖中的大小正方形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)(厘米)，它們的面積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積是        ．

【例 20】 如圖，是矩形一條對(duì)角線的中點(diǎn)，圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個(gè)三角形的面積為和，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？

【例 21】 已知長(zhǎng)方形的面積為厘米，是的中點(diǎn)，、是邊上的三等分點(diǎn)，求陰影的面積是多少厘米？

【例 22】 是平行四邊形，面積為72平方厘米，、分別為、的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為       平方厘米．

【例 23】如圖，三角形的面積是8平方厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘米，是的中點(diǎn)，則三角形的面積是         平方厘米．

【例 24】如圖，長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，與、分別交于、，垂直于，交于，已知，，求．

【例 25】右圖中正方形的面積為1， 、分別為、的中點(diǎn)，．求陰影部分的面積．

【例 26】 梯形的面積為12，，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于，四邊形 的面積是        ．

【例 27】如圖，三角形的面積為60平方厘米，、、分別為各邊的中點(diǎn)，那么陰影部分的面積是       平方厘米．

【例 28】 如圖,是直角梯形，，那么梯形的面積是多少?

【例 29】 邊長(zhǎng)為厘米和厘米的兩個(gè)正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面積是多少平方厘米？

【例 30】如右圖，長(zhǎng)方形中，，，求的長(zhǎng)．

【例 31】 如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，是邊的中點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，求

【例 32】 如圖所示，已知平行四邊形的面積是1，、是、的中點(diǎn)， 交于，求的面積．

【例 33】 正方形的面積是120平方厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形的面積是

      平方厘米．

【例 34】 如圖，已知,點(diǎn)分別在上，且，則是多少？

【例 35】如圖，長(zhǎng)方形中，、分別為、邊上的點(diǎn)，，，求．

【例 36】如下圖，、、、均為各邊的三等分點(diǎn)，線段和把三角形分成四部分，如果四邊形的面積是24平方厘米，求三角形的面積．

【例 37】 如圖，為正方形，且，請(qǐng)問(wèn)四邊形的面積為多少？

【例 38】 如圖12-6所示，在三角形ABC中，DC=3BD，DE=EA．若三角形ABC的面積是1．則陰影部分的面積是多少?

【例 39】 一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形如圖擺放，①、②、③這三塊的面積比依次為．那么，④、⑤這兩塊的面積比是______．

【例 40】 下圖中，四邊形ABCD都是邊長(zhǎng)為1的正方形，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的重點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么，m＋n的值等于__________。

（A）5 （B）7  （C）8  （D）12

【例 41】 如圖所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,三角形AEF的面積是1.求陰影部分的面積。

【例 42】 如圖，正方形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，J為GD的中點(diǎn)，EJ交CD于I。已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為10cm，則圖中陰影部分的面積是__  ___ cm².