1 微分方程的定義

微分方程就是含有導(dǎo)數(shù)的方程，例如：

它就含有導(dǎo)數(shù)  ，因此它就是一個(gè)微分方程。而我們知道導(dǎo)數(shù)的寫(xiě)法不止一種，這個(gè)方程還可以寫(xiě)為：

寫(xiě)成這種形式后，可以看到，方程中含有導(dǎo)數(shù)的最高階為  ，因此這個(gè)方程又稱(chēng)為一階微分方程。

有一階微分方程，就有二階微分方程：

這個(gè)方程就是二階微分方程，我們可以給出  階微分方程的定義

方程中只要保留最高次的導(dǎo)數(shù)，就是  階微分方程，比如二階微分方程中：

即使沒(méi)有  與  ，方程式這樣：

它仍然是二階微分方程。

微分方程在物理中十分常見(jiàn)，例如我們熟知的牛頓第二定理：

將加速度  表示成速度的變化率  ，方程

就是一個(gè)微分方程，我們通過(guò)一道例題來(lái)了解一下它：

例已知一靜止物體質(zhì)量為  ，受到向右的力，大小為  ，求速率  與時(shí)間  的關(guān)系。

解：根據(jù)牛頓第二定理：

其中  ，  ，代入可得微分方程：

整理得到：

兩邊同時(shí)積分：

計(jì)算得到：

再根據(jù)題目所給條件  時(shí)，  ，可得 

從而得到

這道例題雖然簡(jiǎn)單，但可以幫助我們了解微分方程：

初始式子可以看作：

當(dāng)  時(shí)，無(wú)論  取何值，微分方程  都成立，  被稱(chēng)為  的通解。

而在  的條件下，解得  ，這稱(chēng)為微分方程的特解，這里用到的  稱(chēng)為初始條件。

下面我們?cè)賻缀紊显賮?lái)看看這個(gè)微分方程：

這個(gè)方程說(shuō)明曲線再各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為  ，即切線的斜率應(yīng)該為 

我們可以在坐標(biāo)軸中取很多等距離的點(diǎn)，并在各個(gè)點(diǎn)作出斜率為  的小段直線，這個(gè)圖像也被稱(chēng)為  的斜率場(chǎng)(線素場(chǎng))。斜率場(chǎng)上的每根直線，就是圖像在該點(diǎn)的斜率，根據(jù)斜率場(chǎng)，我們可以作出函數(shù)的圖像：

這些函數(shù)不止一條，它們是  不同  取值時(shí)的圖像，也就是微分方程的通解。

滿足初值條件  的曲線，也就是過(guò)原點(diǎn)的曲線  ，是微分方程的特解。

最后來(lái)給出微分方程中的各個(gè)基本概念

(1)微分方程的解：如果某函數(shù)  可以滿足n階微分方程，那么  就是微分方程的解。

前面例子  中，通解  與特解  都滿足微分方程，它們都是微分方程的解。

(2)微分方程的通解：如果微分方程包含任意常數(shù)，且任意常數(shù)個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱(chēng)為微分方程的通解。

 是一階微分方程，它的通解  含有一個(gè)任意常數(shù) 

二階微分方程  ，它的通解為  ，它包含兩個(gè)任意常數(shù)  與  

最后再來(lái)說(shuō)說(shuō)初始條件和特解

(3)初始條件和特解：用來(lái)確定任意常數(shù)的條件稱(chēng)為初始條件。確定了任意常數(shù)后所得到的解，被稱(chēng)為微分方程的特解。

如前面的例子中，通解為  ，初始條件  確定了任意常數(shù)  ，得到特解