第八章 微分方程初步

內(nèi)容提示與分析

§8.1 微分方程的一般概念

1． 微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程。

常微分方程：微分方程中的未知函數(shù)是一元函數(shù)的，叫常微分方程，其一般形式為

。

偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，叫偏微分方程。

2．  微分方程的階：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階。

3．微分方程的解：如果把某個(gè)函數(shù)以及它的各階導(dǎo)數(shù)代人微分方程，能使方程成為恒等式，這個(gè)函數(shù)稱為微分方程的解。

微分方程的解有通解與特解兩種形式。

4． n 階微分方程的通解：含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解，叫 n 階微分方程的通解。

5．微分方程的特解：不含有任意常數(shù)的解，叫微分方程的特解。

§8.2 一階微分方程

    一階微分方程的一般形式是

一、可分離變量的一階微分方程

如果一階微分方程能表達(dá)成 則稱此方程為可分離變量的一階微分方程。

設(shè) ，則將變量分離后得

然后兩邊積分

即可得微分方程通解。

二、齊次方程

齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

令 兩邊求導(dǎo)，有 代入原方程得

這是一個(gè)可分離變量的方程，求解后用 代回，即可得原方程的通解。

三、一階線性微分方程

未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的一階微分方程

    （1）

稱為一階線性微分方程。若 ，得 

        （2）

稱為一階線性齊次方程，此時(shí)可將方程（2）分離變量，得

得(2)的通解為

       （3）

其中 為任意常數(shù)。若 ，

則方程(1)稱為一階線性非齊次方程，下面我們來(lái)求方程(1)的通解。

用常數(shù)變易法，將與（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程（2）的通解（3）中的任意常數(shù)C，換成待定的函數(shù)u(x)，即設(shè)

    （4）

是(1 )的解。由于

   （5）

將（4）和（5）代入（1）得

積分得

代入（4）得

這就是（1）的通解。

所以，一階線性非齊方程式 的通解是。

§8.3 可降階的高階微分方程

一、 型  

微分方程 的右端僅含有自變量是x,將兩端積分一次，就得到一個(gè) n-1階微分方程

再積分一次，得

依次進(jìn)行n次積分，便得含有n個(gè)任意常數(shù)的通解。

二、 型

方程右端不顯含未知函數(shù)y，（可能含有y'） ，從而原方程化為以 為未知函數(shù)的一階方程：

如果能求出上述方程的通解 再由方程

可求得原方程的通解：

3. 型．

方程右端不顯含自變量 。由于

方程就化為

如能求出通解 ，即

利用分離變量法，可以進(jìn)一步求得原方程的通解為

§8.4 二階常系數(shù)線性微分方程

一、二階常系數(shù)線性齊次方程

二階常系數(shù)線性齊次方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式是 ，其中a,b,c是常數(shù)，a≠0。

定理1  如果函數(shù) 的兩個(gè)特解，則

也是方程 的解，其中 為常數(shù)。

求解微分方程 可以通過(guò)求解其相應(yīng)的特征方程 的根而得。

若

① 為相異實(shí)根，

方程通解為：

② 為重根，

方程通解為：

③ 時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛的復(fù)根

方程通解為：

二、二階常系數(shù)線性非齊次方程

二階常系數(shù)線性非齊次方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式是  

，

其中a,b,c是常數(shù)，式中的f(x)稱為右端項(xiàng)。

定理2  設(shè) 是線性非齊次方程的一個(gè)特解，而 是相應(yīng)的線性齊次方程的通解，則其和 為線性非齊次方程的通解。

定理3  設(shè)y₁是非齊次方程 的一個(gè)特解， y₂是非齊次方程

是非齊次方程

的—個(gè)特解。

這就是線性非齊次微分方程解的迭加原理。

對(duì)于右端項(xiàng)具有特殊形式的線性非齊次方程，其通解可以根據(jù)右端項(xiàng)的形式與相對(duì)應(yīng)的線性齊次方程，通過(guò)待定系數(shù)法求得。

下表為特殊的右端項(xiàng) 的特解形式：

表中 是已知n次多項(xiàng)式，而 是待定的 n次多項(xiàng)式。