一、《高等數(shù)學(xué)》一階微分方程分類：

第一類：可分離變量的微分方程及其分離變量的求解方法，包括齊次微分方程（換元法）。

第二類：一階線性微分方程，其中齊次線性微分方程的求解歸結(jié)為可分離變量的微分方程；而非齊次線性微分方程基于常數(shù)變易法，或稱為待定函數(shù)法，直接得到非齊次線性微分方程的通解或者基于線性微分方程解的結(jié)構(gòu)求得其一個特解來求通解：

非齊次線性微分方程的特解=對應(yīng)齊次線性微分方程的通解+非齊次的一個特解

其中伯努利方程（換元法）歸結(jié)為一階線性微分方程。

第三類：全微分方程及基于曲線積分與路徑無關(guān)的積分法，或者基于全微分運算法則與微分的形式不變性的方法（這部分內(nèi)容在曲線積分有關(guān)積分與路徑無關(guān)的內(nèi)容中討論）。

二、求解一階微分方程的基本思路

1．改寫結(jié)構(gòu)，對比標準可求解類型

適當(dāng)變換微分方程描述形式，比對標準類型方程結(jié)構(gòu)。常用的一階微分方程的標準類型有：

●可分離變量的微分方程：

具有這種結(jié)構(gòu)的方程可以使用分離變量法求解，

●齊次方程(所謂齊次，各項次數(shù)相同)：

將原方程轉(zhuǎn)換為可分離變量的微分方程求解。

●一階線性微分方程：

(1)當(dāng)Q(x)恒等于0時，為齊次線性方程，使用可分離變量法求解；

(2)當(dāng)Q(x)不恒等于0時，為非齊次線性方程，基于對應(yīng)的齊次線性方程的通解，使用常數(shù)變易法，或者說待定函數(shù)法求解；也可以直接利用通過常數(shù)變易法得到的通解計算公式

直接得到通解，其中的不定積分都不帶任意常數(shù).

●伯努利方程：

通過兩端同時除以yⁿ，令z=y^1-n將方程轉(zhuǎn)換為一階線性微分方程求解。

●全微分方程：它的判定和求解方法，使用曲線積分相關(guān)的理論與方法求解。

滿足以上條件的微分方程為全微分方程，可以通過曲線積分與路徑無關(guān)求積分得到通解，或者基于全微分的形式不變性與全微分公式得到通解，即

2．換元轉(zhuǎn)換，構(gòu)建標準類型

對于不符合標準類型的方程，考慮對微分方程進行適當(dāng)變換后，使用換元法將一階微分方程

的右邊項f(x,y)的部分表達式用新的變量表示，或者其中的變量用新的變量表達式替換，將方程轉(zhuǎn)換為一階微分方程標準類型來求解。

【注】換元表達式的選取一般不具有普適性的技巧，就是通過不斷改寫微分方程表達式，不斷嘗試選取不同表達式換元，直到將微分方程換元后轉(zhuǎn)換為已知類型結(jié)構(gòu)為止！其中齊次方程轉(zhuǎn)換為可分離變量的方程求解，伯努利方程轉(zhuǎn)換為線性微分方程求解就是典型的換元求解思路。

3．變更因變量與自變量地位

將求解y函數(shù)轉(zhuǎn)換為求x函數(shù)：

然后再對比標準類型；如果符合，則使用相應(yīng)的思路求解；否則，在此思路上，再考慮第二種思路，通過變量替換轉(zhuǎn)換為標準類型求解。

【注】課件中特別關(guān)注例3（建議利用該題體驗求解一階微分方程的基本思路）；內(nèi)容小結(jié)與練習(xí)中的練習(xí)2，對于右邊項為分段函數(shù)的求解與討論！

參考課件節(jié)選：