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撰文 | [英] 馬庫斯·杜·索托伊 翻譯 | 柏華元 當(dāng)哈代和利特爾伍德步履維艱地穿越陌生的黎曼圖景時(shí)，在5000英里外的印度馬德拉斯港務(wù)局內(nèi)，一個(gè)名叫斯里尼瓦瑟·拉馬努金的年輕辦事員被素?cái)?shù)的神秘莫測吸引住了。 他沒有把時(shí)間花在他本應(yīng)負(fù)責(zé)的無聊的記賬工作上，而是把所有醒著的時(shí)間都用來記錄觀察到的或者計(jì)算出的關(guān)于這些奇怪?jǐn)?shù)字的規(guī)律。拉馬努金在研究素?cái)?shù)時(shí)，對于西方世界開辟出的獨(dú)特復(fù)雜的視角還一無所知。 他沒有接受過正規(guī)教育，因此不像利特爾伍德和哈代那樣，對數(shù)論這門學(xué)科，特別是素?cái)?shù)，心懷敬畏。 哈代認(rèn)為，素?cái)?shù)是“純數(shù)學(xué)所有分支當(dāng)中最難的部分”。 不受任何傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的束縛，拉馬努金帶著一種近乎孩子般的熱情，一頭扎進(jìn)了素?cái)?shù)的世界里。他的無所畏懼以及超凡的數(shù)學(xué)天賦，日后都成了他有力的武器。 在劍橋大學(xué)，哈代和利特爾伍德仔細(xì)研讀了蘭道在書中講述的關(guān)于素?cái)?shù)的精彩故事。在印度，拉馬努金對素?cái)?shù)的研究興趣源于一本數(shù)學(xué)基礎(chǔ)書，但是此書對他的影響同樣是深遠(yuǎn)的。 對于年輕科學(xué)家來說，人生中的幾個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)通常是決定他們未來發(fā)展的關(guān)鍵。 對黎曼來說，那本他在孩童時(shí)期收到的來自拉格朗日的著作，在他年幼的心里播下了一顆種子，這顆種子在他日后的生命中破土而出，發(fā)芽生長。 對哈代和利特爾伍德來說，朗道的那部作品同樣意義重大。 15歲的拉馬努金，在1903年偶然間得到喬治·卡爾的《純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本結(jié)果概述》一書，從此對素?cái)?shù)的研究熱情便一發(fā)不可收拾。 要是沒有拉馬努金的話，該書及其作者可能會(huì)默默無聞。這本書結(jié)構(gòu)簡單，它羅列了差不多4400個(gè)經(jīng)典結(jié)果——只有結(jié)論，沒有證明過程。 拉馬努金敢于直面挑戰(zhàn)，在接下來的幾年里，對書里的每一項(xiàng)結(jié)論都進(jìn)行了證明。他對于西方式的證明方式并不熟悉，于是開辟了自己的數(shù)學(xué)道路。不受固有思維模式的束縛，他可以自由地發(fā)揮想象。 沒過多久，他就在筆記本里密密麻麻寫下了各種新的結(jié)論和觀點(diǎn)，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出 了卡爾在書中提到的內(nèi)容。從費(fèi)馬許多未經(jīng)證明的命題中，歐拉獲得了靈感。從拉馬努金處理問題的方式上，可以看到歐拉的影子。 拉馬努金有一種異于常人的直覺，他能靠直覺導(dǎo)出公式。當(dāng)發(fā)現(xiàn)虛數(shù)能將指數(shù)函數(shù)和描述聲波的方程聯(lián)系起來時(shí)，他興奮極了。 幾天后，當(dāng)這個(gè)年輕的印度小職員得知?dú)W拉早在150年前就發(fā)現(xiàn)了這一問題時(shí)，原先的喜悅之情一掃而空。 一時(shí)間，失望和沮喪籠罩在他的心頭，揮之不去。拉馬努金從此閉門不出， 獨(dú)自沉浸在數(shù)學(xué)計(jì)算的世界里。 對拉馬努金來說，夢中世界是進(jìn)行數(shù)學(xué)探索的最佳場所。拉馬努金似乎能夠在 醒著的時(shí)候進(jìn)入這種夢境般的狀態(tài)。這種恍惚狀態(tài)近似于一種心理狀態(tài)，它是很多數(shù)學(xué)家夢寐以求的。 也許正因?yàn)槔R努金無須為“證明”所累，所以他才能在穿越數(shù)學(xué)蠻荒之地時(shí)自由開辟出新的路徑來。他以直覺見長，這與西方世界宣揚(yáng)的科學(xué)傳統(tǒng)大相徑庭。 利特爾伍德后來這樣寫道：“他根本就不了解所謂證明為何意；如果證明再加上直覺讓他對某觀點(diǎn)確認(rèn)無疑的話，他就會(huì)停滯不前，找不到奮斗的方向了。” 印度的學(xué)校教育深受英國文化的影響。然而，英國的教育體系培養(yǎng)出了利特爾伍德和哈代這樣的大師，卻沒能培養(yǎng)出印度好青年拉馬努金。 1907年，當(dāng)利特爾伍德發(fā)表的論文在劍橋大學(xué)備受追捧時(shí)，拉馬努金卻在第三次也是最后一次考試中失利。如果僅僅是數(shù)學(xué)的話，那么他肯定能通過考試。但是他還需要學(xué)習(xí)英語、歷史、梵語，甚至還有生理學(xué)。 由于他正統(tǒng)的婆羅門出身，拉馬努金是個(gè)嚴(yán)格的素食主義者。解剖青蛙和兔子對他來說是超出底線的行為。這意味著他無法進(jìn)入馬德拉斯大學(xué)繼續(xù)深造。但是，這并沒有撲滅他心中熊熊燃燒著的數(shù)學(xué)之火。 到了1910年，拉馬努金迫不及待地想要將他的觀點(diǎn)呈現(xiàn)在世人面前。對于自己發(fā)現(xiàn)的一個(gè)似乎能精確統(tǒng)計(jì)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的公式，他興奮不已。 和大多數(shù)人一樣，在試圖發(fā)現(xiàn)這些雜亂無章的數(shù)字背后的規(guī)律時(shí)，他也經(jīng)歷過深深的挫敗感。但是，拉馬努金深知素?cái)?shù)對數(shù)學(xué)來說至關(guān)重要。因此，他并不氣餒，一直堅(jiān)持尋找揭示素?cái)?shù)規(guī)律的某一公式。 他依然天真地認(rèn)為，所有的數(shù)學(xué)規(guī)律都可以精確地用公式和方程來表示。 利特爾伍德后來解釋道：“如果生在100或150年前，拉馬努金會(huì)是一位怎樣偉大的數(shù)學(xué)家呢？如果他正好能遇上歐拉又會(huì)如何？……但是偉大的公式時(shí)代似乎已經(jīng)結(jié)束了?！?/div> 但是，拉馬努金并沒有受到黎曼引發(fā)的19～20世紀(jì)數(shù)學(xué)變革的影響。 他依然特立獨(dú)行地想要找到一個(gè)能生成素?cái)?shù)的公式?；藷o數(shù)個(gè)小時(shí)在素?cái)?shù)表的計(jì)算上，他終于發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。他迫切地想要找個(gè)能欣賞他的人，向其描述他的初步發(fā)現(xiàn)。 由于筆記字跡工整、頁面整潔，再加上強(qiáng)大的婆羅門人脈，拉馬努金在馬德拉斯港務(wù)局謀得會(huì)計(jì)一職。他開始在Journal of the Indian Mathematical Society 上發(fā)表一些自己的觀點(diǎn)，從而逐漸為人所知，并引起了英國當(dāng)局的注意。 C.L.T. 格里菲斯當(dāng)時(shí)在馬德拉斯工程學(xué)院任教，他看到拉馬努金有成為一名“卓越數(shù)學(xué)家”的潛力。但是他自身水平有限，無法理解或者評價(jià)拉馬努金的觀點(diǎn)。于是他決定咨詢在英國求學(xué)時(shí)的一位恩師的意見。 從未接受過正規(guī)訓(xùn)練的拉馬努金，形成了一種獨(dú)具個(gè)性的數(shù)學(xué)風(fēng)格。拉馬努金在論文中聲稱自己證明出了 1 2 3 … ∞ = -1/12。 當(dāng)倫敦大學(xué)的希爾教授收到這些論文時(shí)，他露出鄙夷的神色，認(rèn)為其毫無意義。這或許是在人們意料之中的事情。即使從非專業(yè)的眼光來看，這個(gè)公式也是荒謬的。將所有的數(shù)字求和得到一個(gè)負(fù)分?jǐn)?shù)，這真是瘋子才會(huì)做的工作！ “拉馬努金先生已經(jīng)陷入了發(fā)散級數(shù)這門復(fù)雜學(xué)科的陷阱當(dāng)中了。”他在給格里菲斯的回信中這樣寫道。然而，希爾教授并沒有全盤否定拉馬努金的觀點(diǎn)。他所做的批注使拉馬努金大受鼓舞。 他終于決定去碰碰運(yùn)氣，就提筆給劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)家們寫了封信。兩位收件人面對拉馬努金的奇怪算術(shù)一頭霧水，因此便拒絕了他的求助。但是之后拉馬努金的信件放在了哈代的桌子上。數(shù)學(xué)似乎就是由怪人譜寫的，或許費(fèi)馬也脫不了干系。 朗道的標(biāo)準(zhǔn)據(jù)信控訴著以下事實(shí)：他收到了各種怪人的來信，他們都聲稱自己證明出了費(fèi)馬大定理，從而可以順理成章地拿到沃爾夫凱勒獎(jiǎng)。對于莫名收到帶有瘋狂的數(shù)字命理學(xué)理論的信件，數(shù)學(xué)家們早已習(xí)以為常了。 哈代的朋友 C.P. 斯諾回憶道，哈代常常被大量的手稿淹沒，在這些手稿中， 常?？煽吹竭@樣的言論，比如宣稱已經(jīng)解決了胡夫金字塔預(yù)言之謎，或者破譯了弗朗西斯·培根在莎士比亞戲劇中所設(shè)定的密碼。 不久前，拉馬努金從加納帕蒂·耶爾那里收到了哈代的Orders of Infinity一書。耶爾時(shí)任馬德拉斯大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。 夜幕降臨時(shí)，拉馬努金喜歡和他漫步在海灘上，一起談?wù)摂?shù)學(xué)問題。讀到此書時(shí)，拉馬努金一定欣喜若狂，因?yàn)榻K于有個(gè)人能欣賞他的數(shù)學(xué)才華，讀懂他的理論了。但是欣喜之余，他就開始擔(dān)心，自己的無窮級數(shù)求和可能會(huì)使哈代 誤認(rèn)為自己是個(gè)瘋子。 哈代可能會(huì)說：“精神病院才是你最終的出路?！惫暶鳎骸氨热魏谓o定數(shù)小的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)，目前還沒有發(fā)現(xiàn)任何確切的表達(dá)式。”拉馬努金對此激動(dòng)不已。 拉馬努金發(fā)現(xiàn)了一種公式，他堅(jiān)信通過該公式可得到一個(gè)非常接近實(shí)際數(shù)值的結(jié)果。他急切地想要把該公式呈現(xiàn)在哈代面前，聽一聽他的意見。 哈代一大早就收到了拉馬努金寄來的一個(gè)貼著印度郵票的包裹。這個(gè)包裹乍一看很不起眼。打開包裹后，映入哈代眼簾的是一份手稿，上面記載了一些關(guān)于素?cái)?shù)統(tǒng)計(jì)的理論，論證不夠嚴(yán)謹(jǐn)，卻又令人贊嘆其奇思妙想；還有一些拉馬努金似乎還沒意識(shí)到已經(jīng)眾所周知的結(jié)論。 在附信中，拉馬努金宣稱自己“發(fā)現(xiàn)了可以精確統(tǒng)計(jì)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的方程”。哈代知道，這份聲明非同一般。然而令他失望的是，他并沒有如愿看到拉馬努金所聲稱的公式。最糟糕的是，什么證明過程也沒有！ 對哈代來說，證明就是一切。他曾經(jīng)在三一學(xué)院的高桌邊對羅素說：“如果我能靠邏輯證明你五分鐘后死去，我將會(huì)為你的死感到悲傷，但這種悲傷將很快轉(zhuǎn)為證明的喜悅?！?/div> 據(jù)斯諾說，哈代很快就看完了拉馬努金的手稿。哈代評價(jià)道：“它不僅讀起來無趣，而且令人心里窩火，就像被一個(gè)會(huì)忽悠的騙子當(dāng)猴耍了一樣?！钡堑搅送砩?，這些看似不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撻_始施展起魔法了。 晚飯過后，哈代叫來了利特爾伍德，一起來討論拉馬努金的公式。午夜時(shí)分，他們破譯了它。哈代和利特爾伍德具有真知灼見，能夠破譯拉馬努金的非專業(yè)語言，也能夠慧眼識(shí)英才，意識(shí)到這并不是一個(gè)瘋子的胡言亂語，而是來自一個(gè)未經(jīng)雕琢的天才的偉大論述。 他們都意識(shí)到，拉馬努金那個(gè)瘋狂的無窮級數(shù)求和公式恰恰是又一個(gè)新發(fā)現(xiàn)，利用它可以定義黎曼 ζ 函數(shù)圖景上丟失的那部分區(qū)域。 破解拉馬努金公式的關(guān)鍵，就是將數(shù)字2重寫成 1/(2-1)（2-1是 1/2 的另一種寫法）。這種方法適用于所有的數(shù)字串求和。哈代和利特爾伍德將拉馬努金的公式重寫為： 當(dāng)代入數(shù)字 -1時(shí)，如何計(jì)算 ζ 函數(shù)呢？黎曼苦苦尋求的答案就在眼前。沒有經(jīng)過正規(guī)訓(xùn)練的拉馬努金，獨(dú)自跑完了全程，重新架構(gòu)了黎曼發(fā)現(xiàn)的 ζ 函數(shù)圖景。 拉馬努金的信件來得恰逢其時(shí)。從朗道的著作中，利特爾伍德和哈代讀到黎曼的 ζ 函數(shù)，都對其精妙之處贊不絕口，紛紛沉浸在其與素?cái)?shù)的關(guān)系研究中。 現(xiàn)在，拉馬努金聲稱，有個(gè)公式能精確統(tǒng)計(jì)出確定范圍之內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。那天早晨，哈代還對此言論嗤之以鼻，認(rèn)定拉馬努金就是個(gè)數(shù)學(xué)瘋子。可到了晚上，一番研究之后，這個(gè)來自印度的包裹便開始閃閃發(fā)光起來。 拉馬努金還宣稱，他的公式能精確統(tǒng)計(jì)1億以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)（通常情況下是零誤差，只有在某些情況下會(huì)出現(xiàn)一兩個(gè)誤差）。哈代和利特爾伍德一定震驚不已吧！可問題是，拉馬努金并沒有給出公式。對于兩位“證明就是一切”的數(shù)學(xué)家來說，整封信件都給了他們一種深深的挫敗感。它遍布公式和結(jié)論，卻絲毫不見相關(guān)的證明過程或者相關(guān)出處的只語片言。 哈代立馬積極地給拉馬努金回了封信，并以一種近乎祈求的語氣，請他提供素?cái)?shù)公式的證明過程以及更多相關(guān)細(xì)節(jié)。利特爾伍德還在信中加了一句，請他盡快寄來素?cái)?shù)統(tǒng)計(jì)公式和盡可能多的證明細(xì)節(jié)。兩位數(shù)學(xué)家都情緒高漲，滿心期待著拉馬努金的回信。兩人常常在高桌上邊吃飯邊討論拉馬努金的第一封來信，以便能破解更多東西。 羅素在信中向一位朋友講述道：“環(huán)視整個(gè)大廳，我就看到哈代和利特爾伍德處于一種近乎癲狂的狀態(tài)，因?yàn)樗麄兿嘈庞忠粋€(gè)牛頓出現(xiàn)了，他就是那位在馬德拉斯年薪20英磅的印度職員?！?/div> 拉馬努金的第二封信如期而至。在信中，若干關(guān)于素?cái)?shù)的公式清晰可見，卻依舊難覓相關(guān)證明的身影?！斑@種情況下，他的信件是多么令人抓狂啊?！崩貭栁榈聦懙馈?/div> 他猜測，拉馬努金可能是擔(dān)心哈代會(huì)竊取他的勞動(dòng)成果。哈代和利特爾伍德認(rèn)真研究著拉馬努金寄來的第二封信。他們突然發(fā)現(xiàn)，拉馬努金又有了新進(jìn)展，這與黎曼之前的發(fā)現(xiàn)有關(guān)。在高斯素?cái)?shù)統(tǒng)計(jì)公式的改進(jìn)上，黎曼實(shí)現(xiàn)了精益求精；同時(shí)，他也發(fā)現(xiàn)了如何用 ζ 函數(shù)圖景上的零點(diǎn)來消除方程中不斷產(chǎn)生的誤差。 拉馬努金重建了黎曼50年前的發(fā)現(xiàn)。拉馬努金的公式包括黎曼對于高斯素?cái)?shù)猜想所做的改進(jìn)，但是不包括黎曼基于圖景上的零點(diǎn)所做的修正。拉馬努金是在說零點(diǎn)的誤差在以一種奇怪的方式相互抵消嗎？ 傅里葉從音樂的角度詮釋了這些誤差。每個(gè)零點(diǎn)就像一個(gè)音叉。當(dāng)音叉同時(shí) 響起時(shí)，就能奏起素?cái)?shù)的音樂。有時(shí)候，當(dāng)這些聲波組合在一起相互抵消時(shí)，就會(huì)陷入一片沉寂。一架飛機(jī)可以通過在機(jī)艙內(nèi)生成聲波實(shí)現(xiàn)相互抵消，從而降低發(fā)動(dòng)機(jī)的噪聲。 因此，拉馬努金是不是在說，來自黎曼零點(diǎn)的波也能產(chǎn)生靜音？復(fù)活節(jié)假期期間，利特爾伍德陪同愛人以及家人前往康沃爾度假，隨身攜帶著拉馬努金來信的復(fù)印件?！坝H愛的哈代，”他在回信中如此寫道，“這個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的觀點(diǎn)是錯(cuò)的?！?/div> 利特爾伍德已經(jīng)證明，那些波產(chǎn)生的誤差無法相互抵消。因此，拉馬努金重新構(gòu)建的黎曼公式不會(huì)如他宣稱的那般精確。無論數(shù)值有多大，總是會(huì)出現(xiàn)一些噪聲的。值得一提的是，在拉馬努金來信的激勵(lì)下，利特爾伍德進(jìn)行了大量的分析研究工作。這給黎曼假設(shè)的研究注入了新的活力，開辟了一種有趣的新視角。 黎曼假設(shè)之所以對數(shù)學(xué)界來說舉足輕重，是因?yàn)樗馕吨?，利用高斯猜想統(tǒng)計(jì)出以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)與實(shí)際素?cái)?shù)個(gè)數(shù)存在的差會(huì)非常小。如果大小N，與之相比的話，其誤差基本不會(huì)超過N平方根。但是如果有任一零點(diǎn)不在黎曼的假想線上，其誤差就會(huì)比這個(gè)大得多?，F(xiàn)在，拉馬努金在信中宣稱自己可以比黎曼做得更好?；蛟S，當(dāng)統(tǒng)計(jì)值更大的時(shí)候，誤差會(huì)小于N的平方根。利特爾伍德在康沃爾進(jìn)行的研究使這一希望落空了。 利特爾伍德證實(shí)，無論計(jì)算多少次，零點(diǎn)導(dǎo)致的誤差也不會(huì)小于N的平方根。黎曼假設(shè)給出的就是最優(yōu)解了。拉馬努金在這個(gè)問題上大錯(cuò)特錯(cuò)，但他仍然給哈代留下了深刻的印象。 很明顯，盡管拉馬努金才華橫溢，卻急需學(xué)習(xí)、掌握當(dāng)下的前沿知識(shí)，形成堅(jiān)實(shí)的知識(shí)儲(chǔ)備。只有這樣，他才能跟上時(shí)代的步伐。 到了 1914 年，拉馬努金已經(jīng)身在劍橋大學(xué)了。從此之后，便開了數(shù)學(xué)史上最偉大的合作之一。每次提到和拉馬努金合作的那段歲月，哈代總是難以抑制內(nèi)心的興奮。他們縱情交談著各自的數(shù)學(xué)思想，都深深折服于彼此的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，也都為找到一個(gè)熱愛數(shù)字的志趣相投之人而欣喜不已。 哈代的目光也逐漸被拉馬努金那些散發(fā)著迷人光芒的定理吸引住了。 哈代發(fā)現(xiàn)，很難讓拉馬努金做到兼顧直覺和證明。他擔(dān)心，如果自己過于強(qiáng)調(diào)讓拉馬努金證明他的結(jié)論，可能會(huì)打擊他的自信心，或者使他的靈感之源枯竭。他給利特爾伍德布置了一個(gè)任務(wù)，就是讓拉馬努金熟悉現(xiàn)代的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)。 但利特爾伍德發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)不可能完成的任務(wù)。無論利特爾伍德費(fèi)了多少唇舌，向拉馬努金介紹所謂嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)為何物，拉馬努金都會(huì)插入一些新觀點(diǎn)，使利特爾伍德偏離原有的軌道，不能按計(jì)劃進(jìn)行下去。 盡管提出精確的素?cái)?shù)統(tǒng)計(jì)公式使拉馬努金開啟了英國之旅，最終使他留名于世的卻是他在相關(guān)領(lǐng)域做出的貢獻(xiàn)。從哈代和利特爾伍德那里，他聽到了“素?cái)?shù)天生帶有惡意”這類悲觀的論調(diào)。因此，在素?cái)?shù)的探索上，他放慢了腳步。 人們只能猜測，拉馬努金一定是發(fā)現(xiàn)了什么，才使他不像西方人那樣對素?cái)?shù)充滿恐懼。他繼續(xù)和哈代一起探索素?cái)?shù)的相關(guān)性質(zhì)。他和哈代提出的觀點(diǎn)，將有助于推動(dòng)哥德巴赫猜想研究取得突破性進(jìn)展。哥德巴赫猜想就是每個(gè)偶數(shù)都能寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。 他們歷經(jīng)一番曲折，才首次取得這一進(jìn)展。但這源于拉馬努金秉承的天真想 法：必定有精確的公式來描述諸如素?cái)?shù)個(gè)數(shù)這樣重要的數(shù)列。 在他宣布素?cái)?shù)公式的信件中，他寫道，他相信自己知道如何生成另一個(gè)先前未被研究的數(shù)列，即劃分?jǐn)?shù)（partition number）。如果要把 5 塊石頭分成幾組，共有幾種可能的方法呢？組數(shù)范圍是 1～5。這稱作數(shù)字 5 的劃分。如下圖所示，共有 7 種可能的劃分方法。 這種數(shù)列，在現(xiàn)實(shí)世界中出現(xiàn)的概率，幾乎和斐波那契數(shù)列一樣頻繁。 例如，通過降低給定量子系統(tǒng)的能級密度，來理解劃分?jǐn)?shù)的變化。這些數(shù)字看起來并不像素?cái)?shù)那樣是隨機(jī)分布的。 但是哈代時(shí)期的數(shù)學(xué)家們都不約而同地放棄了尋找能生成列表中的這些數(shù)字的精確公式。他們認(rèn)為可能有這樣一個(gè)公式，它能生成一個(gè)近似值，與 N 的實(shí)際劃分?jǐn)?shù)偏差不大。這和利用高斯的公式得出 N 以內(nèi)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的近似值如出一轍。 但是，拉馬努金從不畏懼這類序列。他就是要站出來找到這樣一個(gè)公式，利用該公式就能輕松得出，給 4 塊石頭分組有 5 種方法，或者給 200 塊石頭分?jǐn)?shù)有 3 972 999 029 388 種方法。 盡管在素?cái)?shù)問題上馬失前蹄，但拉馬努金成功地解決了劃分?jǐn)?shù)問題。哈代對復(fù)雜問題有著強(qiáng)大的證明能力，而拉馬努金則具有天馬行空的想象力，堅(jiān)信必然存在這樣一個(gè)公式。二者珠聯(lián)璧合、相得益彰，這促使他們發(fā)現(xiàn)了這個(gè)公式。 拉馬努金為什么就那么堅(jiān)信存在這樣一個(gè)精確公式呢？任憑利特爾伍德抓耳撓腮、絞盡腦汁，也找不到該問題的答案?？吹竭@個(gè)包含2的平方根、π、微分、三角函數(shù)和虛數(shù)的公式時(shí)，人們總?cè)滩蛔∠胫肋@個(gè)公式到底是從哪里冒出來的呢！ 利特爾伍德之后這樣評價(jià)道：“發(fā)現(xiàn)這一定理歸功于兩個(gè)人的鼎力合作。二人各有所長，并盡其所能地發(fā)揮各自的特長，不吝付出艱苦的努力。” 這個(gè)故事歷盡曲折。利用哈代和拉馬努金的這個(gè)復(fù)雜公式，得到的不是一個(gè)精確的數(shù)字，而是一個(gè)經(jīng)過四舍五入后最接近的整數(shù)。 盡管拉馬努金的這種直覺在素?cái)?shù)問題上失效了，他和哈代在配分函數(shù)（partition function）上的工作卻推動(dòng)了哥德巴赫猜想的解決。面對這個(gè)最偉大的數(shù)論未解之謎之一，多數(shù)數(shù)學(xué)家早已放棄了破解的念頭。多年來，該領(lǐng)域一直毫無進(jìn)展。早在很多年前，蘭道就宣布這是個(gè)高不可攀的山峰。哈代和拉馬努金在配分函數(shù)上的工作，使他們建立了一種現(xiàn)在稱之為哈代 - 利特爾伍德圓法（Hardy -Littlewood Circle Method）的技術(shù)。 這個(gè)名字源于他們在計(jì)算中使用的所有小圖表。這些圖表描述了虛數(shù)地圖上的那些圓，而哈代和拉馬努金則試圖求這些圓的積分。這個(gè)方法沒有以拉馬努金的名字命名，是因?yàn)槔貭栁榈潞凸状问褂迷摲椒▉碜C明哥德巴赫猜想。他們無法證明所有的偶數(shù)都能表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。 但到了1923年，他們成功證明了所有足夠大的奇數(shù)都能寫成三個(gè)素?cái)?shù)之和。這對數(shù)學(xué)界來說可是個(gè)重磅消息。但要想讓該結(jié)論成立，就必須滿足一個(gè)條件，那就是黎曼假設(shè)是正確的。推測出這一結(jié)果，同樣是相信黎曼假設(shè)會(huì)成為黎曼定理的產(chǎn)物。拉馬努金對這一方法的發(fā)展可謂功不可沒。遺憾的是，他沒能活著見證該方法在數(shù)學(xué)上發(fā)揮舉足輕重的作用。 1917年，拉馬努金的心情愈發(fā)黯淡，身體也每況愈下。他失魂落魄地來到倫敦地鐵，沖到一列緩緩駛來的列車前，想要以此結(jié)束自己的生命。這時(shí)，一名警衛(wèi)沖過來，擋在他身前，叫停了列車，才使他逃過死神的魔爪。在1917 年，自殺未遂是一種犯罪行為。在哈代的斡旋下，警方撤銷了對他的指控。但條件是，他不得不入住位于馬特洛克（德比郡的首府）的一家療養(yǎng)院，接受長達(dá) 12 個(gè)月的全面醫(yī)療監(jiān)護(hù)。 拉馬努金終于時(shí)來運(yùn)轉(zhuǎn)，當(dāng)選為英國皇家學(xué)會(huì)（英國最負(fù)盛名的科研機(jī)構(gòu)）的會(huì)士，隨即獲得了三一學(xué)院的研究員職位，走向人生巔峰。哈代在這些選舉上享有極大的話語權(quán)。這是他向拉馬努金致敬的最好方式。 但拉馬努金的身體健康每況愈下。第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束后，哈代建議拉馬努金回家休養(yǎng)一段時(shí)間。1920年4月26日，拉馬努金在馬德拉斯逝世，年僅 33 歲。 多年之后，到了1978年，皮埃爾·德利涅因證明了拉馬努金現(xiàn)今為人所熟知的 τ 猜想而獲得菲爾茲獎(jiǎng)。這時(shí)人們才意識(shí)到拉馬努金猜想的重要性。
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