一個(gè)無法表達(dá)神的思想的方程，對我而言毫無意義?！估锬嵬呱だR努金

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本文節(jié)選自圖靈《悠揚(yáng)的素?cái)?shù)：二百年數(shù)學(xué)絕唱黎曼假設(shè)》, [遇見] 已獲授權(quán)許可.

到了 1914 年，拉馬努金已經(jīng)身在劍橋大學(xué)了。從此之后，便開始了數(shù)學(xué)史上最偉大的合作之一。每次提到和拉馬努金合作的那段歲月， 哈代總是難以抑制內(nèi)心的興奮。他們縱情交談著各自的數(shù)學(xué)思想，都深深折服于彼此的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，也都為找到一個(gè)熱愛數(shù)字的志趣相投之人而欣喜不已。到了晚年，哈代回憶過往時(shí)，總是將與拉馬努金合作的那段歲月看作自己生命中最快樂的時(shí)光，并將他們的結(jié)合形象地描述為生命中最浪漫的事兒。

拉馬努金和哈代的合作模式就像一個(gè)典型的審訊小組：一個(gè)唱紅臉，一個(gè)唱白臉。唱紅臉的那個(gè)天性樂觀，總是充滿奇思妙想；而唱白臉的那個(gè)則消極悲觀，總是懷疑一切，不斷尋找真相。在審問他們共同的“數(shù)學(xué)嫌犯”時(shí)，拉馬努金需要哈代批判性的眼光來審視他那些天馬行空的想法。

然而，求同存異并非易事，文化沖突也在所難免。哈代和利特爾伍德堅(jiān)持嚴(yán)格的西方式證明方式，而拉馬努金腦海中不時(shí)迸現(xiàn)出的新理論，其靈感則源于“娜瑪卡爾女神的啟示”。這位新同事為何會突然冒出這些想法呢？哈代和利特爾伍德常?？嘤谡也坏酱鸢浮９u論道：“幾乎每天，他都會向我展示一些新理論。要是總想著弄明白他是如何發(fā)現(xiàn)諸如此類的理論的，可真?zhèn)X筋?。　?/p>

拉馬努金要面對的不止是文化沖擊。在一個(gè)陌生的世界，他需要獨(dú)自面對一些陌生的面孔，這令他有些孤獨(dú)。他找不到什么素食可吃，于是給家里寫信要酸角果和椰子油。如果這里沒有他鐘愛的數(shù)學(xué)，那么他是不可能適應(yīng)這里的一切的。內(nèi)維爾這個(gè)他在印度時(shí)就信任有加的同事，這樣描述他在劍橋大學(xué)的那些日子：“在一個(gè)陌生的國度生活，使他備受煎熬，內(nèi)心痛苦不堪。每天要面對一堆叫不上名字的蔬菜，他有些食之無味。鞋子也磨腳，畢竟他已經(jīng)光腳生活 26 年了。但他天性樂觀， 進(jìn)入數(shù)學(xué)世界能讓他忘卻一切煩惱，開始一個(gè)人的狂歡?！彼厝?掉那雙英國鞋，每天穿著拖鞋漫步在校園里。但是，一旦走進(jìn)哈代的房間，打開筆記本，他就一頭扎進(jìn)那些公式和方程中。哈代的目光也逐漸被拉馬努金那些散發(fā)著迷人光芒的定理吸引住了。在印度，拉馬努金找不到一個(gè)可以與之進(jìn)行數(shù)學(xué)對話的人。來到劍橋大學(xué)后，他又遭遇了文化沖突。但是這都不重要，因?yàn)樗K于找到了可以和他一起探索數(shù)學(xué)世界的那個(gè)人。

哈代發(fā)現(xiàn)，很難讓拉馬努金做到兼顧直覺和證明。他擔(dān)心，如果自己過于強(qiáng)調(diào)讓拉馬努金證明他的結(jié)論，可能會打擊他的自信心，或者使他的靈感之源枯竭。他給利特爾伍德布置了一個(gè)任務(wù)，就是讓拉馬努金熟悉現(xiàn)代的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)。但利特爾伍德發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)不可能完成的任務(wù)。無論利特爾伍德費(fèi)了多少唇舌，向拉馬努金介紹所謂嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)為何物，拉馬努金都會插入一些新觀點(diǎn)，使利特爾伍德偏離原有的軌道，不能按計(jì)劃進(jìn)行下去。

盡管提出精確的素?cái)?shù)統(tǒng)計(jì)公式使拉馬努金開啟了英國之旅，最終使他留名于世的卻是他在相關(guān)領(lǐng)域做出的貢獻(xiàn)。從哈代和利特爾伍德那里，他聽到了“素?cái)?shù)天生帶有惡意”這類悲觀的論調(diào)。因此，在素?cái)?shù)的探索上，他放慢了腳步。人們只能猜測，拉馬努金一定是發(fā)現(xiàn)了什么， 才使他不像西方人那樣對素?cái)?shù)充滿恐懼。他繼續(xù)和哈代一起探索素?cái)?shù)的相關(guān)性質(zhì)。他和哈代提出的觀點(diǎn)，將有助于推動哥德巴赫猜想研究取得突破性進(jìn)展。哥德巴赫猜想就是每個(gè)偶數(shù)都能寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。他們歷經(jīng)一番曲折，才首次取得這一進(jìn)展。但這源于拉馬努金秉承的天真想法：必定有精確的公式來描述諸如素?cái)?shù)個(gè)數(shù)這樣重要的數(shù)列。在他宣布素?cái)?shù)公式的信件中，他寫道，他相信自己知道如何生成另一個(gè)先前未被研究的數(shù)列，即劃分?jǐn)?shù)（partition number）。

如果要把 5 塊石頭分成幾組，共有幾種可能的方法呢？組數(shù)范圍是 1~5。這稱作數(shù)字

5 的劃分。如下圖所示，共有 7 種可能的劃分方法。

▲給 5 塊石頭分組的 7 種方法1~15 的所有數(shù)字的劃分?jǐn)?shù)如下表所示：

這是 2.1 節(jié)出現(xiàn)過的一種數(shù)列。它們在現(xiàn)實(shí)世界中出現(xiàn)的概率，幾乎和斐波那契數(shù)列一樣頻繁。例如，通過降低給定量子系統(tǒng)的能級密度，來理解劃分?jǐn)?shù)的變化。

這些數(shù)字看起來并不像素?cái)?shù)那樣是隨機(jī)分布的。但是哈代時(shí)期的數(shù)學(xué)家們都不約而同地放棄了尋找能生成列表中的這些數(shù)字的精確公式。

他們認(rèn)為可能有這樣一個(gè)公式，它能生成一個(gè)近似值，與 N 的實(shí)際劃分?jǐn)?shù)偏差不大。這和利用高斯的公式得出 N 以內(nèi)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的近似值如出一轍。但是，拉馬努金從不畏懼這類序列。他就是要站出來找到這樣一個(gè)公式，利用該公式就能輕松得出，給 4 塊石頭分組有 5 種方法，或者給 200 塊石頭分?jǐn)?shù)有 3972999029388 種方法。

盡管在素?cái)?shù)問題上馬失前蹄，但拉馬努金成功地解決了劃分?jǐn)?shù)問題。哈代對復(fù)雜問題有著強(qiáng)大的證明能力，而拉馬努金則具有天馬行空的想象力，堅(jiān)信必然存在這樣一個(gè)公式。二者珠聯(lián)璧合、相得益彰，這促使他們發(fā)現(xiàn)了這個(gè)公式。拉馬努金為什么就那么堅(jiān)信存在這樣一個(gè)精確公式呢？任憑利特爾伍德抓耳撓腮、絞盡腦汁，也找不到該問題的答案。看到這個(gè)包含 2 的平方根、π、微分、三角函數(shù)和虛數(shù)的公式時(shí)， 人們總?cè)滩蛔∠胫肋@個(gè)公式到底是從哪里冒出來的呢！

利特爾伍德之后這樣評價(jià)道：“發(fā)現(xiàn)這一定理歸功于兩個(gè)人的鼎力合作。二人各有所長，并盡其所能地發(fā)揮各自的特長，不吝付出艱苦的努力。”

這個(gè)故事歷盡曲折。利用哈代和拉馬努金的這個(gè)復(fù)雜公式，得到的不是一個(gè)精確的數(shù)字，而是一個(gè)經(jīng)過四舍五入后最接近的整數(shù)。比如， 將 200 代入公式，會得到一個(gè)最接近整數(shù) 3972999029388 的值。因此，這個(gè)公式還不錯(cuò)，能估算出正確結(jié)果，不過卻無法精確捕捉到這些劃分?jǐn)?shù)。（不過后來有人發(fā)現(xiàn)，對他們的公式稍加改進(jìn)，就能得到精確答案。）

盡管拉馬努金的這種直覺在素?cái)?shù)問題上失效了，他和哈代在配分函數(shù)（partition function）上的工作卻推動了哥德巴赫猜想的解決。面對這個(gè)最偉大的數(shù)論未解之謎之一，多數(shù)數(shù)學(xué)家早已放棄了破解的念頭。多年來，該領(lǐng)域一直毫無進(jìn)展。早在很多年前，蘭道就宣布這是個(gè)高不可攀的山峰。

哈代和拉馬努金在配分函數(shù)上的工作，使他們建立了一種現(xiàn)在稱之為哈代—利特爾伍德圓法（Hardy- Littlewood Circle Method）的技術(shù)。這個(gè)名字源于他們在計(jì)算中使用的所有小圖表。這些圖表描述了虛數(shù)地圖上的那些圓，而哈代和拉馬努金則試圖求這些圓的積分。這個(gè)方法沒有以拉馬努金的名字命名，是因?yàn)槔貭栁榈潞凸状问褂迷摲椒▉碜C明哥德巴赫猜想。他們無法證明所有的偶數(shù)都能表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。但到了 1923 年，他們成功證明了所有足夠大的奇數(shù)都能寫成三個(gè)素?cái)?shù)之和。這對數(shù)學(xué)界來說可是個(gè)重磅消息。但要想讓該結(jié)論成立，就必須滿足一個(gè)條件，那就是黎曼假設(shè)是正確的。推測出這一結(jié)果，同樣是相信黎曼假設(shè)會成為黎曼定理的產(chǎn)物。

拉馬努金對這一方法的發(fā)展可謂功不可沒。遺憾的是，他沒能活著見證該方法在數(shù)學(xué)上發(fā)揮舉足輕重的作用。1917 年，拉馬努金的心情愈發(fā)黯淡。英國籠罩在第一次世界大戰(zhàn)的恐怖陰影中。在三一學(xué)院研究員的評選中，拉馬努金落選了。由于他的反戰(zhàn)言論，他無緣羅素獎金。三一學(xué)院也不能容忍拉馬努金這種持和平主義立場的人存在。他終于“妥協(xié)”了，把腳塞進(jìn)西方人的鞋子里，穿上長袍，戴上學(xué)位帽。這些可能對他來說都變成輕車熟路的事情了，但他那種南印度人的靈魂始終還在。

對拉馬努金而言，劍橋大學(xué)開始成為監(jiān)獄一般的存在。拉馬努金已經(jīng)適應(yīng)了印度那種自由自在的生活。那里氣候溫和，人們可以長時(shí)間在室外活動。而在劍橋大學(xué)，他不得不躲在那厚厚的大學(xué)墻內(nèi)，以免受北海吹來的寒風(fēng)侵襲。而不同的文化背景意味著他除了正式的學(xué)術(shù)交流之外，與外界沒有任何聯(lián)系。同時(shí)他開始意識到，哈代力求嚴(yán)謹(jǐn)，這束縛了他在數(shù)學(xué)天地中自由馳騁的腳步。

他的精神愈發(fā)萎靡不振，身體也每況愈下。三一學(xué)院則理解不了拉馬努金那套嚴(yán)苛的飲食習(xí)慣。在印度生活時(shí)，拉馬努金已經(jīng)習(xí)慣于在自己記筆記的時(shí)候，妻子將食物放到他的手上。對待哈代和利特爾伍德這樣的教職工，大學(xué)食堂一視同仁。面對高桌上的那些食物，拉馬努金完全沒有食欲。他簡直無法獨(dú)自在這里生存下去。妻子和家人都遠(yuǎn)在印度，這令他倍感孤獨(dú)。營養(yǎng)不良使他可能患上了肺結(jié)核。從此他成了療養(yǎng)院的?？?。

拉馬努金試圖通過思考數(shù)學(xué)讓自己振作起來，但收效甚微。錯(cuò)亂的數(shù)學(xué)圖像總是出現(xiàn)在他的夢境里。他相信自己的腹痛是由黎曼 ζ 函數(shù)圖景上那些無窮無盡的凸起物引起的，在那里他只能眼睜睜地看著那個(gè)描述 ζ 函數(shù)的公式越走越遠(yuǎn)。難道這是因?yàn)橛|犯了婆羅門那條“不準(zhǔn)飄揚(yáng)過?！钡慕桃?guī)而遭到的嚴(yán)厲懲罰嗎？還是因?yàn)樗`解了娜瑪卡爾女神的意思？自從他來到劍橋大學(xué)后，妻子還沒有給他寄過信。他身心飽受煎熬，有些支撐不下去了。

身體稍微恢復(fù)的拉馬努金，情緒依然十分低落。他失魂落魄地來到倫敦地鐵，沖到一列緩緩駛來的列車前，想要以此結(jié)束自己的生命。這時(shí)，一名警衛(wèi)沖過來，擋在他身前，叫停了列車，才使他逃過死神的魔爪。在 1917 年，自殺未遂是一種犯罪行為。在哈代的斡旋下，警方撤銷了對他的指控。但條件是，他不得不入住位于馬特洛克（德比郡的首府）的一家療養(yǎng)院，接受長達(dá) 12 個(gè)月的全面醫(yī)療監(jiān)護(hù)。

現(xiàn)在，他失去了一切行動自由，甚至連和哈代的日常會面這唯一的樂趣都被剝奪了?！拔乙呀?jīng)來這兒一周了，”他在信中對哈代說，“無時(shí)無刻不處于監(jiān)控之中。他們向我保證，在我專心研究數(shù)學(xué)的時(shí)候可以給我自由呼吸的空間。那一天卻遲遲未能到來，而我卻被困在這冰冷刺骨的房間里，一刻也不得動彈?！?/p>

哈代發(fā)動人脈、多方斡旋，終于將拉馬努金轉(zhuǎn)移到了位于倫敦帕特尼的一家私人療養(yǎng)院。盡管哈代承認(rèn)，拉馬努金是他生命中“唯一的真愛”，但這種友誼與私人情感無干，只關(guān)乎數(shù)學(xué)研究。哈代來看望生病臥床的拉馬努金，也沒能說出什么像樣的安慰的話來。不過，他倒是調(diào)侃道，他剛剛乘坐的出租車車牌號 1729 是一個(gè)無聊的數(shù)字。病榻上的拉馬努金一聽到數(shù)字，立刻兩眼放光，精神大振：“不，哈代！不，哈代！這個(gè)數(shù)字很有意思。在能以兩種方式表示為兩個(gè)數(shù)字的立方根之和的數(shù)中，1729 是最小的?！彼菍Φ?，這個(gè)數(shù)字的確可以寫成如下形式：

拉馬努金終于時(shí)來運(yùn)轉(zhuǎn)，當(dāng)選為英國皇家學(xué)會（英國最負(fù)盛名的科研機(jī)構(gòu)）的會士，隨即獲得了三一學(xué)院的研究員職位，走向人生巔峰。哈代在這些選舉上享有極大的話語權(quán)。這是他向拉馬努金致敬的最好方式。但拉馬努金的身體健康每況愈下。第一次世界大戰(zhàn)（簡稱一戰(zhàn)）結(jié)束后，哈代建議拉馬努金回家休養(yǎng)一段時(shí)間。1920 年 4 月 26 日，拉馬努金在馬德拉斯逝世，年僅 33 歲?，F(xiàn)在一致認(rèn)為，他是被（由大腸受到變形蟲感染而引起的）阿米巴病奪去生命的，這病或許在他去往英國之前就染上了。

盡管拉馬努金在素?cái)?shù)問題上并無多大建樹，但他給哈代的第一封信拉開了二人合作的序幕，在數(shù)學(xué)史上留下了一段佳話。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)， 無論何時(shí)何地，都會有人站出來，針對這種未知之謎，給出這樣或那樣的答案。某一新觀點(diǎn)的出現(xiàn)，會讓某個(gè)曾經(jīng)寂寂無名的人一夜成名，從此活躍在聚光燈下。正如拉馬努金教給我們的那樣，知識和期望有時(shí)候會阻礙進(jìn)步。傳統(tǒng)教育模式下培養(yǎng)出的學(xué)術(shù)人才，易囿于現(xiàn)狀，往往不會輕易打破傳統(tǒng)藩籬。說不定某天，就會有另一個(gè)包裹出現(xiàn)在某個(gè)數(shù)學(xué)家的書桌上，預(yù)示著某位天才的橫空出世。這位天才已經(jīng)磨拳擦掌，準(zhǔn)備好實(shí)現(xiàn)拉馬努金未竟的夢想了——揭開素?cái)?shù)的神秘面紗。

拉馬努金留下的思想寶藏，值得歷代數(shù)學(xué)家去挖掘。可事實(shí)是，直到近些年來，拉馬努金這顆“滄海遺珠”才逐漸為人所識。甚至在哈代去世后，拉馬努金的公式仍然無人問津，沒能發(fā)揮出其應(yīng)有的價(jià)值。對于拉馬努金的一個(gè)猜想，就連哈代本人也曾不屑一顧，在一篇論文里這么評價(jià)：“我們似乎陷入了數(shù)學(xué)的一潭死水中?！倍嗄曛螅搅?1978年，皮埃爾·德利涅因證明了拉馬努金現(xiàn)今為人所熟知的 τ 猜想而獲得菲爾茲獎。這時(shí)人們才意識到拉馬努金猜想的重要性。拉馬努金的擁護(hù)者之一，布魯斯·伯恩特，認(rèn)為拉馬努金與巴赫乃同病相憐之人，后者也曾在去世后多年無人問津。

伯恩特耗盡半生心血，潛心研究拉馬努金那些未發(fā)表的筆記。他毅然加入這樣一群數(shù)學(xué)家之列，他們都被拉馬努金稀奇古怪的公式和方程吸引住了，不惜耗盡半生探尋其奧秘。研究這些筆記的時(shí)候，伯恩特就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)記錄 1 億以內(nèi)素?cái)?shù)的奇怪表格。這些素?cái)?shù)有的正確，有的則近乎正確，這比拉馬努金第一次給哈代的結(jié)果要更加精確。但這究竟是如何得出的，已經(jīng)無從知曉了。

就像他曾經(jīng)成功得出劃分?jǐn)?shù)公式一樣，拉馬努金真的有辦法獲得神秘的素?cái)?shù)公式嗎？拉馬努金的筆記中是否還有其他線索呢？1976 年， 這群數(shù)學(xué)家找到了曾經(jīng)丟失的一本拉馬努金的筆記，其中記錄了他的數(shù)學(xué)新思想，這讓他們興奮不已。這一發(fā)現(xiàn)平添了更多的想象空間：除了三一學(xué)院檔案里收錄的資料，以及馬德拉斯箱子里收藏的資料，是不是還有很多其他靜待挖掘的寶藏，能有力地說明拉馬努金為何擁有如此能力來精確地統(tǒng)計(jì)素?cái)?shù)？

拉馬努金的離世對哈代來說是沉重的打擊。畢竟在他去世兩個(gè)月前，哈代還收到了他寄來的一封信，拉馬努金在信中以輕松的語氣和他談?wù)摂?shù)學(xué)問題。哈代為失去了這樣一位在數(shù)學(xué)征途上的同伴而悲痛不已：“自我們相識以來，他總能冒出一些新想法，這是我源源不斷的靈感來源。而他的去世是有史以來對我最大的打擊。”

年歲漸長的哈代，深受抑郁癥的困擾。他一度以為自己還是個(gè)年輕人。如今，自己那日漸蒼老的面容讓他心生厭惡。每次進(jìn)入房間，他都堅(jiān)持把所有能看到的鏡子都換掉。更令他深惡痛絕的是，隨著年歲漸長，他在數(shù)學(xué)研究上越來越力不從心了。他在《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》一書里，也以觸動人心的筆觸，描述了一個(gè)在職業(yè)生涯即將結(jié)束時(shí)的數(shù)學(xué)家。要研究數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家一定不能太老。數(shù)學(xué)上不需要冥想，它需要創(chuàng)造力。一個(gè)失去了創(chuàng)造力和創(chuàng)新欲望的人，是不會有多大建樹的。這對數(shù)學(xué)家來說，更是亙古不變的真理。

和之前的拉馬努金一樣，哈代也曾嘗試了結(jié)自己的生命，只是他選擇自殺的方式是服藥而不是臥軌。但他把藥又吐了出來，結(jié)果成了一場鬧劇。斯諾曾這樣回憶探望生病中的哈代的情景。他自嘲道：“我把事情搞得一團(tuán)糟。還有人搞出過這么大的亂子嗎？”正如他在《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》中寫的那樣，是拉馬努金給了他生活下去的勇氣：“當(dāng)我心情沮喪的時(shí)候，當(dāng)我不得不去聽那些討厭鬼的夸夸其談的時(shí)候，我至少能對自己說：‘我做過一件你從沒做過的事情，那就是我曾經(jīng)和利特爾伍德以及拉馬努金平起平坐過?！?/p>