陪孩子讀幾何原本（3）：如何作一個(gè)等邊三角形（命題1）

昵稱59693045 2022-11-28 發(fā)布于河南

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這是我非常重視的一個(gè)系列，因?yàn)槟撤N大家都懂的原因，拖更很久了，現(xiàn)在來填坑。

愛因斯坦曾經(jīng)說：“如果歐幾里得未能激發(fā)你少年時(shí)代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家！”這話說得雖然有點(diǎn)夸張，但是從中你應(yīng)該還是能感覺到《幾何原本》的巨大影響力。

為什么我如此推崇《幾何原本》？因?yàn)檫@可能是唯一一本小學(xué)生都能讀懂，同時(shí)還能感受到數(shù)學(xué)真正的邏輯和體系之美的書。

說得再直白一點(diǎn)，雖然我們從小學(xué)到高中學(xué)了那么多年的數(shù)學(xué)，但是我覺得那學(xué)的并不是數(shù)學(xué)，而是算術(shù)。

一般人可能要等到大學(xué)才開始系統(tǒng)地學(xué)習(xí)真正的數(shù)學(xué)，那時(shí)候才開始認(rèn)識(shí)到什么是真正的數(shù)學(xué)，并被數(shù)學(xué)真正的美而折服，但《幾何原本》可以讓小學(xué)生就感受到這一點(diǎn)。

所以，如果你想讓你的孩子從小就體會(huì)到真正的數(shù)學(xué)之美，那從《幾何原本》入手可能是最好的選擇之一。但因?yàn)檫@本書原著比較難讀，一般的家長(zhǎng)可能也很難搞清楚里面的重點(diǎn)在哪里，所以抽空開了這個(gè)系列。

在上一篇文章《陪孩子讀幾何原本（2）：定義與公設(shè)》里我講了定義和公設(shè)，上上一篇整體的介紹了陪孩子讀《幾何原本》的意義（不過這篇好像公眾號(hào)里沒有，在知識(shí)星球里，點(diǎn)擊閱讀原文可以查看，關(guān)于這個(gè)系列更加細(xì)致的討論也應(yīng)該在星球里）。

現(xiàn)在我們正式帶讀第一個(gè)命題。大家翻開書，你會(huì)發(fā)現(xiàn)命題1就是：給定一條線段，讓你做一個(gè)等邊三角形。

好，作為家長(zhǎng)，拿到這個(gè)命題1，你的第一反應(yīng)是什么？

什么？歐幾里得的第一件事是要我作一個(gè)等邊三角形？這么簡(jiǎn)單，里面會(huì)不會(huì)有什么玄機(jī)？做個(gè)等邊三角形，我以前上數(shù)學(xué)課的時(shí)候不是經(jīng)常做么？我有100種方法作出來。

比如，如果他要我作一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的等邊三角形，我就用直尺先量一個(gè)5厘米的線段出來。聰明如我，肯定知道等邊三角形每個(gè)角都是60°，拿再用量角器量一個(gè)60°的角，把它延長(zhǎng)，就得到了一個(gè)60°的角∠LMN。

因?yàn)榈冗吶切蔚拿織l邊都相等，所以我再用尺子在第二條邊上也量一個(gè)5厘米出來，再把所有的點(diǎn)都連起來就是一個(gè)等邊三角形了，so easy。

當(dāng)然，如果就是這樣作了一個(gè)等邊三角形，把答卷交上去，歐幾里得肯定給你0分。

你可能會(huì)覺得，沒錯(cuò)啊。等邊三角形三條邊相等，三個(gè)角都相等，而且都是60°，我畫的沒錯(cuò)啊，以前數(shù)學(xué)課上我也是這樣畫的。

是，以前數(shù)學(xué)課里都是這樣畫的，所以我才說以前從小學(xué)到高中學(xué)的都不是數(shù)學(xué)，不過是算術(shù)而已。

我們?cè)賮砘仡櫼幌隆稁缀卧尽肥且陕铩?/section>

《幾何原本》要從五個(gè)公設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出一座幾何大廈出來。我們只需要承認(rèn)這五個(gè)基本的公設(shè)，你就不得不承認(rèn)后面幾百個(gè)命題，這是邏輯演繹的一座豐碑。

這些話你在其他地方可能都聽過，但是你并沒有什么概念。以前許多文章也只是跟你說《幾何原本》多么厲害多么重要，沒講里面的命題到底是如何貫徹這種思想的。

《幾何原本》只從五個(gè)公設(shè)（其實(shí)還有五個(gè)公理和一些定義）出發(fā)，那么你所有的操作就都必須遵守這個(gè)規(guī)范。

我們現(xiàn)在來回過頭看看剛才的操作。

你一開始用尺子作了一條5厘米長(zhǎng)的線段，這個(gè)操作是合法的么？不合法。因?yàn)闆]有哪條公設(shè)、公理能保證你作出一條5厘米長(zhǎng)的線段出來，所以你就不能這么干。

《幾何原本》公設(shè)都是跟幾何相關(guān)的，現(xiàn)在壓根沒有涉及到數(shù)字、度量。別說5厘米這個(gè)概念沒有，連5這個(gè)數(shù)現(xiàn)在都沒有，《幾何原本》要到第七卷定義了數(shù)，才定義了1。

所以，命題1也只是說給一條一定長(zhǎng)度的線段，它沒說線段的長(zhǎng)度是多少。然后，我隨便給了一條一定長(zhǎng)度的線段，你再做一個(gè)以它為邊長(zhǎng)的等邊三角形來。

同樣，相信有了這個(gè)分析，你就知道你的第二步操作（用量角器量一個(gè)60°的角）也是非法的了?，F(xiàn)在的那些公設(shè)和公理，沒有哪一條能保證你做一個(gè)60°的角出來，所以你也不能用。

那你可以干啥呢？你可以干5條公設(shè)允許你干的事，我們?cè)購(gòu)?fù)習(xí)一下這5條公設(shè)：

1、過兩點(diǎn)能作且只能作一直線；

2、線段可以無限延長(zhǎng)；

3、以任一點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑可以作圓；

4、所有的直角都相等；

5、過直線外一點(diǎn)有且只能作一條直線與已知直線平行。

我們假設(shè)給定的這條線段叫線段AB，我先以A為圓心，以B為半徑做一個(gè)圓，這個(gè)操作可不可以？

這個(gè)操作是可以的，為什么？

因?yàn)楣O(shè)3說“以任一點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑可以作圓”。既然它說以任意點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑可以作圓，那么我以A點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)為半徑做一個(gè)圓就是有理可依了吧。

同樣，我再以B點(diǎn)為圓心，以AB為半徑做一個(gè)圓，是不是也是可以的？

這樣，以A點(diǎn)為圓心的圓和以B點(diǎn)為圓心的圓相交于一點(diǎn)，我們假設(shè)這個(gè)點(diǎn)是C。

然后我們把A點(diǎn)和C點(diǎn)之間用一條線連起來，這個(gè)操作是不是合法的呢？合法，因?yàn)楣O(shè)1說過兩點(diǎn)能作且只能作一條直線。因?yàn)橛辛诉@條公設(shè)，我們才可以把點(diǎn)A點(diǎn)C連起來。一定要記住，我們做任何操作，都要找到依據(jù)。

然后，歐幾里得就告訴你，這樣我就做出了一個(gè)等邊三角形ABC了。為什么？

因?yàn)槲乙訟點(diǎn)為圓心，AB為半徑做了一個(gè)圓，C也是這個(gè)圓上的一個(gè)點(diǎn)。那么，根據(jù)圓的定義（定義15）：圓是由一條線所圍成的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線上所有點(diǎn)連成的所有線段都相等，這個(gè)點(diǎn)叫圓心。

也就是說，根據(jù)圓的定義，圓心到圓周上面任意一點(diǎn)的距離都相等，所以AB=AC。同理，C點(diǎn)也在圓B上，那么AB=BC。

好，既然我們現(xiàn)在有AB=AC，也有AB=BC了，那我們可以不可以直接就認(rèn)為一定有AB=AC=BC了呢？不行，還是那句話，一切操作都要有理有據(jù)，重新學(xué)習(xí)《幾何原本》，你一定要把你自己的所有經(jīng)驗(yàn)都清零。

我們必須從公設(shè)、公理、定義中找到了依據(jù)你才能這么干。

然后我們翻到了公理1：等于同量的量也彼此相等。

也就是說，即便到了這么顯而易見的地方，我們也不能根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)作任何“顯而易見”的判斷。如果我們想建立一個(gè)非常嚴(yán)密的體系，你就不能有半點(diǎn)含糊，不能有半點(diǎn)差不多就行了的想法，這才是數(shù)學(xué)！

好，有了公理1，它說等于相同的量的量也彼此相等，那現(xiàn)在AC和BC都和AB相等，那么現(xiàn)在我們才能說：根據(jù)公理1，AC和BC也相等，這樣才能得到AB=AC=BC。

至此，我們的等邊三角形ABC才算作完了。

我們?cè)賮碜屑?xì)看看書上的證明：

可以看到，書里在每一步操作后面都標(biāo)明了它這么做的依據(jù)，那些[公設(shè)3]、[公設(shè)1]、[定義15]、[公理1]就是這個(gè)意思，就是說這一步是根據(jù)這個(gè)公設(shè)、定義、公理得到的。

因?yàn)檫@個(gè)第一個(gè)命題，所以我講的啰嗦了一點(diǎn)。也因?yàn)槭堑谝粋€(gè)命題，許多人剛捧起書來看的時(shí)候會(huì)有點(diǎn)懵，他不知道為什么要把事情搞得這么復(fù)雜，為什么不能用以前他更熟悉的東西，所以我這里多說一些。

我們初次接觸《幾何原本》，要把自己內(nèi)部的經(jīng)驗(yàn)都清空，就跟令狐沖學(xué)習(xí)吸星大法一樣，必須先把自己的內(nèi)力都清空了才行。

我們要以一個(gè)全新的心態(tài)，完全空杯的心態(tài)去學(xué)習(xí)《幾何原本》，因?yàn)檫@是一套完全不同于我們平常接觸的體系。我們平常學(xué)的東西都是奔著實(shí)用去的，你要問小學(xué)生們他學(xué)數(shù)學(xué)是為了干什么，可能大部分還是會(huì)覺得是為了方便計(jì)算，為了生活上的實(shí)用。

我們古代的數(shù)學(xué)教材《九章算術(shù)》也是這樣，它是一部應(yīng)用習(xí)題集，教你各種問題的算法和解法，但這不是數(shù)學(xué)，是算術(shù)。西方古代的數(shù)學(xué)教材是《幾何原本》，它的邏輯性，嚴(yán)密性才是第一位的，歐幾里得根本不考慮《幾何原本》的實(shí)用性，根本不考慮這玩意工程師用起來順手不順手。

這個(gè)我在《你也能懂的微積分》的第三節(jié)里也講了，大家要好好體會(huì)，特別要好好把這種精神跟學(xué)生孩子說清楚，不然這《幾何原本》就白讀了。

切不要以為學(xué)習(xí)《幾何原本》的目的就是為了更快更好的證明各種類型的幾何體，要是這樣，那《幾何原本》就完全失去了價(jià)值，你還不如自己買本幾何習(xí)題集去練呢?！稁缀卧尽返膬r(jià)值就在它嚴(yán)密的邏輯上。

最后，即便你以為歐幾里得的這個(gè)證明已經(jīng)很嚴(yán)密了，但它還是遭受了非常多批評(píng)，批評(píng)它不夠嚴(yán)密。

哪里不嚴(yán)密呢？最大的問題就是，你以分別以A和B為圓心畫了一個(gè)圓，歐幾里得默認(rèn)它們有一個(gè)交點(diǎn)C，那么，這一步是如何保證的呢？

保證不了！也就是說，兩個(gè)圓相交于一點(diǎn)C，這個(gè)C點(diǎn)的存在性是沒有得到證明的，雖然我們直觀的看起來，它們都在一個(gè)平面，那就一定有交點(diǎn)。

是，你是可以感覺到它們有交點(diǎn)，但是你感覺到的東西你得證明啊。你要是憑感覺就可以了，那我還直接感覺過一條線段一定可以作等邊三角形呢？數(shù)學(xué)的奧秘就在這里。

當(dāng)然，考慮到歐幾里得是兩千多年前的人，畢竟也有些東西無法達(dá)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)要求的嚴(yán)密，也是可以理解的。后面到了希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》那里，這些問題自然都得到解決了。

數(shù)學(xué)需要頂級(jí)的嚴(yán)密，就像打地基一樣，基礎(chǔ)牢固，后面才不會(huì)山崩地裂。

好，第一個(gè)命題就講到這了。如果你家孩子有更多個(gè)性化，更奇怪特殊的問題，可以去知識(shí)星球里提問，我會(huì)根據(jù)情況針對(duì)性地作出解答。

畢竟，科普就是為了孩子們，對(duì)待中小學(xué)生，我的耐心是極大的~

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來自：昵稱59693045 > 《數(shù)學(xué)物理》

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