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下面是向學霸進軍為高中的學生們整理的2022高中數(shù)學必背之50個公式，50種快速做題方法，以供參考。 1 . 適用條件 [直線過焦點]，必有ecosA=(x-1)/(x 1)，其中A為直線與焦點所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。 注：上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為(x 1)/(x-1)，其他不變。
2 . 函數(shù)的周期性問題(記憶三個) (1)若f(x)=-f(x k)，則T=2k; (2)若f(x)=m/(x k)(m不為0)，則T=2k; (3)若f(x)=f(x k) f(x-k)，則T=6k。 注意點：a.周期函數(shù)，周期必無限b.周期函數(shù)未必存在最小周期，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數(shù)。 3 . 關于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結如下 (1)若在R上(下同)滿足：f(a x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a b)/2 (2)函數(shù)y=f(a x)與y=f(b-x)的圖像關于x=(b-a)/2對稱; (3)若f(a x) f(a-x)=2b，則f(x)圖像關于(a，b)中心對稱 4 . 函數(shù)奇偶性 (1)對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0; (2)對于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項，偶函數(shù)沒有奇次方項 (3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空 5 . 數(shù)列爆強定律 (1)等差數(shù)列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7為下角標); (2)等差數(shù)列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差 (3)等比數(shù)列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在q=-1時，未必成立 (4)等比數(shù)列爆強公式：S(n m)=S(m) q2mS(n)可以迅速求q 6 . 數(shù)列的終極利器，特征根方程 首先介紹公式：對于an 1=pan q(n 1為下角標，n為下角標)， a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，則數(shù)列通項公式為an=(a1-x)p2(n-1) x，這是一階特征根方程的運用。 二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學們牢記上述公式。當然這種類型的數(shù)列可以構造(兩邊同時加數(shù)) 7 . 函數(shù)詳解補充 1、復合函數(shù)奇偶性：內偶則偶，內奇同外 2、復合函數(shù)單調性：同增異減 3、重點知識關于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其實是中心對稱圖形。 它有一個對稱中心，求法為二階導后導數(shù)為0，根x即為中心橫坐標，縱坐標可以用x帶入原函數(shù)界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。 8 . 常用數(shù)列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n 1)) 2記憶方法 前面減去一個1，后面加一個，再整體加一個2 9 . 適用于標準方程(焦點在x軸)爆強公式 k橢=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k雙={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k拋=p/yo 注：(xo，yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。 10 . 強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技 已知直線L1：a1x b1y c1=0直線L2：a2x b2y c2=0 若它們垂直：(充要條件)a1a2 b1b2=0; 若它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[ 這個條件為了防止兩直線重合) 注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺! 11 . 經(jīng)典中的經(jīng)典 相信鄰項相消大家都知道。 下面看隔項相消： 對于Sn=1/(1×3) 1/(2×4) 1/(3×5) … 1/[n(n 2)]=1/2[1 1/2-1/(n 1)-1/(n 2)] 注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔! 12 . 爆強△面積公式 S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q) 注：這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的問題 13 . 你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯 (1)空間中不同三點確定一個平面 (2)垂直同一直線的兩直線平行 (3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 (4)如果一條直線與平面內無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面 (5)有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱 (6)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐 注：對初中生不適用。 14 . 一個小知識點 所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。 15 . 求f(x)=∣x-1∣ ∣x-2∣ ∣x-3∣ … ∣x-n∣(n為正整數(shù))的最小值 答案為：當n為奇數(shù)，最小值為(n2-1)/4，在x=(n 1)/2時取到; 當n為偶數(shù)時，最小值為n2/4，在x=n/2或n/2 1時取到。 16 . √〔(a2 b2)〕/2≥(a b)/2≥√ab≥2ab/(a b)(a、b為正數(shù)，是統(tǒng)一定義域) 17 . 橢圓中焦點三角形面積公式 S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2) 說明：適用于焦點在x軸，且標準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。 18 . 爆強定理 空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的?！料蛄縝的模] (1)A為線線夾角 (2)A為線面夾角(但是公式中cos換成sin) (3)A為面面夾角注：以上角范圍均為[0，派/2]。 19 . 爆強公式 12 22 32 … n2=1/6(n)(n 1)(2n 1);123 223 323 … n23=1/4(n2)(n 1)2 20 . 爆強切線方程記憶方法 寫成對稱形式，換一個x，換一個y 舉例說明：對于y2=2px可以寫成y×y=px px 再把(xo，yo)帶入其中一個得：y×yo=pxo px 21 . 爆強定理 (a b c)2n的展開式[合并之后]的項數(shù)為：Cn 22，n 2在下，2在上 22 . 轉化思想 切線長l=√(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離，r為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。 23 . 對于y2=2px 過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD，它們的和最小為8p。 爆強定理的證明：對于y2=2px，設過焦點的弦傾斜角為A 那么弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕，所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)2] 所以求和再據(jù)三角知識可知。 (題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直于CD) 24 . 關于一個重要絕對值不等式的介紹爆強 ∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣ ∣b∣ 25 . 關于解決證明含ln的不等式的一種思路 舉例說明：證明1 1/2 1/3 … 1/n>ln(n 1) 把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sn。 解：令an=1/n，令Sn=ln(n 1)，則bn=ln(n 1)-lnn， 那么只需證an>bn即可，根據(jù)定積分知識畫出y=1/x的圖。 an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當然前面要證明1>ln2。 注：僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求和，證面積大小即可。說明：前提是含ln。 26 . 爆強簡潔公式 向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的數(shù)量積〕/[向量b的模]。 記憶方法：在哪投影除以哪個的模 27 . 說明一個易錯點 若f(x a)[a任意]為奇函數(shù)，那么得到的結論是f(x a)=-f(-x a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕 同理如果f(x a)為偶函數(shù)，可得f(x a)=f(-x a) 牢記 28 . 離心率爆強公式 e=sinA/(sinM sinN) 注：P為橢圓上一點，其中A為角F1PF2，兩腰角為M，N 29 . 橢圓的參數(shù)方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。 比如x2/4 y2=1求z=x y的最值。 解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍! 30 . 僅供有能力的童鞋參考的爆強公式 和差化積 sinθ sinφ=2sin[(θ φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ cosφ=2cos[(θ φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 積化和差 sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α β)]/2cosαcosβ=[cos(α β) cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α β) sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α β)-sin(α-β)]/2 31 . 爆強定理 直觀圖的面積是原圖的√2/4倍。 32 . 三角形垂心爆強定理 (1)向量OH=向量OA 向量OB 向量OC(O為三角形外心，H為垂心) (2)若三角形的三個頂點都在函數(shù)y=1/x的圖象上，則它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。 33 . 維維安尼定理(不是很重要(僅供娛樂)) 正三角形內(或邊界上)任一點到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。 34 . 爆強思路 如果出現(xiàn)兩根之積x1x2=m，兩根之和x1 x2=n 我們應當形成一種思路，那就是返回去構造一個二次函數(shù) 再利用△大于等于0，可以得到m、n范圍。 35 . 常用結論 過(2p，0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。 O為原點，連接AO.BO。必有角AOB=90度 36 . 爆強公式 ln(x 1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。 舉例說明：ln(1/(22) 1) ln(1/(32) 1) … ln(1/(n2) 1)<1(n≥2) 證明如下：令x=1/(n2)，根據(jù)ln(x 1)≤x有左右累和右邊 再放縮得：左和<1-1/n<1證畢! 37 . 函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù) 在(0，派)上它單調遞減，(-派，0)上單調遞增。 利用上述性質可以比較大小。 38 . 函數(shù) y=(lnx)/x在(0，e)上單調遞增，在(e， 無窮)上單調遞減。 另外y=x2(1/x)與該函數(shù)的單調性一致。 39 . 幾個數(shù)學易錯點 (1)f`(x)<0是函數(shù)在定義域內單調遞減的充分不必要條件 (2)研究函數(shù)奇偶性時，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關于原點對稱 (3)不等式的運用過程中，千萬要考慮'='號是否取到 (4)研究數(shù)列問題不考慮分項，就是說有時第一項并不符合通項公式，所以應當極度注意：數(shù)列問題一定要考慮是否需要分項! 40 . 提高計算能力五步曲 (1)扔掉計算器 (2)仔細審題(提倡看題慢，解題快)，要知道沒有看清楚題目，你算多少都沒用 (3)熟記常用數(shù)據(jù)，掌握一些速算技 (4)加強心算、估算能力 (5)檢驗 41 . 一個美妙的公式 已知三角形中AB=a，AC=b，O為三角形的外心， 則向量AO×向量BC(即數(shù)量積)=(1/2)[b2-a2] 證明：過O作BC垂線，轉化到已知邊上 42 . 函數(shù) ①函數(shù)單調性的含義：大多數(shù)同學都知道若函數(shù)在區(qū)間D上單調，則函數(shù)值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小)，但有些意思可能有些人還不是很清楚，若函數(shù)在D上單調，則函數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內單調遞增，因為它的圖像被無窮多條漸近線擋住，換而言之，不連續(xù).還有，如果函數(shù)在D上單調，則函數(shù)在D上y與x一一對應.這個可以用來解一些方程.至于例子不舉了 ②函數(shù)周期性：這里主要總結一些函數(shù)方程式所要表達的周期設f(x)為R上的函數(shù)，對任意x∈R (1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對值，下同) (2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a) (3)f(x-a) f(x a)=f(x)T=6a (4)設T≠0，有f(x T)=M[f(x)]其中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)≠x則函數(shù)的周期為2 43 . 奇偶函數(shù)概念的推廣 (1)對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a，使得f(a-x)=f(a x)，則稱f(x)為廣義(Ⅰ)型偶函數(shù)，且當有兩個相異實數(shù)a，b滿足時，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a) (2)若f(a-x)=-f(a x)，則f(x)是廣義(Ⅰ)型奇函數(shù)，當有兩個相異實數(shù)a，b滿足時，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a) (3)有兩個實數(shù)a，b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時，就稱f(x)是廣義(Ⅱ)型的奇，偶函數(shù).且若f(x)是廣義(Ⅱ)型偶函數(shù)，那么當f在[a b/2，∞)上為增函數(shù)時，有f(x1)<f(x2)等價于絕對值x1-(a b p='' <='' 2)<絕對值x2-(a b)=''> 44 . 函數(shù)對稱性 (1)若f(x)滿足f(a x) f(b-x)=c則函數(shù)關于(a b/2，c/2)成中心對稱 (2)若f(x)滿足f(a x)=f(b-x)則函數(shù)關于直線x=a b/2成軸對稱 柯西函數(shù)方程：若f(x)連續(xù)或單調 (1)若f(xy)=f(x) f(y)(x>0,y>0),則f(x)=㏒ax (2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由初值給出) (3)f(x y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x (4)若f(x y)=f(x) f(y) kxy,則f(x)=ax2 bx(5)若f(x y) f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax b特別的若f(x) f(y)=f(x y)，則f(x)=kx 45 . 與三角形有關的定理或結論中學數(shù)學平面幾何最基本的圖形就是三角形 ①正切定理(我自己取的，因為不知道名字)：在非Rt△中，有tanA tanB tanC=tanAtanBtanC ②任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)： 在△ABC中， a=bcosC ccosB;b=ccosA acosC;c=acosB bcosA ③任意三角形內切圓半徑r=2S/a b c(S為面積)，外接圓半徑應該都知道了吧 ④梅涅勞斯定理：設A1,B1，C1分別是△ABC三邊BC，CA，AB所在直線的上的點，則A1，B1，C1共線的充要條件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1 44 . 易錯點 (1)函數(shù)的各類性質綜合運用不靈活，比如奇偶性與單調性常用來配合解決抽象函數(shù)不等式問題; (2)三角函數(shù)恒等變換不清楚，誘導公式不迅捷。 45 . 易錯點 (3)忽略三角函數(shù)中的有界性，三角形中角度的限定，比如一個三角形中，不可能同時出現(xiàn)兩個角的正切值為負 (4)三角的平移變換不清晰，說明：由y=sinx變成y=sinwx的步驟是將橫坐標變成原來的1/∣w∣倍 46 . 易錯點 (5)數(shù)列求和中，常常使用的錯位相減總是粗心算錯 規(guī)避方法：在寫第二步時，提出公差，括號內等比數(shù)列求和，最后除掉系數(shù); (6)數(shù)列中常用變形公式不清楚，如：an=1/[n(n 2)]的求和保留四項 47 . 易錯點 (7)數(shù)列未考慮a1是否符合根據(jù)sn-sn-1求得的通項公式; (8)數(shù)列并不是簡單的全體實數(shù)函數(shù)，即注意求導研究數(shù)列的最值問題過程中是否取到問題 48 . 易錯點 (9)向量的運算不完全等價于代數(shù)運算; (10)在求向量的模運算過程中平方之后，忘記開方。 比如這種選擇題中常常出現(xiàn)2，√2的答案…，基本就是選√2，選2的就是因為沒有開方; (11)復數(shù)的幾何意義不清晰 49 . 關于輔助角公式 asint bcost=[√(a2 b2)]sin(t m)其中tanm=b/a[條件：a>0] 說明：一些的同學習慣去考慮sinm或者cosm來確定m，個人覺得這樣太容易出錯 最好的方法是根據(jù)tanm確定m.(見上)。 舉例說明：sinx √3cosx=2sin(x m)， 因為tanm=√3，所以m=60度，所以原式=2sin(x 60度) 50 . A、B為橢圓x2/a2 y2/b2=1上任意兩點。若OA垂直O(jiān)B，則有1/∣OA∣2 1/∣OB∣2=1/a2 1/b2 本文由公眾號《向學霸進軍》整理編輯于網(wǎng)絡 |
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