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1、人船問題： 人船系統(tǒng)在相互作用下各自運動，運動過程中該系統(tǒng)所受到的合外力為零，即人和船組成的系統(tǒng)在運動過程中動量守恒。 2、兩類問題 第一類：直線運動的人船模型 如圖，質(zhì)量為M的船停在靜止的水面上，船長為L，一質(zhì)量為m的人，由船頭走到船尾，若不計水的阻力，則整個過程人和船相對于水面移動的距離？
設(shè)人在運動過程中，人和船相對于水面的速度分別為 由動量守恒定律得： 由于人在走動過程中任意時刻人和船的速度
可得：
第二類：曲線運動的人船模型 如圖所示，小球質(zhì)量為m，軌道質(zhì)量為M，半徑為R，將m靜止釋放，不計阻力，分析結(jié)論.
運動到最低點，水平方向上動量守恒 動量守恒：mvm=MvM 移動距離：mvm t=MvM t即mxm =MxM 位移之和：xm+xM =R 聯(lián)立解得：xm= 運動到另外一端最高點，水平方向上動量守恒 動量守恒：mvm=MvM 移動距離：mvm t=MvM t即mxm =MxM 位移之和：xm+xM =2R 聯(lián)立解得： 例1、氣球質(zhì)量200kg截有質(zhì)量為50kg的人，靜止在空中距地面20m高的地方，氣球下懸一質(zhì)量不計的繩子，此人想從氣球上沿繩慢慢下滑至地面，為安全到達地面，則這根繩至少多長？
解：人與氣球組成的系統(tǒng)豎直方向動量守恒 由動量守恒得：m1v1﹣m2v2＝0 即：m1 繩子長度：L＝s氣球+s人 解得：L＝25m 例2、如圖所示，質(zhì)量分別為m1和m2（m1＞m2）的兩個人分別站在靜止于光滑水平面上的質(zhì)量為M的小車的兩端，小車長為L，當(dāng)兩人交換位置時，車將向哪個方向移動？移動多大距離？
解：設(shè)當(dāng)兩人交換位置時，車將向右移動的距離為x。 則在此過程中，質(zhì)量m1的人相對于地的位移為x+L 質(zhì)量m2的人相對于地的位移為L﹣x 由動量守恒定律和速度公式得： 0＝M 解得 x＝﹣ 因為m1＞m2，所以x＜0，說明小車向左移動 答：當(dāng)兩人交換位置時，車將向左移動，移動距離為 練習(xí) 1．有一條捕魚小船?？吭诤叴a頭，小船又窄又長（估計一噸左右）。一位同學(xué)想用一個卷尺粗略測定它的質(zhì)量。他進行了如下操作：首先將船平行碼頭自由停泊，輕輕從船尾上船，走到船頭后停下來，而后輕輕下船。用卷尺測出船后退的距離為d，然后用卷尺測出船長L，已知他自身的質(zhì)量為m，則漁船的質(zhì)量為（ ?。?/span> A． B． C． D． 解：設(shè)人走動時船的速度大小為v，人的速度大小為v′，人從船尾走到船頭所用時間為t。取船的速度為正方向。 則 v＝ 根據(jù)動量守恒定律：Mv﹣mv′＝0， 則得：M 解得漁船的質(zhì)量：M＝ 故選：B。 2．如圖所示，在光滑的水平面上，有一靜止的小車，甲、乙兩人分別站在小車左、右兩端。當(dāng)他倆同時相向而行時，發(fā)現(xiàn)小車向右運動，下列說法正確的是（ ?。?/span>
A．乙的速度必定小于甲的速度???? B．乙的速度必定大于甲的速度???? C．乙的動量必定小于甲的動量???? D．乙對小車的沖量必定大于甲對小車的沖量 解：ABC、甲、乙兩人相向而行的過程中，甲、乙兩人及小車組成的系統(tǒng)所受的合外力為零，系統(tǒng)動量守恒，根據(jù)動量守恒定律得：m甲v甲+m乙v乙+m車v車＝0，小車向右運動，小車的動量方向向右，說明甲與乙兩人的總動量向左，因乙向左運動，甲向右運動，則乙的動量必定大于甲的動量，但是由于不知兩人的質(zhì)量關(guān)系，故無法確定兩人的速度大小關(guān)系，也不能確定兩人動能大小關(guān)系，故ABC錯誤； D、對小車分析可知，小車向右運動，由動量定理可知，小車受外力的沖量向右，人在行走時對小車的沖量與人的運動方向相反，則說明乙對小車的沖量大于甲對小車的沖量，故D正確。 故選：D。 3．如圖所示，一個傾角為α的直角斜面體靜置于光滑水平面上，斜面體質(zhì)量為M，頂端高度為h，今有一質(zhì)量為m的物體（M＞m，且物體可以看做質(zhì)點），沿光滑斜面下滑，當(dāng)物體從斜面頂端自由下滑到底端時，斜面體在水平面上移動的距離是（ ?。?/span>
A． B． C． D． 解：物體與斜面在水平方向上動量守恒，設(shè)物塊的速度方向為正方向，則有： mv1﹣Mv2＝0 運動時間相等，則有： ms1﹣Ms2＝0 由題意可知，s1+s2＝ 聯(lián)立解得：斜面體在水平面上移動的距離 s2＝ 故選：C。 4．光滑水平面上放有一上表面光滑、傾角為α的斜面體A，斜面體質(zhì)量為M，底邊長為L，如圖所示。將一質(zhì)量為m可視為質(zhì)點的滑塊B從斜面的頂端由靜止釋放，滑塊B經(jīng)過時間t剛好滑到斜面底端。則下列說法中正確的是（ ）
A．此過程中斜面體向左滑動的距離為 B．滑塊下滑過程中支持力對B不做功???????? C．滑塊B下滑過程中A、B組成的系統(tǒng)動量守恒????? D．滑塊下滑的過程中支持力對B的沖量大小mgtcosα 解：A、滑塊與斜面體組成的系統(tǒng)在水平方向動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得： mv﹣MV＝0 m 解得滑塊下滑過程斜面體向左滑動的距離為：x＝ B、滑塊下滑過程斜面體對滑塊的支持力方向與滑塊的位移方向不垂直，支持力對滑塊B做功，故B錯誤； C、滑塊B下滑過程中A、B組成的系統(tǒng)在水平方向動量守恒，由于系統(tǒng)在豎直方向所受合外力不為零，系統(tǒng)所受合外力不為零，系統(tǒng)動量不守恒，故C錯誤； D、滑塊下滑過程處于失重狀態(tài)，斜面體對滑塊B的支持力小于mgcosα，支持力對B的沖量大小小于mgtcosα，故D錯誤。 故選：A。 5．如圖所示，光滑水平面上有兩個相同的光滑弧形槽，左側(cè)弧形槽靜止但不固定，右側(cè)弧形槽固定，兩個弧形槽底部均與水平面平滑連接。一個小球從左側(cè)槽距水平面高h處自由下滑，已知小球質(zhì)量為m，弧形槽質(zhì)量均為2m，下列說法正確的是（ ）
A．小球從左側(cè)弧形槽下滑過程中，小球和槽組成的系統(tǒng)動量守恒???????? B．小球從左側(cè)弧形槽下滑過程中，小球和槽組成的系統(tǒng)機械能守恒???? C．小球滑上右側(cè)弧形槽后，上升的最大高度為h????? D．小球第二次滑上左側(cè)弧形槽，上升的最大高度為h 解：A、槽和地面接觸面光滑，則小球從左側(cè)槽下滑過程中，小球和槽組成的系統(tǒng)水平方向所受合外力為零，則水平方向上動量守恒，故A錯誤； B、從左側(cè)槽下滑過程中，小球和槽組成的系統(tǒng)接觸面光滑，無機械能損失，機械能守恒，故B正確； C、球下滑到底端時由動量守恒可知mv1＝2mv2，由機械能守恒可得mgh＝ D、小球第二次滑上左側(cè)弧形槽，滑上最大高度時，小球和左側(cè)弧形槽共速，具有動能，小球重力勢能小于初態(tài)重力勢能，上升的高度最大小于h，故D錯誤。 故選：B。 6．如圖所示，將一質(zhì)量為2m、半徑為R的半圓形槽置于光滑水平面上，現(xiàn)讓一質(zhì)量為m的小球從A點正上方h處靜止釋放，經(jīng)最低點后能從右端最高點沖出，不計空氣阻力，則下列說法正確的是（ ）
A．小球與槽組成的系統(tǒng)動量守恒???????? B．小球離開槽后做斜上拋運動???? C．小球從右端上升的高度等于h? D．槽向左運動最大距離為 解：A、系統(tǒng)水平方向不受力，所以小球與槽組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，豎直方向動量不守恒，即小球與槽組成的系統(tǒng)動量不守恒，故A錯誤； B、系統(tǒng)水平方向動量守恒且系統(tǒng)水平方向的總動量為零，所以當(dāng)小球離開槽時只具有豎直方向速度，做豎直上拋運動，故B錯誤； C、小球離開槽時，小球具有豎直向上的速度，此時槽的速度為零，則由機械能守恒定律可知，小球上升高度等于h，故C正確； D、設(shè)槽向左的最大距離為x，系統(tǒng)水平方向動量守恒，以向右為正方向，有：m 解得：x＝ 故選：C。 7．如圖所示，AB為一光滑水平橫桿，桿上套一質(zhì)量為M的小圓環(huán)，環(huán)上系一長為L質(zhì)量不計的細繩，繩的另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)將繩拉直，且與AB平行，由靜止釋放小球，則： （1）當(dāng)線繩與AB成θ角時，圓環(huán)移動的距離是多少？ （2）求小球運動到最低點時的速度大?。?/span>
解：（1）雖然小球、細繩及圓環(huán)在運動過程中合外力不為零（桿的支持力與兩圓環(huán)及小球的重力之和不相等），系統(tǒng)動量不守恒，但是系統(tǒng)在水平方向不受外力，因而水平動量守恒．設(shè)細繩與AB成θ角時小球的水平速度為v，圓環(huán)的水平速度為V，取水平向右為正方向，由水平動量守恒有： MV﹣mv＝0 且在任意時刻或位置V與v均滿足這一關(guān)系，加之時間相同，公式中的V和v可分別用其水平位移替代，則上式可寫為： Md﹣m[（L﹣Lcosθ）﹣d]＝0 解得圓環(huán)移動的距離：d＝ （2）設(shè)小球運動到最低點時，圓環(huán)和小球的速度大小分別為v1和v2．根據(jù)系統(tǒng)水平方向動量守恒和機械能守恒得： 0＝Mv1+mv2； mgL＝ 聯(lián)立解得：v2＝ 答：（1）當(dāng)線繩與AB成θ角時，圓環(huán)移動的距離是 （2）小球運動到最低點時的速度大小是 8．質(zhì)量為M的小車靜止在光滑的水平面上，小車的上表面是一光滑的曲面，末端是水平的，如圖所示，小車被擋板P擋住，質(zhì)量為m的物體從距地面高H處自由下落，然后沿光滑的曲面繼續(xù)下滑，物體落地點與小車右端距離s0，若撤去擋板P，物體仍從原處自由落下，求物體落地時落地點與小車右端距離是多少？
解：小車被擋板P擋住時，設(shè)小球滑離小車時的速度v1，車尾部（右端）離地面高為h。小球從最高點下落至滑離小車時機械能守恒，則有： mg（H﹣h）＝ 由平拋運動的規(guī)律得： s0＝v1t…② h＝ 聯(lián)立解得：s0＝ 設(shè)去掉擋板P時小球離開小車時速度為v2，小車速度為v′2，小球從最高點至離開小車之時系統(tǒng)的機械能守恒，有： ?mg（H﹣h）＝ 小球與小車相互作用過程中水平方向動量守恒，取水平向左為正方向，則得 Mv′2﹣mv2＝0…⑤ 得 v2＝ 小球離開車后對地平拋運動，則有： s2＝v2t′…⑥ h＝ 車在t′時間內(nèi)向前的位移為： s′2＝v′2t′…⑧ 此種情況下落地點距車右端的距離為： s＝s2+s′2＝ 答：物體落地時落地點于小車右端距離是s0 9．如圖所示，一工件置于水平地面上，其AB段為一半徑R＝0.5m的光滑四分之一圓弧軌道，BC段為一長度L＝0.5m的粗糙水平軌道，二者相切于B點，整個軌道位于同一豎直平面內(nèi)，P點為圓弧軌道﹣上的一個確定點，一可視為質(zhì)點的物塊，其質(zhì)量m＝0.2kg，與BC間的動摩擦因數(shù)μ＝0.4；工件質(zhì)量M＝0.8kg，與地面間的摩擦不計。（g＝10m/s2） （1）若工件固定，將物塊由P點無初速度釋放，滑至C點時恰好靜止，求P、C兩點間的高度差； （2）如果不固定工件，將物塊由P點無初速度釋放，求滑至靜止時工件運動的位移。
解：（1）物塊從P點下滑經(jīng)B 點至C 點的整個過程，根據(jù)動能定理得： mgh﹣pmgL＝0 代入數(shù)據(jù)得：h＝0.2m； （2）由幾何知識可知P點到B點的水平距離為L1＝0.4m，設(shè)在BC段物塊相對于工件的位移為x，根據(jù)動能定理有： mgh﹣μmgx＝0 解得：x＝0.5m 在物塊與工件相對運動的過程中，設(shè)物塊向左的位移大小為x1，工件向右的位移為x2 則x1+x2＝x+L1＝0.9m 因為工件和物塊組成的系統(tǒng)在水平方向上不受力，所以系統(tǒng)在水平方向上動量守恒 即：mx1﹣Mx2＝0 則 可得x2＝0.18m，方向向右。 答：（1）若工件固定，將物塊由P點無初速度釋放，滑至C點時恰好靜止，P、C兩點間的高度差為0.2m； （2）如果不固定工件，將物塊由P點無初速度釋放，滑至靜止時工件運動的位移為0.18m，方向向右。 10．平靜的水面上漂浮著一塊質(zhì)量為M＝250g的帶有支架的木板，木板左邊的支架上蹲著一只質(zhì)量為m＝50g的青蛙。支架高h＝20cm，支架右方的水平木板長S＝30cm。青蛙水平向右跳出，為了直接跳到水中，它跳出的初速度v0至少是多大？（水的阻力忽略不計，取g＝10m/s2。）
解：青蛙跳出后做平拋運動，豎直方向：h＝ 設(shè)青蛙的初速度v1，木塊獲得反沖速度為v2，青蛙跳出過程青蛙與木板組成的系統(tǒng)在水平方向動量守恒， 以向右為正方向，在水平方向，由動量守恒定律得：mv0﹣Mv＝0 青蛙跳出后做平拋運動，木板做勻速直線運動，x青蛙＝v0t，x木板＝vt， 青蛙恰好進入水中，則：s＝x青蛙+x木板， M＝250g＝0.25kg，m＝50g＝0.05kg，s＝30cm＝0.3m， 代入數(shù)據(jù)解得：v0＝1.25m/s，v＝0.25m/s 答：為了直接跳到水中，它跳出的初速度v0至少是1.25m/s。
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