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對于非常規(guī)數(shù)學(xué)難題的求解，研究范式的改變，往往起到化難為易、別開生面的效果；如果一味在原有范式里埋頭苦干，可能會勞而無功或無本質(zhì)性進(jìn)展。反過來，這類問題的探究求解，有時也促進(jìn)了新范式的建立。 1994年，是世界數(shù)學(xué)史上光輝的一頁—— 著名的費馬大定理（也稱費馬猜想），在提出350年后終于被英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯徹底證明，完整的證明最終發(fā)表于1995年5月的《數(shù)學(xué)年刊》雜志上。在“征服” 費馬大定理的漫漫征程中，數(shù)學(xué)家們披荊斬棘，百折不撓，留下了許多動人的佳話，也積淀了大量珍貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，值得我們回味、深思。從這段歷史長河中探尋與費馬大定理證明相關(guān)的數(shù)學(xué)研究范式，揭示研究范式的變革對解決費馬大定理這個“超級數(shù)學(xué)難題”的決定性影響，有助于我們理解費馬大定理證明及其他一些數(shù)學(xué)難題求解的思想方法，也有助于更好地理解數(shù)學(xué)的發(fā)展史。 一、 漫漫征程中的關(guān)鍵節(jié)點：三次重大突破1637年，法國數(shù)學(xué)家費馬在他的一本書的某頁空白處，寫下了這個流芳百世的定理，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言可寫成：“對于任何大于2的整數(shù)n， 方程xn +yn =zn 沒有正整數(shù)解?！蓖瑫r他還寫了一個旁注：“我發(fā)現(xiàn)了一個真正奇妙的證明，但書上的空白太小，寫不下。”但證明這個定理足足花費了數(shù)學(xué)家350年時間！所以現(xiàn)在人們傾向于認(rèn)為費馬弄錯了。紀(jì)錄片《Horizon: Fermat's Last Theorem》 (1996)費馬本人用“無窮遞降法”證明了n=4時，他的猜想是正確的；1770年，瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉用費馬的“無窮遞降法”，證明了n=3時，費馬大定理成立；1825年，法國數(shù)學(xué)家勒讓德和德國數(shù)學(xué)家狄利克雷各自獨立地證明了n=5的情形；1839年，法國數(shù)學(xué)家拉梅證明了n=7的情形；稍后，法國數(shù)學(xué)家勒貝格對此情形給出了另一個巧妙的證明；以上證明都是“單打一”，其中沒有一種證明的方法具有普遍性，或至少成批地證明費馬大定理的某些情形。值得一提的是，19世紀(jì)初，法國女?dāng)?shù)學(xué)家熱爾曼證明了一個定理：“如果p是奇素數(shù)且2p+1也是奇素數(shù)，則xp +yp =zp 不存在正整數(shù)解使得xyz不被p整除?！彪m然這個定理沒有斷言xp +yp =zp 沒有正整數(shù)解，但畢竟指出了在某類情形下，xp +yp =zp有正整數(shù)解應(yīng)滿足苛刻的條件。更難得的是，這是第一個關(guān)于費馬大定理作出的一般性斷言。直到1847年，費馬大定理的證明有了第一次重大突破[1]121。德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺栄芯抠M馬大定理時，發(fā)現(xiàn)拉梅等人默認(rèn)了對某類“分圓整數(shù)”，不加證明地使用了對于一般整數(shù)成立的“素因子唯一分解定理”，導(dǎo)致他們在一般情形的費馬大定理的證明中存在致命的錯誤。對此我們稍作解釋：所有整數(shù)構(gòu)成一個對加減乘法三種運算封閉即運算結(jié)果仍在其中的環(huán)Z，也稱整數(shù)環(huán)；所有形如a+bi (其中a，b為整數(shù),i為虛數(shù)單位)的復(fù)整數(shù)也構(gòu)成了一個環(huán)Z[i]，稱為“高斯整數(shù)環(huán)”。類似地，所有形如a + b√(-5 )(其中a，b為整數(shù)）的數(shù)構(gòu)成了一個環(huán)Z[√(-5 )]。整數(shù)環(huán)Z、高斯整數(shù)環(huán)Z[i]中“素因子唯一分解定理”均成立，但環(huán)Z[√(-5 )]中這一定理并不正確，如6 = 2×3 =
(1+√(-5 )(1－√(-5 )，就是Z[√(-5 )]中兩種不同的素因子分解式！[1]157上述所謂“分圓整數(shù)”，是由形如a+bζp（其中a，b為整數(shù)，ζp= e^(2πi/p)對應(yīng)于復(fù)平面上單位圓的一個p等分點）的數(shù)進(jìn)行加減乘運算得到的數(shù)，它們構(gòu)成了環(huán)Z[ζp]，其中各元素的一般形式為a0+a1ζp+a2ζ2p+...+ ap－1ζp－1p （這里各系數(shù)ai均為整數(shù)）。庫默爾指出，對于某些環(huán)Z[ζp]，如Z[ζ23]，“素因子唯一分解定理”不正確。yp = zp－xp =（z－x）(z－ζpx )( z－ζ2px)...（z－ζp－1px)，由整數(shù)環(huán)中的“素因子唯一分解定理”，可推出：若yp =stu...z，且s，t，u，...，z兩兩互素，則s，t，u，...，z必分別等于某個整數(shù)的p次冪。拉梅等人把分圓整數(shù)與通常的整數(shù)進(jìn)行簡單類比，認(rèn)為（z－x）(z－ζpx)(z－ζ2px)...（z－ζp－1px) 中各因式也分別等于某個分圓整數(shù)的整數(shù)冪，由此推出矛盾，從而證明費馬大定理。但某些環(huán)Z[ζp]中“素因子唯一分解定理”不正確，故拉梅等人的證明有誤。庫默爾深入研究了所謂“分圓域”，并宣布已經(jīng)用統(tǒng)一的方法一舉證明了在p為不超過19的奇素數(shù)時，費馬大定理成立。此后，庫默爾還進(jìn)一步證明了當(dāng)p為小于100的奇素數(shù)（除了p =37，59，67）或p為任意“正則素數(shù)”時，費馬大定理均成立。1926年，美國數(shù)學(xué)家范迪威爾證明了對于非正則素數(shù)p，在p<157時，費馬大定理成立。1929年，范迪威爾找到一個判據(jù)，刻畫了使費馬大定理成立的非正則素數(shù)p應(yīng)滿足的條件。此后，利用這類判據(jù)，再結(jié)合計算機，到1954年，費馬大定理已推進(jìn)至p<2003時成立;到1977年，更推進(jìn)至p<125 000。[1]122但是，我們面對的是“無窮”，也就是要對所有的大于2的整數(shù)n， 證明費馬大定理成立！1983年，證明費馬大定理的第二次重大突破是由年輕的法國數(shù)學(xué)家法爾廷斯做出的，年方29的他證明了“莫德爾猜想”，它的一個推論是：“方程xn +yn =zn（n>3）只有有限多個互素整數(shù)解?！?/span>[2]210這是又一個重大突破——把互素整數(shù)解的個數(shù)從可能的無限降到有限！法爾廷斯的成果是當(dāng)代數(shù)論與代數(shù)幾何相結(jié)合的產(chǎn)物。1994年，證明費馬大定理的第三次重大突破，也就是最后的攻堅，是懷爾斯完成的。在此之前（1986年），美國數(shù)學(xué)家里貝特等建立了費馬大定理與“谷山—志村—魏依猜想”（以下簡稱TSW猜想，該猜想由日本數(shù)學(xué)家提出）的聯(lián)系。至此，只要證明了后者，就可以推出前者。TSW猜想試圖建立橢圓曲線與模形式—— 這兩個不同方向的研究對象之間的深刻聯(lián)系，懷爾斯正是由此猜想的探究開始了攻克費馬大定理的征程。經(jīng)過“面壁八年”的上下求索，他終于為費馬大定理的證明畫上了句號。庫恩在《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》中認(rèn)為范式是科學(xué)共同體的承諾，科學(xué)革命是范式的變革、世界觀的改變。他將范式概括為由幾個主要的成分（學(xué)科基質(zhì)）構(gòu)成：符號概括、共同承諾的信念、共有價值、范例[3]163-168。另一方面，范式的建立，也體現(xiàn)在科學(xué)共同體的共同信念、共有價值觀的大體一致，雖然這不是強制性和絕對性的，但也發(fā)揮了巨大的作用，而且隨著范式的逐步穩(wěn)固和年輕一代加入科學(xué)共同體，這些信念和價值往往自然得到更多共同體成員的認(rèn)同。下面結(jié)合費馬大定理證明的歷史過程，考察與該證明相關(guān)的數(shù)學(xué)研究范式的形成與變革。1.第一次重大突破與第一個研究范式——“代數(shù)數(shù)論”研究范式的形成庫默爾做出的費馬大定理證明的第一次重大突破，是數(shù)論與代數(shù)結(jié)合的新研究范式的產(chǎn)物，既是符號概括的典型案例，也反映了數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)觀念的變革。這需要從數(shù)論與代數(shù)的發(fā)展史談起。古希臘有發(fā)達(dá)的幾何學(xué)，其中歐幾里得的《幾何原本》的公理化思想是其精髓。但就數(shù)論和代數(shù)而言，并無大的建樹。數(shù)論方面，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的著作《算術(shù)》里，匯集了各種特殊的不定方程，并研究了相應(yīng)的詳細(xì)解法，然而，其最大的缺點就是缺乏一般性、概括性。代數(shù)方面，由于畢達(dá)哥拉斯堅持“萬物皆數(shù)”（這里的數(shù)只指整數(shù)，分?jǐn)?shù)則被認(rèn)為是兩個整數(shù)的比） 而拒斥無理數(shù)，就不可能發(fā)展代數(shù)方程。李文林認(rèn)為，“歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開始的，它是文藝復(fù)興時期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開了近代數(shù)學(xué)的序幕。主要包括三、四次方程求解與符號代數(shù)的引入這兩個方面?！?sup>［4］126法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)是近代代數(shù)學(xué)的開拓者，他第一個有意識地、系統(tǒng)地使用字母，在他的《分析術(shù)引論》中，“代數(shù)一下子就成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問?！?sup> [5]304代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)的結(jié)合孕育了解析幾何。因為代數(shù)方法具有運用符號概括的特點，我們可以說這是“代數(shù)”研究范式形成的必要條件。從當(dāng)時學(xué)者們的觀念和價值觀看，代數(shù)方法的符號概括性反映了文藝復(fù)興以來學(xué)者心中理性精神的復(fù)蘇和發(fā)展，契合了他們對尋求普遍方法與規(guī)則的追求。費馬對方法論的興趣，可以從他的一本小書《平面和立體的軌跡引論》中看出來，“他在書中說，他找到了一個研究曲線問題的普遍方法?！?nbsp;[6]1費馬同樣也是運用代數(shù)方法研究數(shù)論，他首先在數(shù)論中引入一般的方法和普遍的原理，被稱為近代數(shù)論之父，首創(chuàng)了數(shù)論研究的代數(shù)范式。費馬大定理本身就是一個“普遍情形” ：研究指數(shù)n取任意大于2的整數(shù)時，方程xn +yn =zn的正整數(shù)解情況。在數(shù)論中的這種概括性研究方法與解析幾何的思想是一脈相傳的。對于數(shù)論研究中諸多問題的探究，“費馬的努力像是一場一般化的運動”。[7]405循著類似的研究范式，高斯更充分地運用了代數(shù)方法研究數(shù)論，如著名的同余理論、復(fù)整數(shù)理論的建立，對二次型理論的深刻研究，使數(shù)論成為具有系統(tǒng)性、普遍性的理論。高斯更充分地發(fā)揮了代數(shù)具有的符號概括優(yōu)點，例如，他創(chuàng)立的著名的同余理論，堪稱符號概括的典范。緊接著，庫默爾無疑繼承了本國數(shù)學(xué)家高斯的傳統(tǒng)并加以發(fā)揚。為了證明費馬大定理，他引入了理想數(shù)概念，對分圓域進(jìn)行了深入探討，導(dǎo)致代數(shù)數(shù)論的創(chuàng)立，也由此開創(chuàng)了數(shù)論研究的新范式——“代數(shù)數(shù)論”研究范式。費馬大定理的一大批情形成為這種新范式中的特殊情形而被庫默爾證明，從而取得證明費馬大定理的第一個重大突破。繼續(xù)庫默爾創(chuàng)建的費馬大定理證明的新研究范式，數(shù)學(xué)家范迪威爾對“非正則素數(shù)”給出了一個強有力的一般性判據(jù)。借助計算機，到20世紀(jì)70年代，費馬大定理的成立被推進(jìn)到素數(shù)指數(shù)小于125000的所有情形。這里的證明，已經(jīng)運用了規(guī)范的、程序化的算法，是在費馬大定理證明的一個局部“小范式”中，進(jìn)行一種“解謎題”的活動，符合庫恩所稱的“常規(guī)科學(xué)”特征，并無觀念和方法上的重大突破。假若沿著這種研究范式繼續(xù)推進(jìn)，即使將費馬大定理驗證到對更大的素數(shù)指數(shù)成立，也已經(jīng)沒有什么意義了。2.第二次、第三次重大突破及相應(yīng)的研究范式變革1983年，在法爾廷斯實現(xiàn)的第二次突破之先，幾何學(xué)觀念和方法的入，給費馬大定理的證明帶來了新的視角和生機，形成了一種新的研究范式，權(quán)且稱之為“代數(shù)幾何”研究范式。我國數(shù)學(xué)家馮克勤指出：“到了20世紀(jì)80年代，對費馬猜想的研究興趣又重新高漲起來。如果說19世紀(jì)費馬猜想的研究是代數(shù)和數(shù)論相互促進(jìn)的結(jié)果，那么這一次則得益于幾何與數(shù)論的結(jié)合?！?sup> [8]102具體地，法爾廷斯證明了費馬大定理的一個“弱版本”：“方程xn +yn =zn（n>3）只有有限多個互素整數(shù)解?！睂⒎匠?em>xn +yn =zn的互素整數(shù)解從可能的無限多個降為有限多個！但他也并不是在直接證明費馬大定理的過程中獲得這一結(jié)論，而是把這一結(jié)論視為一般的莫德爾猜想（有理數(shù)域Q上定義的任何虧格大于或等于2的代數(shù)曲線均只有有限個有理點）的特殊推論。事實上，法爾廷斯不僅證明了莫德爾猜想，而且證明了更為一般的結(jié)果：對每個代數(shù)數(shù)域K，定義于K上的虧格大于或等于2的代數(shù)曲線均只有有限多個K-點。這種證明方法充分運用了類似符號概括的一般化方法，也即法爾廷斯的證明是在新的研究范式指導(dǎo)下進(jìn)行的：用代數(shù)幾何的方法研究代數(shù)數(shù)論問題，將方程xn +yn =zn看成是一種特殊代數(shù)曲線的方程，系統(tǒng)運用了大量新的現(xiàn)代結(jié)果，才獲得重大的突破，而且法爾廷斯一舉證明了包含莫德爾猜想在內(nèi)的三個重要猜想，在數(shù)學(xué)界引起了強烈的震撼！《紐約時報》對此也進(jìn)行了報道。從更宏觀的數(shù)學(xué)觀念來看，這些杰出成就是在20世紀(jì)數(shù)學(xué)抽象化、結(jié)構(gòu)化思想指導(dǎo)下取得的，在20世紀(jì)，代數(shù)幾何不僅建立了系統(tǒng)、抽象的結(jié)構(gòu)體系，而且解決了一些遺留的經(jīng)典“硬問題”。將數(shù)學(xué)問題置身于一個或多個結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)體系中，由此可以引起鏈?zhǔn)椒磻?yīng)：由一個問題的解決可以引起多個問題的突破；另一方面，解決一串有互相聯(lián)系的問題有時甚至比解決一個容易，因為多個有聯(lián)系的問題提示了一種觀念、模式和方法系統(tǒng)，形成了一種互相支撐、啟發(fā)的結(jié)構(gòu)，指示或暗示了一些可行的道路。數(shù)學(xué)家丘成桐曾經(jīng)就微分幾何的研究提出了100個猜想，也是基于這種大結(jié)構(gòu)、大系統(tǒng)觀。其實，大數(shù)學(xué)家高斯早就說過：“費馬大定理作為一個孤立的命題，我對此并沒有多少興趣?！?/span>因此，我們看到，數(shù)學(xué)研究范式是涵蓋了觀念、價值、問題、理論、方法、規(guī)則、公式等的系統(tǒng)，其中有規(guī)范的、客觀的、邏輯的、方法論層面的（問題、理論、方法、規(guī)則、公式的體系等，也含某種啟發(fā)性），也有歷史與文化層面的（如觀念、價值等）。前者后來被拉卡托斯發(fā)展為“科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論”，運用到數(shù)學(xué)中，就包括一個由核心理論與方法系統(tǒng)組成的“硬核”，另外還建立了相關(guān)的“保護帶”[9]69。如同鄭毓信所指出的，“數(shù)學(xué)是一個多元的復(fù)合體”，包括理論、方法、問題和符號語言等客體成分與數(shù)學(xué)共同體具有的精神、思想等主體成分[10]24。類似地，可以說數(shù)學(xué)研究范式也是一個多元復(fù)合體，其中“符號概括”應(yīng)拓展為“運用數(shù)學(xué)符號語言概括的公式、規(guī)則、定理以及問題、理論、方法等綜合而成的體系”，這一部分可以劃歸于波普爾所稱的“第三世界”。而在庫恩那里，范式是優(yōu)先的，方法的運用不僅與規(guī)則、一般的指導(dǎo)原則有關(guān)，而且還須更多地依靠“范例”“家族相似”“默會知識與直覺”等，才能真正解決謎題。費馬大定理證明的第三次重大突破，則是基于數(shù)論研究的另一種新研究范式——解析方法的建立[8]112：將費馬大定理的證明轉(zhuǎn)化為對所謂“弗雷曲線”證明谷山—志村—魏依猜想(TSW猜想)，這一猜想是在1955年1970年逐步形成的，它建立了橢圓曲線與模形式之間的對應(yīng)關(guān)系，而橢圓曲線（并非中學(xué)里用二次方程表示的橢圓，橢圓曲線的一種典型方程是三次方程y2=x3+ax+b）是代數(shù)幾何的研究對象，模形式則是數(shù)論、幾何與解析方法相結(jié)合的產(chǎn)物，因此，費馬大定理的“解析研究范式”，準(zhǔn)確地說應(yīng)是一種綜合研究范式。馮克勤在《代數(shù)數(shù)論簡史》中敘述了有關(guān)細(xì)節(jié)后指出：“由TSW猜想便可推出費馬猜想。上述框架也使我們能夠理解：1993年懷爾斯第一次公開宣布他證明費馬猜想時，他的演講標(biāo)題是'模形式，橢圓曲線和伽羅華表示’，只字不提費馬猜想，他演講的最后一句話是：'這樣，我就對所有半穩(wěn)定的橢圓曲線證明了TSW猜想?！趫龅乃袑＜覀兡菚r都已知道，弗雷曲線是半穩(wěn)定的，所以這就證明了費馬猜想?！?sup>[8]187 懷爾斯回憶他當(dāng)時下定決心攻克TSW猜想時的理由，主要是他未來的道路與主流的、有價值的數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，而不是一條偏僻的胡同：“已經(jīng)很多年了，谷山—志村猜想一直沒有被解決。沒有人對怎樣處理它有任何想法，但是它至少屬于數(shù)學(xué)中的主流。我可以試一下并證明一些結(jié)果，即使它們并未解決整個問題，它們也會是有價值的數(shù)學(xué)。我不認(rèn)為我在浪費自己的時間。這樣，吸引了我一生的費馬的傳奇故事現(xiàn)在和一個專業(yè)上有用的問題結(jié)合起來了?！?sup>[11]189也就是說，懷爾斯認(rèn)準(zhǔn)了大方向——循著一種新的有前景的研究范式：他有著正確的價值觀和堅定的信念——不單是為了完全解決問題，而是沿著正確的、主流的數(shù)學(xué)道路向前探索，即使證明失敗了，最終也會有所收獲。而且，他所接受的教育也使他具備了解決費馬大定理的知識基礎(chǔ)，熟悉了相關(guān)問題的基本解決規(guī)則，并且，在著手解決費馬大定理以前，他已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)慕鉀Q“謎題”的經(jīng)驗——他已經(jīng)是一個成熟的有良好聲譽的數(shù)學(xué)家以及橢圓曲線研究專家。庫恩認(rèn)為，由舊到新的范式轉(zhuǎn)換，是“世界觀”的轉(zhuǎn)變，這也反映在費馬大定理350年的證明史上。同樣的費馬大定理，在不同的范式下，顯示出不同的意義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家認(rèn)識研究對象的不同觀念和觀察方式，也提示了不同的道路與解決方案。例如，在第二次突破的“代數(shù)幾何”研究范式下，費馬大定理中的方程xn +yn =zn表示一類代數(shù)曲線，也就是說，此時在數(shù)學(xué)家眼里，方程已經(jīng)不再是第一種范式下（最初意義）的丟番圖方程；在第三次突破的綜合研究范式下，則是研究與該方程相關(guān)的一類特殊的橢圓曲線，并借助這類橢圓曲線與模形式之間的聯(lián)系證明了費馬大定理。這幾次重大突破相伴的范式轉(zhuǎn)變，正如庫恩所指出的：這種轉(zhuǎn)變“是在一個新的基礎(chǔ)上重建該領(lǐng)域的過程，這種重建改變了研究領(lǐng)域中某些最基本的理論概括，也改變了該研究領(lǐng)域中許多范式的方法和應(yīng)用。”[3]78從范式形成和變革的眼光來看，費馬大定理證明史并不呈現(xiàn)簡單的線性累積，而是伴隨著研究范式、世界觀的拓展、革新和轉(zhuǎn)化，新范式的建立由于其優(yōu)越性，往往會在吸取原有范式優(yōu)點的基礎(chǔ)上取而代之。綜上所述，費馬大定理證明的幾次重大突破中，都伴隨著研究范式的變革，從而將費馬大定理轉(zhuǎn)化為新范式中的特殊問題，于是其部分或徹底的證明可視為新研究范式下的自然產(chǎn)物。不僅費馬大定理的證明如此，回顧數(shù)學(xué)史上許多數(shù)學(xué)難題的解決，常常也不是從特殊到一般情形的簡單歸納或逐步解決；不僅僅是已有研究范式的程序化運用(解常規(guī)問題)，而是伴隨著研究范式的拓廣、躍遷、轉(zhuǎn)化，使原有的觀念、價值、問題、理論、模式得以擴展、變革、簡化、建構(gòu)，人們從新范式的角度重新看待、研究原有范式下的問題，這可能就是大數(shù)學(xué)家希爾伯特喜歡講的“舊瓶裝新酒”：老問題由于新范式的創(chuàng)建煥發(fā)生機，也增加了解決的可能性。例如，古希臘的三大尺規(guī)作圖問題，就是將這類幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的可約性問題和分析學(xué)中圓周率π的超越性問題而徹底解決的，也即是在代數(shù)、分析的研究范式下取得突破。[12]2 另一個大名鼎鼎的數(shù)學(xué)難題——拓?fù)鋵W(xué)里的“龐加萊猜想”，是說任何一個單連通、閉的的三維流形必定同胚于一個三維球面，這里所謂“同胚”，直觀地說就是不撕裂、不粘合的連續(xù)變形。龐加萊猜想的最終證明在猜想提出100年后，由俄國數(shù)學(xué)家佩雷爾曼在2003年完成。佩雷爾曼將龐加萊猜想置于更一般的“幾何化猜想”（Thurston幾何化猜想）框架背景下，后者證明過程中遇到的瓶頸問題，被佩雷爾曼運用幾何分析中的Ricci流方法并借助于“熵”的概念加以解決，因此龐加萊猜想的獲證，也是在研究范式的轉(zhuǎn)換下，突破單純的拓?fù)鋵W(xué)研究范式而實現(xiàn)的。 證明龐加萊猜想的數(shù)學(xué)家佩雷爾曼一般而言，對于非常規(guī)數(shù)學(xué)難題的求解，研究范式的改變，往往起到化難為易、別開生面的效果；如果一味在原有范式里埋頭苦干，可能會勞而無功或無本質(zhì)性進(jìn)展。反過來，這類問題的探究求解，有時也促進(jìn)了新范式的建立。正如數(shù)學(xué)家希爾伯特所說，費馬大定理在數(shù)學(xué)史上是“一只下金蛋的鵝”。這只身價不菲的“鵝”也給數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)研究提供了極佳的研究素材，讓我們對數(shù)學(xué)的本性及其發(fā)展有了更深刻的理解。[1]胡作玄．350年歷程——從費爾馬到維爾斯[M]．濟南：山東教育出版社，1996．[2]馮克勤.代數(shù)數(shù)論簡史[M].長沙:湖南教育出版社，2002.[3] T．S． 庫恩．科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2003．[4]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京:高等教育出版社，2002.[5]M．克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第一冊）[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002．[6] M．克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第二冊）[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002．[7]解恩澤，徐本順主編．世界數(shù)學(xué)家思想方法[M]．濟南：山東教育出版社，1993．[8] 馮克勤. 費馬猜想[M]. 北京: 科學(xué)出版社， 2002.[9]I.拉卡托斯.科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論[M].上海: 上海譯文出版社， 1986.[10] 鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].成都:四川教育出版社，2001.[11]西蒙.辛格.費馬大定理[M]．上海：上海譯文出版社，1998．[12]F．克萊因．初等幾何的著名問題[M]．北京：高等教育出版社，2005.■ 作者簡介：本文作者沙國祥，畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F資深編輯，曾任多家數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)雜志主編、副主編。江蘇省科普作家協(xié)會理事，長期從事數(shù)學(xué)文化傳播與科學(xué)普及工作。主編、編寫的《數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育資源庫》《數(shù)學(xué)閱讀精粹》等圖書頗受青少年讀者喜愛。作者授權(quán)風(fēng)云之聲首發(fā)。
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