對經過努力依舊未能解決的問題，如果不進行卓著的創(chuàng)新，那么依舊難以看穿問題的本質——高斯

喜新厭舊是數學家的魅力

本文繼續(xù)代數數論概念系列文章——引入代數數論的討論(1)的寫作。

天才最重要的特點是擁有非凡的創(chuàng)造力。

數學家最喜歡的問題是那些用既有理論解決不了的問題(如果能確定解決不了的話)，因為他們可以借此機會創(chuàng)造新的理論，這讓他們非常愜意。誰不是那么喜新厭舊呢？唯有物理學家。

物理學家在愛因斯坦橫空出世之前，還沒有這種喜新厭舊的覺悟。相對論大獲成功，物理學家集體開竅，紛紛向數學家們看齊。但無論如何努力，或許人類只能永久困在閔可夫斯基空間，數學家物理學家工程師可能永遠突破不到更高維的科技。

域的創(chuàng)造產生是數學家們極為重要但不是極為困難的工作成果。在實數域的基礎上發(fā)展出復數域，好像孕婦順產一般，看起來波瀾不驚，自然而然。但這些工作成果極為重要，很多數學創(chuàng)造在擴域的過程中誕生。比如求-1的根，發(fā)展出數學與科學領域內無處不在的復數域。

素數總出難題，但也幫助解決難題

在很多人的印象中，素數總是在為難數學家，為數學家提供幫助不可想象。

本文主要敘述素數最基本的性質(?)為什么在實數域成立，但到了復數域內不再成立的數學現象。素數這一性質的改變，曾經幫助19世紀的數學家們了解到那個時代的數學工具不可能證明費馬大定理。當時的數學家了解到這一情況后，也不想糾纏了，他們將精力放在了其他的問題上.從工程學的角度來說，素數幫助數學家避免浪費了寶貴的智力資源。

素數不再是“素數”（以下內容不要求看懂）

在復數域內，有一種數稱為高斯整數，高斯整數包括一種“素數”叫高斯素數。高斯整數不是高斯發(fā)明的，但高斯是第一個深入研究此類數的數學家。他將實數域的整數的一些性質引入高斯整數，有力推動了代數數論的發(fā)展進步。

高斯整數有些性質跟通常意義上的整數......，-1， 0， 1，2，3，4, 5, .......的性質相同，是形如

高斯整數

的復數。高斯整數集構成了一個環(huán)，從復平面上看為一個個格點。請問整數集包含在高斯整數環(huán)內不？

對于所有大于2的素數，一部分滿足定理(1)

素數

5，13， 17，29，......，都是這種素數。

還有一部分素數很明顯滿足(2)

素數

3， 7，11，19，......，這些數都是高斯素數。

利用高斯整數的定義可以看出滿足(1)的素數可表述成

高斯素數

可以證明滿足(1)的素數在高斯整數環(huán)內不是素元。

證明

令x=2n!，由威爾遜定理

威爾遜定理

可得(3)

因為

由(3)可以有

等于

又因為

綜上所述，p不是高斯素數。

提個小問題，為什么必須驗證x + i, x-i與p相除不是高斯整數的元素？

復數z=x + yi的范數定義為

范數

那么有

范數

可取

域的擴張讓孤獨的素數不再孤獨，數論的內涵變得更有活力與張力。這僅僅是代數數論的小小的魅力，學習得越多，越不敢說知道得多。