自從我們發(fā)布阿蒂亞爵士以及北京大學(xué)82歲退休教授李忠宣布證明黎曼猜想的消息（《實(shí)錘！北大退休教授已于13日在中科院報(bào)告黎曼猜想的證明》）后，除了眾多網(wǎng)友的指教（我們表示感謝），還有些網(wǎng)友（在頭條號(hào)“和樂數(shù)學(xué)”上）問什么是黎曼猜想? 我們不揣淺陋，試著介紹一點(diǎn)皮毛。

關(guān)于黎曼猜想的一個(gè)熱門評(píng)論是：一臉懵逼地進(jìn)來，一臉懵逼地出去。

為了避免這一點(diǎn)，我們盡可能通俗地講點(diǎn)數(shù)學(xué)，講點(diǎn)故事。

沒有數(shù)學(xué)內(nèi)容，就很難對(duì)黎曼猜想有好的了解，就像欣賞音樂，如果不講點(diǎn)音樂知識(shí)，可能不易使讀者真正對(duì)音樂有真正的欣賞。

當(dāng)然，我們也有故事。這樣，如果有我們沒講清楚數(shù)學(xué)的地方，希望故事還有點(diǎn)趣，讀者跳著讀讀還會(huì)有些收獲。

怎樣了解黎曼猜想呢？黎曼猜想經(jīng)過159年的研究，自然有不少故事。我們不妨從源頭開始看起，看黎曼為什么要提出這樣一個(gè)猜想。很多時(shí)候，問題的起源可能是最重要的。

黎曼猜想是歷史上最偉大數(shù)學(xué)家之一的黎曼在1859年在一篇名為《論小于給定數(shù)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)》文章中提出的。

波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann, 1826—1866年)是德國著名的數(shù)學(xué)家，受過高斯的指導(dǎo)。黎曼一生只活了40歲，論文也不多，但他的每一篇論文幾乎都開創(chuàng)了一個(gè)學(xué)科一個(gè)方向。特別是他開創(chuàng)了黎曼幾何，給后來愛因斯坦的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

如果你只想在一分鐘之內(nèi)了解黎曼猜想，黎曼猜想那就是下面這段話：

黎曼在這篇文章中注意到函數(shù)

與素?cái)?shù)分布有關(guān)，并猜測(cè)該函數(shù)的非平凡零點(diǎn)恰好在實(shí)部為1/2的直線上。這個(gè)函數(shù)現(xiàn)在稱為黎曼ζ（zeta）函數(shù)。

黎曼提出這個(gè)猜想不是瞎想，他老老實(shí)實(shí)地算了很多值。當(dāng)然他沒有發(fā)表。一個(gè)著名的傳奇是，有人從黎曼留下的草稿中發(fā)下了黎曼的一個(gè)計(jì)算公式，還得了，這就是現(xiàn)在稱為黎曼-西格爾公式的計(jì)算公式。

如果你想多了解一點(diǎn)，且容我們慢慢道來。

一、素?cái)?shù)與素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)

素?cái)?shù)定義（其中有個(gè)錯(cuò)誤，你能發(fā)現(xiàn)嗎？）

黎曼的研究源于數(shù)論。數(shù)論是數(shù)學(xué)的女王。素?cái)?shù)性質(zhì)的研究一直是數(shù)論研究的要點(diǎn)和難點(diǎn)，最近張益唐有關(guān)孿生素?cái)?shù)猜想的突破就曾引起轟動(dòng)。

所謂素?cái)?shù)就是只有1和自身為因子且大于1的正整數(shù)（小學(xué)中一般稱為質(zhì)數(shù)），如2，3，5，7，11，13，17，19，23等。（大于1就排除1是素?cái)?shù)）

素?cái)?shù)分布

素?cái)?shù)為什么重要呢？一個(gè)原因是它是構(gòu)造所有整數(shù)的基礎(chǔ)材料。任何一個(gè)整數(shù)都可以唯一地分解為素?cái)?shù)的乘積，這叫做素?cái)?shù)基本定理。例如，72=2^3*3^2.

為了素?cái)?shù)基本定理的簡潔敘述或許是規(guī)定1不是素?cái)?shù)的一個(gè)原因：這樣將一個(gè)整數(shù)表示為素因子之乘積的時(shí)候，有唯一表示，例如 18=2*3*3，避免另一種“素因子”表示：18=1*2*3*3）。

早在古希臘時(shí)期，亞歷山大城的歐幾里得已經(jīng)指導(dǎo)如何用反證法證明了素?cái)?shù)有無窮個(gè)多個(gè)（順便說一句，這是有史記載的第一個(gè)反證法證明的例子）。歐幾里得說，如果只有有限個(gè)素?cái)?shù)，設(shè)為p1,p2,...,pn，則它們的乘積與1之和p1*p2*...*pn+1不能不是素?cái)?shù)，因?yàn)槿绻皇撬財(cái)?shù)，應(yīng)該能被p1,p2,...,pn中至少一個(gè)整除，但事實(shí)上，用p1,p2,...,pn中任意一個(gè)數(shù)除p1*p2*...*pn+1時(shí)，總有余數(shù)1。但p1*p2*...*pn+1是一個(gè)新的素?cái)?shù)，從而矛盾。

歐幾里得

關(guān)于素?cái)?shù)的一個(gè)首當(dāng)其沖的問題就是素?cái)?shù)是如何分布的，如何產(chǎn)生的。

有沒有一個(gè)產(chǎn)生素?cái)?shù)的公式呢？這可能是許多人都會(huì)想起的問題。事實(shí)上，歐拉也想到了，而且發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很好的公式，可惜的是，并不能產(chǎn)生所有的素?cái)?shù)，這個(gè)公式產(chǎn)生的數(shù)也不全是素?cái)?shù)。如果很幸運(yùn)，恰好是素?cái)?shù)，就稱這個(gè)數(shù)為歐拉素?cái)?shù)。

歐拉

歐拉提出的公式是 n^2+n+41. 我們可以檢測(cè)下：

0^2+0+41=41

1^2+1+41=43,

2^2+2+41=47,

3^2+3+41=53,

4^2+4+41=61

都是素?cái)?shù)。這個(gè)公式足夠神奇了。然而，當(dāng)n=40時(shí)，

40^2+40+41=1681

不是素?cái)?shù)：1681=41*41.

為了研究素?cái)?shù)如何分布，數(shù)學(xué)家們研究小于給定數(shù)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，并直接定義了一個(gè)素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)，用它表示小于或等于x的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。

例如，小于或等于3的素?cái)?shù)只有2個(gè)，即2和3，所以π(3)=2；小于或等于10的素?cái)?shù)有4個(gè)：2，3，5，7，所以π(10) = 4； 小于或等于20的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，一共8個(gè)，所以π(20)=8.

下面的表格的第2列列出了π(x)的一些取值。有了計(jì)算機(jī)，是不難算出這個(gè)函數(shù)的一些取值的。讀者可以想想在高斯那時(shí)代是如何計(jì)算的呢？

二、歐拉與黎曼ζ函數(shù)

讓我們且將素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)按下不表，先回到黎曼ζ函數(shù)。這里要仔細(xì)了解幾點(diǎn)：

1. 黎曼ζ函數(shù)中的自變量s是復(fù)數(shù)，即x+iy這樣的復(fù)數(shù)。

2. 零點(diǎn)就是指使得ζ函數(shù)取值為0的s的值。

3. 黎曼注意到ζ函數(shù)有平凡的零點(diǎn)，就是負(fù)偶整數(shù)：-2，-4，-6，-8......。

了解黎曼猜想的一個(gè)難點(diǎn)是要了解這個(gè)函數(shù)的定義，也就是這個(gè)無窮和是什么意思。

我們先從s是實(shí)數(shù)時(shí)的ζ函數(shù)談起。

當(dāng)s時(shí)實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)無窮和（級(jí)數(shù)）只有當(dāng)s>1時(shí)才是收斂的，也就是說，這個(gè)求和才有意義。例如，當(dāng)s=1是，這個(gè)求和就是著名的調(diào)和級(jí)數(shù)

1+1/2+1/3+1/4+...

這個(gè)求和的量雖然積累起來很慢，當(dāng)加到足夠多的項(xiàng)時(shí)，這個(gè)和可以超過任何預(yù)先給定的數(shù)，也就是說這個(gè)和時(shí)無窮大的。數(shù)學(xué)上講，就是說這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散。

又如，當(dāng)s=-1時(shí)，這個(gè)和顯然就是

1+2+3+4+5+...

顯然，這個(gè)和是無窮大。

在黎曼之前，數(shù)學(xué)巨匠歐拉已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了調(diào)和級(jí)數(shù)與素?cái)?shù)奧秘。歐拉用調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。計(jì)算如下：

其中p表示素?cái)?shù)。因?yàn)檎{(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的，所以所有素?cái)?shù)的倒數(shù)和也必定是發(fā)散的。否則，如果素?cái)?shù)個(gè)數(shù)有限，就有矛盾，所以素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。

歐拉的發(fā)現(xiàn)打開了用分析方法研究素?cái)?shù)之門，也啟發(fā)了黎曼的研究。（將另文介紹歐拉的研究）

黎曼將歐拉研究過的級(jí)數(shù)加以推廣。

他說變量s可以是復(fù)數(shù)，通過解析延拓，函數(shù)對(duì)所有復(fù)數(shù)都有了定義。特別，ζ函數(shù)在s=-1時(shí)的值為-1/12。粗略地說，就是所有正整數(shù)的和為-1/12.

解析延拓是數(shù)學(xué)上將解析函數(shù)從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發(fā)散的級(jí)數(shù)在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)。解析函數(shù)是局部上由收斂冪級(jí)數(shù)給出的函數(shù)。

三、素?cái)?shù)定理

從黎曼文章的標(biāo)題可見，黎曼猜想與素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布有關(guān)。高斯通過統(tǒng)計(jì)，曾正確地猜測(cè)：當(dāng)x充分大時(shí)，小于或等于給定數(shù)x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)π(x)近似為x/log(x)。

用公式表示就是：

這就是所謂的素?cái)?shù)定理。請(qǐng)大家復(fù)習(xí)上面的素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)表。

高斯

偉大的數(shù)學(xué)家高斯親手計(jì)算了很多值（這是高斯最可怕之處，不但天才，而且還能動(dòng)手做常人不愿意做的事情），但他并沒有能給出證明——可見其難。德國有本暢銷書，有中譯，叫《丈量世界》（從數(shù)學(xué)名詞的翻譯看，該書翻譯不佳），講述高斯與洪堡的故事。其中一個(gè)故事講高斯小時(shí)候去見資助人斐迪南公爵時(shí)，還在心底默默數(shù)數(shù)，數(shù)素?cái)?shù)。

勒讓德

另一位數(shù)學(xué)家，勒讓德，也在1798年猜測(cè)到了這個(gè)素?cái)?shù)定理結(jié)果。

數(shù)學(xué)家的一大悲劇是碰到像高斯這樣的高手：既生瑜何生亮。勒讓德在正態(tài)分布上也由重要發(fā)現(xiàn)，但最終，正態(tài)分布仍常被稱為高斯分布。另一個(gè)悲情如勒讓德的還有發(fā)現(xiàn)非歐幾何的匈牙利年前天才數(shù)學(xué)家鮑耶·雅諾什。雅諾什也是發(fā)現(xiàn)高斯早就發(fā)現(xiàn)了非歐幾何的存在。

俄羅斯著名數(shù)學(xué)家切比雪夫是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的第二創(chuàng)始人（第一人是歐拉）。概率論中有個(gè)切比雪夫不等式，

就是以他的名字命名的。 他對(duì)數(shù)論頗有研究，例如他曾證明，在n和2n之間必有素?cái)?shù)。

1851年/52年，切比雪夫證明，如果極限

存在，則這個(gè)極限一定是1，而且還證明了

但他仍然沒能證明。

阿達(dá)馬

直到1896年，法國數(shù)學(xué)家雅克·阿達(dá)馬（Jacques-Salomon Hadamard ）和比利時(shí)數(shù)學(xué)家德拉瓦萊普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）才先后獨(dú)立給出素?cái)?shù)定理的證明證明。

我們對(duì)阿達(dá)馬應(yīng)該感到親切。1935年，受熊慶來的邀請(qǐng)，阿達(dá)馬與美國著名數(shù)學(xué)家、現(xiàn)代控制論創(chuàng)始人維納（N. Wiener）到清華大學(xué)講學(xué)。在阿達(dá)馬的影響下，許多人赴法留學(xué)。

阿達(dá)馬還向華羅庚介紹了蘇聯(lián)的維洛格拉朵夫及韋爾和方法。阿達(dá)馬告訴華羅庚，維諾格拉朵夫?qū)θA林問題的研究非常出色，該問題是這方面研究的主要方向，從此華羅庚進(jìn)入了研究堆壘數(shù)論的主流。在以后相當(dāng)長的時(shí)間中，華羅庚的工作受到維諾格拉朵夫的影響。阿達(dá)瑪講學(xué)時(shí)，最后只有華羅庚坐在下面聽講從這個(gè)方面說，黎曼猜想的研究與中國數(shù)論的研究有密切的淵源。

阿達(dá)馬等人的證明用到了復(fù)分析，尤其是黎曼ζ函數(shù)。

塞爾伯格

因?yàn)槿藗儗?duì)黎曼ζ函數(shù)感到不可捉摸，畢竟其零點(diǎn)還不清楚。所以，人們一直希望有個(gè)初等的證明。幾十年之后的1949 年，年僅 31 歲的賽爾伯格就用初等方法重新證明了素?cái)?shù)定理——此前的證明用到了復(fù)分析方法。他的證明立即轟動(dòng)了數(shù)學(xué)界，并使他 1950 年榮獲了菲爾茲獎(jiǎng)以及1986 年的沃爾夫獎(jiǎng)。今年的菲爾茲獎(jiǎng)獲得者舒爾茲已經(jīng)是逆天的年輕了，但還是沒能打破塞爾伯格的紀(jì)錄。

著名的流浪數(shù)學(xué)家愛多士也曾在素?cái)?shù)定理的初等證明方面有重要貢獻(xiàn)。這方面曾有過爭論，這里不再細(xì)說。

這個(gè)故事看起來很精彩？但這是因?yàn)槿藗儗?duì)黎曼的函數(shù)，黎曼的零點(diǎn)還不清楚。

四、黎曼猜想與強(qiáng)素?cái)?shù)定理

黎曼猜想所描述的的有關(guān)素?cái)?shù)分布的性質(zhì)描述比素?cái)?shù)定理還要細(xì)致。

為了說明這一點(diǎn)，讓我們引入對(duì)數(shù)積分：

可以證明：

由此可見，素?cái)?shù)定理說的就是π(x) ~ Li(x)。

從下面的圖片可以看到素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)是如何被逼近的：

1899，獨(dú)立證明了素?cái)?shù)定理的德拉瓦萊普森還證明了

1901年瑞典數(shù)學(xué)家海里格·馮·科赫（Helge von Koch）證明黎曼猜想等價(jià)于更精細(xì)的估計(jì)：

這是比素?cái)?shù)定理更精細(xì)的余項(xiàng)估計(jì)。這就是所謂的強(qiáng)條件下的素?cái)?shù)定理。

讀者應(yīng)該注意的是余項(xiàng)的階。

粗略地說，黎曼猜想等價(jià)的素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的估計(jì)可以保證：誤差在10000倍的估計(jì)可以精確到100倍。

科赫

熟悉數(shù)學(xué)的同學(xué)對(duì)這位科赫老兄其實(shí)并不陌生。數(shù)學(xué)中著名的分析Koch曲線就是他提出來的。

科赫雪花

因此，我們說一旦黎曼猜想獲證，便能大大改進(jìn)素?cái)?shù)定理的誤差估計(jì)。

五、有關(guān)黎曼猜想的科普?qǐng)D書

有興趣的讀者可以進(jìn)一步閱讀其他科普?qǐng)D書來了解黎曼猜想的歷史。中文中，盧昌海博士的《黎曼猜想漫談》曾獲吳大猷科普金獎(jiǎng)，自是有其道理。新浪微博“南方科技大學(xué)”轉(zhuǎn)述“數(shù)學(xué)文化”湯濤院士的話說，盧昌海是黎曼猜想科普世界第一，此話有待商榷。如果是說時(shí)間第一，自燃不對(duì)；湯院士應(yīng)該是指該書的質(zhì)量吧？

我們想介紹，國外也有些優(yōu)秀這方面的科普?qǐng)D書，例如：

1. 德比希爾 (John Derbyshire) 的 Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (Joseph Henry Press, 2003)

2. 索托伊 (Marcus du Sautoy) 的 The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics (Harper, 2003)

3. 薩巴 (Karl Sabbag) 的 The Riemann Hypothesis: The Greatest Unsolved Problem in Mathematics (Farrar, Straus and Giroux, 2003)

《黎曼博士的零點(diǎn)》有中譯：

六、小結(jié)

黎曼猜想一直被視為數(shù)學(xué)界最偉大、最有價(jià)值的問題。它在1900年被希爾伯特列為23個(gè)待解決的問題之一，繼而又在2000年被克雷數(shù)學(xué)研究所列為7個(gè)懸賞100萬美元求解的問題之一。

猜想源于對(duì)一個(gè)很有意義的問題，即素?cái)?shù)的分布的探索。因?yàn)閱栴}有意義，很自然地，后來人們又發(fā)現(xiàn)有許許多多難題可在黎曼猜想成立的條件獲證。特別是人們還發(fā)現(xiàn)它不僅是一個(gè)純數(shù)學(xué)問題，還發(fā)現(xiàn)它與和現(xiàn)實(shí)世界緊密相關(guān)的隨機(jī)矩陣的特征值分布有關(guān)。

黎曼猜想就像一個(gè)目標(biāo)，激發(fā)了人們的無窮的探索精神。在尋求證明的過程中，人們可以對(duì)數(shù)學(xué)有更深刻的理解，可以產(chǎn)生新的理論。

我們?cè)D(zhuǎn)述阿蒂亞爵士的話說，證明黎曼猜想，如果你還不有名，就會(huì)聲名鵲起；而過是有名的人，將變得“不著名”。有網(wǎng)友指正說，原文的infamous不是不著名，是聲名狼藉。我們實(shí)在不愿意將聲名狼藉用到勇于探索的斗士身上。

但另一方面，黎曼猜想有如一位冷峻的美人，只是靜待英雄的出現(xiàn)。

我們僅從素?cái)?shù)分布角度介紹了一點(diǎn)點(diǎn)。黎曼猜想制之所以重要，是因?yàn)樗c其他問題有千絲萬縷的聯(lián)系。黎曼猜想的美，等著你們?nèi)ミM(jìn)一步探索哦。

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