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1.全體自然數(shù)倒數(shù)的平方和 大約從17世紀開始，西方的數(shù)學家們終于打破了對于無窮的禁忌，逐漸應用無窮級數(shù)作為表示數(shù)量的工具，同時研究各種無窮級數(shù)的求和問題。 1673年萊布尼茨去巴黎辦事，順便幫助惠更斯證明了： 由此不僅導致了他與牛頓一起發(fā)明了微積分，而且還一并給出了下面二個無窮級數(shù)的和： 前一個公式，我國元初時期的朱世杰，在他的《四元玉鑒》（1303年）一書中就已經(jīng)給出。后一個公式，則是通過他的變換規(guī)則的方法所得到，顯然這樣的表示有些不妥，因為不管多少個有理數(shù)的和差，必定仍然為有理數(shù)，決不可能得到的是無理數(shù)，更不可能得到的是超越數(shù)。不過，那時真正困擾著萊布尼茨的卻是調(diào)和級數(shù)的問題。 后來雅各布·伯努利嚴格證明了調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性，即全體自然數(shù)的倒數(shù)之和為無窮大，但他被全體自然數(shù)的倒數(shù)的平方和所困擾著。歐拉應該是受到了萊布尼茨上述不妥的影響，于1735年先后給出了： 對于上述ζ（s）符號來說，當s為大于1的整數(shù)時，稱為歐拉函數(shù)，當s為復數(shù)時，則稱為黎曼函數(shù)。徐利治和鄭毓信所寫的《關系映射反演原則及應用》，對于ζ（2）的推導作了如下的介紹：由于 于是sinx可以看成是一個無限次的代數(shù)多項式。歐拉把它和代數(shù)多項式因子分解定理作比較，便聯(lián)想到sinx也應該能表示成因子連乘積。因為sinx=0有無窮多個根：x = 0，±π，±2π，±3π，…，所以sinx應表示成無窮多個因子乘積。于是通過聯(lián)想和類比，歐拉便發(fā)現(xiàn)sinx可以分解成下列因子連乘積：
這便是著名的歐拉公式。這個公式利用數(shù)學分析方法，可以獲得嚴格的證明。有趣的是，如果把上式右端展開，可以看出x3的系數(shù)是： 約翰·伯努利聽到歐拉的成功消息后極為興奮地說：“要是我哥哥活著，這將使他最熱望的心愿得以滿足”。后來約翰·伯努利也給出了一個證明，實際上同歐拉的方法一樣，都是把多項式根與系數(shù)的關系推廣到冪級數(shù)。嚴格來講，這種方法是不能用的，然而那時的數(shù)學家們，似乎對于這樣的錯誤并不介意。 華羅庚在他的小冊子《從楊輝三角談起》中，給出了對于全體自然數(shù)倒數(shù)的平方和的逼近方法，說明全體自然數(shù)倒數(shù)的平方和會無限的逼近π2/6，但是決不可能就是π2/6。文中通過四步論述了他的逼近方法，其中的第四步可以不斷的實施，不斷的提高它的準確度。 2.歐拉乘積公式的問題 1737年，也就是在歐拉給出上述兩個歐拉函數(shù)值的第二年，他又給出了一個更讓大家吃驚的東西： 這個東西有的書上稱它為歐拉乘積公式，有的書上稱它為歐拉恒等式。一般來說，數(shù)學上的公式必須通過推導演算予以驗證，數(shù)學上的定理則必須通過十分嚴密的論述予以證實。讓人覺得驚訝的是，歐拉的這個乘積公式，不僅沒有推導演算的驗證，而且也缺乏十分嚴密的論述證明，他僅僅只給出了一個如同悖論一般的極其簡短說明。 盧昌海寫了一本名為《黎曼猜想漫談》的數(shù)學科普著作，王元特意為其寫了一篇名為讀后感的代序，稱贊文章關于數(shù)學的闡述是嚴謹?shù)?，?shù)學概念是清晰的。文字流暢，并間夾了一些流傳的故事，以增加趣味性與可讀性，從這幾方面來看，都是一篇很好的雅俗共賞的數(shù)學普及文章。盧昌海特意在他的附錄A里，介紹了歐拉乘積公式，他說：歐拉乘積公式的證明十分簡單，唯一要注意的就是對無窮級數(shù)與無窮乘積，不能隨意套用有限求和與有限乘積的性質。 那么，無限求和與無限乘積會具有一些什么樣的性質？它們與有限求和及有限乘積又有什么樣的不同呢？ 筆者認為無限的范圍遠比有限的范圍龐大得多，其中的情況也更為復雜。有限范圍里的數(shù)，我們可以運用大小予以區(qū)分，無限范圍里的數(shù)，我們不能運用大小予以區(qū)分，也許可以運用等級的概念予以區(qū)分。何華燦出版發(fā)行了一本名為《統(tǒng)一無窮理論》的書，但他對于無限問題，似乎并沒有從數(shù)學的角度真正的予以深入研究。在我國的《莊子》一書上，對于無窮問題已經(jīng)有了明確的記載：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。歐拉無窮級數(shù)（乘積公式）的極限為1，萊布尼茨在巴黎所證明的那個無窮級數(shù)的極限也為1，但這是兩個完全不同的無窮級數(shù)，因為它們逼近極限1的速度是完全不同的。因此 類似的情況可以寫出許多。 現(xiàn)在幾乎所有的數(shù)學書上，全都認為歐拉的證明是毋庸置疑的，因為根據(jù)算術基本定理，每一個自然數(shù)都具有唯一的素數(shù)分解形式。其實，上述歐拉乘積公式的左邊，表示的是全體自然數(shù)倒數(shù)的s次方之和，這是由于自然數(shù)是一個公差為1的等差級數(shù)，十分規(guī)律，可以如此予以表示。然而，右邊的全體素數(shù)的s次方之積，就不能這樣予以表示了，因為素數(shù)的分布很不規(guī)律，兩個素數(shù)的間距可以小到只有2，也可以大至無限。 假如全體素數(shù)的數(shù)量為k個，用Pk表示其中最大的那個素數(shù)，那么在Pk和Pk2之間，必定還會存在著許多個大于Pk的素數(shù)。因此，歐拉乘積公式右邊的全體素數(shù)的s次方之積，根本就無法予以如此表示，所以上述歐拉乘積公式不能成立，因為你不能說全體素數(shù)的數(shù)量只有多少個。 3.素數(shù)定理的問題 1859年，高斯的學生黎曼，發(fā)表了他唯一的一篇數(shù)論文章——“論給定量以內(nèi)的素數(shù)數(shù)目”。論文總共只有8頁，給出了ζ（s）函數(shù)當s為復數(shù)時的情況。最初大家都覺得此文疏漏很大，然而不久許多人都轉變了看法，認為此文可以解決素數(shù)定理的誤差問題。為了填補黎曼的漏洞，法國科學院于1890年設立了名為“決定一定界內(nèi)素數(shù)個數(shù)”的大獎。當時只有李特爾伍德始終認為，所謂的黎曼猜想完全都是錯的。 素數(shù)定理：π（x）～x/logx，是近代數(shù)學里的一個最最充滿疑問的定理。15歲時的高斯曾經(jīng)猜想過，小于x的素數(shù)的個數(shù)π（x）或許與x的對數(shù)積分Li（x）漸近相等。由于Li（x）～x/logx，所以π（x）～x/logx。其實，高斯的許多數(shù)學思想未必都是對的，例如他對于非幾何的態(tài)度，不僅是錯的，而且還涉及到了他的人格問題。對于我這個民間的數(shù)學愛好者來說，就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了他的表一個數(shù)為二平方和的表數(shù)公式根本就是錯的。那么他少年時的一個不切實際的胡思亂想，能正確嗎？ 1896年，阿達馬和瓦萊—布桑都是依據(jù)了ζ（1+it）≠0，同時分別證明了當N→∞時，π（N）logN/N的極限為1。于是有人稱他們是證明了素數(shù)定理，給出了素數(shù)的分布規(guī)律。其實，他們所證明的東西與素數(shù)的分布根本就毫無關系，他們只是證明了在無限大的情況下，素數(shù)的數(shù)量與自然數(shù)數(shù)量的比幾乎為零而已。 英國解析數(shù)論大師哈代于1921年，在哥本哈根數(shù)學會上，對于素數(shù)定理的證明曾說：“斷言一個定理肯定不能用某種方法證明是輕率的，…如果誰給出了素數(shù)定理的初等證明，那他就證明了（我們現(xiàn)在關于數(shù)論、解析函數(shù)論中何謂深刻，何謂膚淺的）見解是錯誤的，…從而到了該丟掉一些著作來重寫理論的時候了。” 然而，就在哈代說出此話的第28年，挪威美籍數(shù)學家賽爾伯格與匈牙利數(shù)學家愛爾特希，雙雙同時運用初等方法，分別獨立證明了這個素數(shù)定理。
有人統(tǒng)計過，在當今的數(shù)學文獻中，已有超過一千條數(shù)學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明為真，那么這些數(shù)學命題就全都可以榮升為定理；反之，若黎曼猜想被否證，那么這些數(shù)學命題起碼有一部分將成為陪葬。一個數(shù)學猜想與為數(shù)如此眾多的數(shù)學命題有著密切關聯(lián)，這是極為罕有的。 式中的Γ函數(shù)Γ(s)是階乘函數(shù)在復平面上的推廣， 對于正整數(shù) s>1：Γ(s) = (s-1)!。可以證明，這一積分表達式除了在s=1處有一個簡單極點外在整個復平面上解析。這就是黎曼ζ 函數(shù)的完整定義。 由此，黎曼猜想，黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點都位于復平面上 Re(s)=1/2的直線上，也即方程ζ(s)=0的解的實部都是1/2。 在對黎曼猜想的研究中，數(shù)學家們把復平面上Re(s)=1/2的直線稱為臨界線(critical line)。如此一來，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點都位于臨界線上。 在黎曼猜想中，非平凡零點的實部都等于1/2，這是一個讓人很意外的結果。不過，從黎曼發(fā)現(xiàn)的一個簡單對稱關系中視乎能看出為什么會出現(xiàn)1/2：因為1-s = s，所以s = 1/2。 |
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