潘天群

摘要：世界中的事物在時間維度上遞歸地呈現(xiàn)，因而事物任一新的狀態(tài)均由前驅(qū)狀態(tài)在與環(huán)境的交互中生成而來；事物在前后相繼的變化中保持著同一性，一個事物是一個遞歸函數(shù)，在環(huán)境的作用遞歸地生成它的獨特性。事物的遞歸動力來自于事物內(nèi)部。世界的遞歸性對應(yīng)著離散的世界觀。辯證法是對事物遞歸性發(fā)展進(jìn)行描述的概念體系：事物的遞歸所產(chǎn)生的前后差異即是辯證法中的否定，正反合的辯證思維則是一個遞歸性的思維算法。

關(guān)鍵詞：遞歸性；辯證法；規(guī)則；否定性；離散性

我們周遭的世界由事物構(gòu)成，這些事物也是我們的思維對象。事物的當(dāng)下狀態(tài)是該物先前狀態(tài)的新的呈現(xiàn)，而當(dāng)下狀態(tài)又在以一定的方式構(gòu)建它的未來，即事物均以“遞歸”（recur-sive）的方式在世界中展現(xiàn)。個體的人亦復(fù)如是：在與世界的交往中個體的人過往的交往方式構(gòu)成新的交往的基礎(chǔ)，而每一次新的交往又為個體更新的交往積累經(jīng)驗。然而，不同于數(shù)學(xué)中的遞歸，事物通過不斷否定自己而實現(xiàn)整體性的遞歸性發(fā)展，這正是黑格爾的辯證法所要表明的。本文要探討的是世界的遞歸性（recursivity）以及它與辯證法的關(guān)聯(lián)。

一、事物的遞歸及其內(nèi)部動力

遞歸（recursion）是數(shù)學(xué)中以及邏輯學(xué)、計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域中的一個基本術(shù)語。簡單說來，如果一個計算過程，它的每一步計算都要調(diào)用前一步或前幾步給定的或者已經(jīng)計算出來的結(jié)果，那么這樣的計算便是遞歸的。遞歸函數(shù)是一個通過調(diào)用自己而被定義在自然數(shù)上的函數(shù)，如由（f 0）=1，（f 1）=1，（f n+2）=（f n）+（f n+1）確定的斐波那契數(shù)列，它的第三項及以后的每一項是前兩項相加而成①。在遞歸函數(shù)中函數(shù)自身被不斷調(diào)用而生成新的函數(shù)值，因而遞歸機(jī)制是一個遞進(jìn)（progressive）機(jī)制，即新的數(shù)由遞歸規(guī)則被遞進(jìn)地生成。這里不關(guān)心數(shù)學(xué)中的遞歸，而關(guān)心時間與空間中的事物的遞歸性：事物后續(xù)狀態(tài)遵循一定的規(guī)則由前面的狀態(tài)“發(fā)展”或者遞進(jìn)地生成而來。

任何事物都是有限之物，即都有一個與之交互的環(huán)境，因而每個事物的遞歸是在它所在的環(huán)境中進(jìn)行的。于是，事物的遞歸可以這樣形式地描述：某個事物 A，A所處的環(huán)境變量 E（E是外部變量），A的狀態(tài)變量X在不同階段展現(xiàn)為X0，X1，X2，…；其中X0為初始狀態(tài)。遞歸規(guī)則為 Xn+1=（f Xn，E），即 Xn+1由先前狀態(tài) Xn與 E共同確定。這樣，事物的遞歸性可以表示成一個由初始狀態(tài)、第n階段的狀態(tài)和遞歸規(guī)則的三元組：（X0，Xn，Xn+1=（f Xn，E）），即一個特定事物的遞歸函數(shù)為（X0，Xn，Xn+1=（f Xn，E））②。

物的遞歸函數(shù)（X0，Xn，Xn+1=（f Xn，E））刻畫了這樣的情況，事物面臨著開放的環(huán)境，它的任一時刻的狀態(tài)部分地依賴于自身的先前狀態(tài)，部分地依賴于外部環(huán)境，即事物的狀態(tài)由事物本身與環(huán)境共同決定。我們可以用計算機(jī)來仿真不同類型的環(huán)境變量作為輸入?yún)?shù)的事物的遞歸狀態(tài)。

有三點需要說明：第一，物的遞歸函數(shù)的某個函數(shù)值是事物的某個整體性狀態(tài)，這個狀態(tài)包括事物呈現(xiàn)的形狀、性質(zhì)以及事物所含的物質(zhì)數(shù)量等。第二，同類事物可以看成是在環(huán)境變量給定的情況下遞歸規(guī)則Xn+1=（f Xn，E）相同，而初始值的不同使同類事物產(chǎn)生出差異性，而不同類事物則可以看成是遞歸規(guī)則不同。第三，若上述遞歸函數(shù)中E為常量C，即環(huán)境不再是一個影響事物的變量，則它退化成（X0，Xn，Xn+1=（f Xn，C）），該事物的未來狀態(tài)由初始狀態(tài)唯一地確定，這種遞歸便退化成了數(shù)學(xué)中的遞歸。

讀者可能注意到，物的遞歸函數(shù)中沒有時間變量，而只有前后相繼的不同狀態(tài)。萬物在遞歸中沒有統(tǒng)一的自然數(shù)可以依賴，更沒有連續(xù)性的時間作為隱藏的變量控制著不同的事物的發(fā)展進(jìn)程,不同事物的遞歸有自己的“遞歸節(jié)奏”。時間是我們加于世界的先驗形式，通過時間萬物的變化次序能夠得到理解。

世界中的萬物其遞歸性是顯然的。占據(jù)著時間與空間的事物在任一時刻的任一具體呈現(xiàn)內(nèi)含了它的過往，同時又在構(gòu)建每個事物自己的未來。在這個過程中每個事物在時間中體現(xiàn)了前后相繼性與差異性，但是每個事物又保持著自身的同一性。我們兩次踏進(jìn)的是同一條河流，因為第二次踏進(jìn)的河流是上次河流的延續(xù)；但我們又懷疑我們踏進(jìn)的是否是同一條河流，因為河流在變化之中。

事物的整體性以及整體性的穩(wěn)定性使得事物的某些性質(zhì)存在延續(xù)性，從而一個事物有別于其他事物，這就是說事物在變化中保持“同一性”。到達(dá)終點的忒休斯之船，而不是由神靈將那些在海中被船員丟棄的船的組件拼湊起來的那條“可能的船”，被認(rèn)為與出發(fā)時的船是

① 自Cristopher Moore（1996），人們開始探索基于實數(shù)上的遞歸函數(shù)類及其理論基礎(chǔ)，其中微分遞歸操作數(shù)被提出，如Manuel Campagnolo（2002）、José Félix Costa（2009）等人的工作。這里所討論的遞歸還是傳統(tǒng)上的，即遞歸是基于可數(shù)無窮的自然數(shù)之上的。

② 在多個事物構(gòu)成的系統(tǒng)中事物間存在“相互調(diào)用”從而構(gòu)成復(fù)雜的遞歸，此時這個系統(tǒng)中的某個特定事物在某個時刻的狀態(tài)，依賴于上一狀態(tài)的自己及系統(tǒng)內(nèi)其他事物的狀態(tài)。本文僅考慮作為整體的單個物的遞歸。

“同一條船”，因為被修理的船在每一變化中都維持著作為船的本性；而假若中途神靈給忒休斯一模一樣的新船，而把忒休斯及其他希臘勇士中途換下來的船用海浪帶到終點，則我們不能說忒休斯的新船為原來的船。事物整體性質(zhì)的穩(wěn)定性或者延續(xù)性使事物成為自身，而不是亞里斯多德所說的本質(zhì)屬性。

事物在其發(fā)展過程中保持“同一”，不是說它的物質(zhì)構(gòu)成及其數(shù)量或者性質(zhì)保持不變。事物無時無刻都在與環(huán)境中的其他物質(zhì)發(fā)生物質(zhì)、能量與信息的交互直至死亡。然而，在事物發(fā)展中存在“同一機(jī)制”——事物在發(fā)展中努力成為自身而抵抗破解，這可以看成是事物的“同一律”。在邏輯學(xué)中同一律、不矛盾律和排中律被認(rèn)為是“思維三律”。邏輯學(xué)家通過挑戰(zhàn)或者修改不矛盾律及排中律而發(fā)展出新的邏輯，前者如次協(xié)調(diào)邏輯，后者如多值邏輯。然而，同一律，即A是A，是難以被挑戰(zhàn)的，因為若在思維中同一性不被遵守，A變成非A，我們的思維會發(fā)生混亂而無法進(jìn)行進(jìn)一步言說。因而，思維保持同一性是一個基本要求。而在實在層次上，同一性可以看成是一個形而上學(xué)預(yù)設(shè)。例如，生物能夠從環(huán)境中識別自身與環(huán)境并有延續(xù)自身的一個機(jī)制。

在遞歸中事物整體地參與到該事物的未來構(gòu)建，而沒有任何一個部分游離于遞歸進(jìn)程之外。這是事物遞歸中的全體參與性。全體參與性即整體性。任何一個事物的部分是整體中的部分，而整體又離不開其各個部分。春天來臨，樹木的嫩芽長成樹葉，它們進(jìn)行著光合作用，而光合作用生成的營養(yǎng)提供給整個樹木。在事物整體性遞歸中，事物的前后變化中某些性質(zhì)被繼承，一些新的性質(zhì)會產(chǎn)生；盡管如此，它們是同一個事物。一棵小樹，經(jīng)過春天和夏天的成長，在秋天高大了許多；然而，我們?nèi)哉f它與春天的樹木是同一棵，因為該樹木是整體性地向前發(fā)展的。

遞歸是事物繼承與變化的外在表現(xiàn)，而發(fā)生遞歸的動力則在其內(nèi)部。這里要區(qū)分兩種規(guī)則：一是事物狀態(tài)的外在的遞歸規(guī)則，二是事物內(nèi)在的“行動規(guī)則”。事物狀態(tài)的遞歸規(guī)則是事物變化的外在表現(xiàn)，它不是變化的內(nèi)在動力；使事物發(fā)生變化的內(nèi)在動力是事物內(nèi)部的“行動規(guī)則”，這里的行動不表示事物具有像人那樣的意向性，而僅指事物針對外部環(huán)境的不同的變化而做出的不同反應(yīng)。兔子群體數(shù)量變化服從某種遞歸規(guī)則，但之所以有這樣的遞歸性是因為兔子身體內(nèi)部的如發(fā)情、生育等的生物動力等規(guī)則性的生物因素。我們往往從事物內(nèi)部的行動規(guī)則來理解其外在的遞歸性，科學(xué)家正是這么做的。

事物的行動規(guī)則是事物本身操作自身及外部事件的行動指令，這些行動指令是內(nèi)在于事物本身、與事物的物質(zhì)構(gòu)成有關(guān)?；睒浜蜕浞N子胚胎在同樣的土壤中和同樣的氣候條件下，長成不一樣的樣子，因為胚胎中潛藏的信息規(guī)定它們按照既定的方式發(fā)展“自己”。種子胚胎中內(nèi)在信息便是規(guī)則，這樣的內(nèi)在信息或者規(guī)則在它們的生命母體即上一棵樹中完成了這樣的信息編制。宇宙中的萬物無例外地會隨著時間而消亡，而生命體不過是能夠?qū)⒆约旱慕Y(jié)構(gòu)信息保存下來并進(jìn)行復(fù)制以抵抗自身的消亡，但從更大時間尺度來說，這種復(fù)制本身也會走向消亡。談?wù)撌挛锏男袆右?guī)則意味著賦予自然界的事物以一定的主體性，或者說事物都被看成預(yù)先設(shè)置了主動應(yīng)對環(huán)境的“程序”。這里的看法是計算主義的。

自然物內(nèi)在地?fù)碛袑Ρ旧砦镔|(zhì)的性質(zhì)及針對外部事件刺激下的各種操作規(guī)則，這些規(guī)則表現(xiàn)為事物在空間上和時間上的延展規(guī)則，因而，任何一個事物內(nèi)含的決定事物變化的行動規(guī)則是一個集合，即一個事物內(nèi)含一個行動“規(guī)則系統(tǒng)”。某種樹木的樹干、樹枝及樹葉分別以特定的形狀生長且相互連接，在時間上它們以某種順序自我成長同時相互支持；而它們在環(huán)境中遇到雨水、陽光和風(fēng)沙等不同的狀況，它們有不同的操作規(guī)則。

然而，事物的行動規(guī)則系統(tǒng)是“不完全的”。完全性（completeness）是邏輯學(xué)中的一個基本概念。一個形式系統(tǒng)是完全的，如果其所有的語義有效式能夠被語法地證明。這里，我們把邏輯學(xué)中的完全性概念做一個拓展：如果一個規(guī)則系統(tǒng)對其所處的環(huán)境下與它有關(guān)聯(lián)的所有可能出現(xiàn)的狀況都能夠有一個“有效應(yīng)對”，那么它就是完全的。在計算機(jī)程序設(shè)計中一個程序，相對于其目標(biāo)，應(yīng)當(dāng)被設(shè)計能夠處理所有可能出現(xiàn)的情況，否則這樣的程序是不完全的，或者至少有漏洞的（bug）。由于內(nèi)嵌式程序運(yùn)行的環(huán)境是人工的，完全性是程序設(shè)計的最低要求。由于環(huán)境是開放的，世界中的事物內(nèi)部的有限數(shù)量的規(guī)則系統(tǒng)不可能是完全的。對于任何事物，隨時有“意外”發(fā)生。“意外”不一定意味著“死亡”，但當(dāng)事物內(nèi)含的規(guī)則無法應(yīng)對某種“意外”的時候，事物將不能為其所是，其“死亡”便來臨?！八劳觥笔鞘澜缛f物的共同命運(yùn)，這也表明萬物內(nèi)含的行動規(guī)則都是不完全的。

事物內(nèi)部的行動規(guī)則構(gòu)成事物變化的內(nèi)部動力。本文談?wù)撌挛锏男袆右?guī)則而不談?wù)撘?guī)律，不是說事物的變化中沒有規(guī)律。一個植物就像一個工廠，綠葉遇到光能的作用時它內(nèi)部的葉綠素執(zhí)行一系列相應(yīng)的操作，將植物中的水和空氣中的二氧化碳轉(zhuǎn)變成糖類和氧氣，這是植物在為自身的“生存目的”而執(zhí)行的一系列指令，而其中的能量轉(zhuǎn)化與守恒、各種元素之間的作用關(guān)系等則是規(guī)律。因此，規(guī)律是宇宙中普遍的或者基本的運(yùn)行法則，而規(guī)則是個性化的事物“利用”規(guī)律使自己成為自己的行動指令?？茖W(xué)家不僅僅要研究宇宙中物質(zhì)的規(guī)律，也要研究各個事物運(yùn)行的內(nèi)在行動規(guī)則。

上面分析的是事物的內(nèi)部的行動規(guī)則，它們的外在表現(xiàn)便是由遞歸規(guī)則 Xn+1=（f Xn，E）刻畫的遞歸性。事物的遞歸性表現(xiàn)在事物的多個方面上，數(shù)學(xué)對事物的量和形的遞歸都有刻畫。曼德勃羅（B. Mandelbrot）創(chuàng)立的分形（fractal）理論或者分形幾何，關(guān)心的是“形的遞歸”：在形的遞歸中“形的遞歸規(guī)則”生成了部分和整體的自相似的幾何形狀。數(shù)的遞歸能夠刻畫事物狀態(tài)量的遞歸性，而分形幾何能夠刻畫事物形狀的遞歸性。而在設(shè)計方法論中，曾勇和程耿東給出了人類設(shè)計中的遞歸推理特征，他們認(rèn)為，每一步設(shè)計方案是下一步更加完美的設(shè)計方案的基礎(chǔ)，一個完善的方案在遞歸中完成①。若我們把設(shè)計者內(nèi)化為設(shè)計之中——這是完全可以想象的，設(shè)計者便成為一個設(shè)計智慧體。給出設(shè)計方案便是該類智能體的唯一行為，這樣的行為是遞歸的，而使設(shè)計智能體產(chǎn)生遞歸性的是智能體的關(guān)于設(shè)計的學(xué)習(xí)機(jī)制。

有兩個特殊的遞歸規(guī)則。第一種，某個事物在某個狀態(tài)以后，其后續(xù)狀態(tài)保持“不變”，即事物保持為“常態(tài)”?！俺B(tài)”是遞歸的平庸態(tài)或者不足道態(tài)（triviality）。我們用C表示這種“常態(tài)”或者“平庸態(tài)”。用函數(shù)表示為（Xk=C，Xk+1=Xk）：從k狀態(tài)開始后的每一個狀態(tài)都是常態(tài)C。處于這樣的遞歸態(tài)中的事物，變化消失了，事物自身所含的變化或者發(fā)展的力量便是事物自身的否定性，處于平庸態(tài)的事物其否定性徹底喪失了。這樣的“事物”若從開始便是這樣的狀態(tài)，我們說，它可能只是

①Zeng Yong,Cheng G.D.,“On the Logic of Design”,

Design Studies,1991,No.12, pp.137-141.8

一個暫時的集合體，而不能稱為“一個事物”。變化是事物的本性，一個事物蛻變?yōu)槌B(tài)，表明它失去了“變化”，此時它便喪失了作為一個事物的本性。平庸態(tài)的事物只存在于理念（包括數(shù)學(xué)中）世界中，而現(xiàn)實世界中的萬物都處于變化之中。

第二種，某個事物在某個狀態(tài)后其后續(xù)狀態(tài)為“無”，即事物作為它自己被徹底終止，而成

為“空無”。這是事物的“空無態(tài)”，我們用 Φ 表示這種“空無態(tài)”。用遞歸函數(shù)表示即為（Xk=Φ，Xk+1=Xk）：從 k 階段開始，事物便為空無態(tài)。事物達(dá)到空無態(tài)時事物自身招致最大的否定性。世界中的萬物是有限的，這個有限性不僅在空間的占據(jù)上是有限的，在時間的占據(jù)上也是有限的，即事物最終都走向空無態(tài)?？諢o的后續(xù)狀態(tài)還是空無，從這個意義上說，這種“無”的特殊狀態(tài)是第一種的特例。

“平庸”和“空無”是兩種特殊的遞歸狀態(tài)，事物的遞歸往往介于它們之間。遞歸是自然物（包括作為個體的人本身以及人類社會）的自然屬性，這個自然屬性在事物的歷史進(jìn)程中得以體現(xiàn)。

要說明的是，前面已經(jīng)表明遞歸中操作是“遞進(jìn)地”被執(zhí)行著，或者潛在地被執(zhí)行著，初始值或者前面的執(zhí)行結(jié)果通過規(guī)則生成新的值，遞歸性即遞進(jìn)性（progression）。從前面斐波那契數(shù)列的簡單例子中就可以看到這點。這里要說明的是，之所以我們稱之為遞歸或者調(diào)用自身，是因為在我們心中有“規(guī)則優(yōu)先”這種理念：規(guī)則在先且被給定，它通過不斷地“后退調(diào)用”已知的或者已經(jīng)計算得到的實體（數(shù)值或者事物）而生成新的實體。而如果我們以“實體優(yōu)先”理解遞歸，那么，新的實體能夠在給定的初始的實體通過規(guī)則不斷地“向前遞進(jìn)”地生成。這樣，遞歸可以理解成規(guī)則給定下的“后退”（backward）尋找且運(yùn)算“自己（實體）”，而遞進(jìn)則是實體給定下通過規(guī)則“向前”（forward）不斷地生成自己。

二、離散性的世界觀

事物的遞歸性表明，事物根據(jù)內(nèi)含的規(guī)則針對外部環(huán)境中的事件的發(fā)生而計算并行動著，這意味著事物的變化是離散的。因而，與事物遞歸性發(fā)展相應(yīng)的世界觀是離散性的世界觀。這里的離散性是指事物的外部環(huán)境是離散地變化的，事物相對于環(huán)境的變化也是離散的。

連續(xù)性或離散性概念描述的是兩個量變化之間的關(guān)系。某個量 x的變化相對于另外的某個量α的某個區(qū)間上是連續(xù)的，如果在該區(qū)間中的任一個地方當(dāng)α的變化趨于0時x的變化量也趨近于0。我們慣常的變化往往被理解為某個量相對于時間上的變化，這樣的變化可以是事物整體位置相對于時間的變化，事物的整體或者其部分形狀相對于時間的變化。我們預(yù)設(shè)了時間在連續(xù)地向前流逝。然而，我們見到的不是具體的時間，而只是各種發(fā)生的事件，而每個事物面對環(huán)境中的事件執(zhí)行著某個程序，這種變化是非連續(xù)的。常溫下的種子維持著活力，遇到雨水發(fā)芽，遇到高溫則失去成長的能力……它的體內(nèi)擁有的行動規(guī)則根據(jù)外部環(huán)境中的不同事件進(jìn)行不同的操作。我們往往因無法分辨那種跳躍性，而猜測事物是連續(xù)的。

由于數(shù)學(xué)與近代科學(xué)的發(fā)展，“世界是連續(xù)的”成了我們的信念并且已經(jīng)教條化。牛頓的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》不僅開啟了用數(shù)學(xué)研究物理世界規(guī)律的方法，而且給我們提供了連續(xù)性的世界觀。近代數(shù)學(xué)與物理學(xué)在世界連續(xù)性信念上是相互支持的。在數(shù)學(xué)教科書中我們學(xué)了許多連續(xù)函數(shù)以及它們的性質(zhì)，我們熟知且習(xí)慣于它們。微積分中能夠微分的一定是連續(xù)的，而在某個區(qū)間某個函數(shù)除了有限個點或者最多可數(shù)無窮個點處不連續(xù)外其余地方要連續(xù)，它才能夠可積（黎曼積分）。非連續(xù)函數(shù)，它們的性質(zhì)被認(rèn)為怪異，處理起來麻煩，而不被我們喜歡。在物理學(xué)中，我們用微分方程表達(dá)物理系統(tǒng)的狀態(tài)及其動力學(xué)性質(zhì)，以至于拉普拉斯說，如果我們知道某個系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及該系統(tǒng)的規(guī)律，則我們能夠知道它未來任何時刻的狀態(tài)。

連續(xù)性信念在我們認(rèn)識世界中作用巨大，然而，它并非真理。微觀物理學(xué)告訴我們微觀世界中粒子及其變化是非連續(xù)的：粒子的衰變是釋放一個個微小粒子（如α粒子）進(jìn)行的，原子核外電子通過層級躍遷而釋放或吸收普朗克常數(shù)的整數(shù)倍的能量，等等。而分形理論告訴我們，實際上事物的形狀不是連續(xù)的，而是離散的，比如海岸線，分形幾何被認(rèn)為是大自然的幾何。

事物的發(fā)展是離散的還是連續(xù)的，往往取決于我們的心中的預(yù)設(shè)。一窩兔子中兔子的數(shù)量在指數(shù)增長，該兔子群體是遞歸性的，也是離散的：任何一個時段的兔子數(shù)量是下一個時段的兔子數(shù)量的基礎(chǔ)。如果我們把兔子數(shù)量看成一個總體，那么這個總體是離散地變化的。我們不愿意把一窩兔子看成是一個整體，因為我們知道一窩兔子只是一個個兔子的集合，沒有一個性質(zhì)能夠作為本質(zhì)而將這窩兔子?xùn)|西與其他東西區(qū)別開來。然而，假若我們根本無法識別個別的兔子，而將一堆兔子看成一個整體——這是完全可能的，此時兔子的整體便是在離散地增長與變化。事實上我們觀察微生物或者未知世界的“某個對象”時，我們就是這么做的。

如果世界的變化是連續(xù)的，那么我們要找的便是這樣的以連續(xù)函數(shù)所表示的規(guī)律，在這方面我們做得已經(jīng)很成功了。而如果世界的變化是離散的，那么，為了認(rèn)識事物的遞歸性，我們需要做的便是尋找事物內(nèi)部的行動規(guī)則——根據(jù)環(huán)境而做出應(yīng)對的行動指令。事物或者事物的部分可假定保持不變，除非遇到外部的觸發(fā)事件。事物的變化可以看成是其內(nèi)部的行動指令對外部的事件的“應(yīng)對”。而由于外部事件或者發(fā)生或者不發(fā)生，因此事物的變化是離散的。

離散的世界觀是非決定論的。事物的變化是事物質(zhì)料參與的遞歸，質(zhì)料本身的慣性使事物在發(fā)展中保持著“持續(xù)性”。一只雞的可能的體型、重量等依賴于環(huán)境，而無論在何種環(huán)境下它不可能長成雞之外的其他形狀的動物。但是，事物某個時刻的狀態(tài)與規(guī)則影響或者構(gòu)建事物后續(xù)的狀態(tài)，但這不等于說，它是完全被決定了的。數(shù)學(xué)中我們所討論的遞歸函數(shù)是被遞歸規(guī)則及初始函數(shù)值所完全決定。而世界中的事物其環(huán)境是開放的，因而事物在某個時刻遇到某個外部事件是偶然的，事物在任何時刻的狀態(tài)是偶然的。我們無法將事物的遞歸函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闀r間上的連續(xù)的、能夠唯一地確定事物未來任意時刻的狀態(tài)的函數(shù)，除非環(huán)境變量是在先被給定的。設(shè)想基因等各方面完全一樣的兩個新生嬰兒，他們在不同的環(huán)境中成長，經(jīng)過足夠長的時間，無論是長相還是行為方式可能會變得顯著不同，原因在于環(huán)境中的變量會影響到孩子的每一步成長，而每一步的些微差異又影響到下一步的變化。這就是說環(huán)境使得事物呈現(xiàn)偶然性與獨特性。這正如許煜（Hui Yuk）說：“遞歸性不僅是機(jī)制的重復(fù)；它由回到自身以便決定自身的環(huán)形運(yùn)動所刻畫，而每個運(yùn)動都是向偶然性開放的，這因而決定了它的獨特性?！雹?/span>

需要說明的是，即使環(huán)境變量能夠被預(yù)先給定，在已知事物的遞歸規(guī)則情況下，我們也無法預(yù)先計算出事物的未來狀態(tài)，正如非線性（復(fù)雜性）科學(xué)告訴我們的迭代運(yùn)算高度依賴于初始值；在有些情況下迭代運(yùn)算對初始值高度敏感，而出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。遞歸盡管不同于迭代，每次遞歸都是事物本身的一次展現(xiàn)，但事物的遞歸是否會出現(xiàn)混沌則是一個需要我們進(jìn)一步分析的話題。

三、辯證法：刻畫事物遞歸性的本體論和作為遞歸性算法的思維方法

哲學(xué)家們希望用盡量少的概念構(gòu)建普遍性的理論以解釋世界，黑格爾的辯證法便是這樣的理論。黑格爾的辯證法既是本體論又是認(rèn)識論：作為本體論，辯證法認(rèn)為，事物中矛盾推動事物不斷否定自己；而作為認(rèn)識論，我們根據(jù)正反合這樣的辯證思維對事物的認(rèn)識越來越深化。

作為本體論，黑格爾說：“持續(xù)性辯證法是現(xiàn)實世界中一切運(yùn)動、一切生命，一切事業(yè)的推動原則……舉凡環(huán)繞著我們的一切事物，都可以認(rèn)作辯證法的例證。”②在黑格爾那里，辯證法的對象是有限物。“凡有限之物，莫不揚(yáng)棄自身。”③無限之物不在時空之中、沒有邊界，它們是我們所無法思維與敘說的。他說：“有限物作為某物，并不是與別物毫不相干地對峙著，而是潛在地就是它自己的別物，因而引起自身的變化?！雹苁挛锉晃覀兯季S，在我們的思維中它們被我們識別并被區(qū)別于其他事物。事物區(qū)別于其他事物，這個區(qū)別不僅僅指某個時刻它所擁有的各個組成以及關(guān)系，而且包括操縱這些組成及關(guān)系的規(guī)則與力量。這種區(qū)別可以說是事物本質(zhì)上的區(qū)別。這樣的事物在時間與空間中產(chǎn)生，在時空中生成與變化，同時又消亡。

                        圖為黑格爾

黑格爾認(rèn)為是矛盾推動事物的發(fā)展。黑格爾說：“凡有限之物都是自相矛盾的，并且自相矛盾而自己揚(yáng)棄自己?！雹葑兓c發(fā)展便是黑格爾所說的否定性，事物的否定便是事物蘊(yùn)藏這使自己改變當(dāng)下狀態(tài)的力量。黑格爾說：“花朵開放的時候花蕾消逝，人們會說花蕾是被花朵否定了的。”⑥在很多人看來矛盾是不能客觀地存在的，因而說矛盾推動事物的否定性，是荒唐的，這也是許多人反對黑格爾的原因。推動事物發(fā)展的或者使事物產(chǎn)生與當(dāng)下狀態(tài)不同的不是矛盾——事實上矛盾是不能存在的，而是事物本身內(nèi)部的規(guī)則（規(guī)律），即否定性——事物的不同狀態(tài)——是結(jié)果，不是原因?；ɡ倥c花朵是花的前后相繼的兩種不同狀態(tài)，是花及支撐花的整個植物的內(nèi)部的力量使得花蕾變成了花朵，說花朵讓花蕾不再是花蕾是錯誤地將結(jié)果看作了原因。

黑格爾的辯證法中含有遞歸性，因為辯證法強(qiáng)調(diào)事物的繼承與發(fā)展。同時這里的遞歸性

①Yuk Hui, Recuisivity and Contingency, London: Rowman & Littlefield International Ltd., 2019, p.4.

② 黑格爾：《小邏輯》，賀麟譯，北京：商務(wù)印書館1997年版，第177-179頁。

③ 黑格爾：《小邏輯》，第176頁。

④ 黑格爾：《小邏輯》，第206頁。

⑤ 黑格爾：《小邏輯》，第177頁。

⑥ 黑格爾：《精神現(xiàn)象學(xué)》，賀麟、王玖譯，北京：商務(wù)印書館1979年版，第2頁。

含有辯證元素，因為事物從一個狀態(tài) X1轉(zhuǎn)變?yōu)榱硗庖粋€的狀態(tài) X2，無論是 X1還是 X2，我們都說它是該事物的具體呈現(xiàn)。從 X1到 X2的這樣的轉(zhuǎn)變便是 A 自身否定性的體現(xiàn)，通過這種否定 A 得以發(fā)展或者變化。在這樣的過程中，事物的自我否定性體現(xiàn)在該事物在時間上的不同，但同時保持著自身的同一性。對之，許煜說：“遞歸既是結(jié)構(gòu)的又是操作上的，存在與生成的對立通過遞歸被揚(yáng)棄。揚(yáng)棄保持了這種對立（正題與反題）因而也提升它們到一個第三者（合題）?！雹?/p>

圖為《小邏輯》

在黑格爾那里，理性與實在是同一的，因而在黑格爾那里辯證法既是思維的規(guī)律又是實在的規(guī)律。我們的理性通過自身的力量達(dá)到對事物的最終真理的認(rèn)識，此時辯證法可以被理解為理性思維的方法。理性執(zhí)行著辯證思維，這是可理解的，而將理性看成是事物的否定性的推動力量則是錯誤的——推動事物發(fā)展的不是理性的力量，而應(yīng)當(dāng)是事物自身的規(guī)律（規(guī)則）。下面我們來看辯證法作為思維的規(guī)律的遞歸性。

辯證法的結(jié)構(gòu)是，從正題到反題，到合題——新的正題，新的反題……我們對事物的認(rèn)識中任何一個階段的認(rèn)識——正題還是反題抑或其合題——都是對事物的認(rèn)識，而任何一個都是不完滿的；要達(dá)到對事物終結(jié)真理的認(rèn)識，需要一個無限的辯證過程。黑格爾的辯證法就是一個思維的遞歸性算法。

我們引進(jìn)“否定”和“綜合”為兩個操作算子：“否定”是一元運(yùn)算元，其運(yùn)算對象是正題，而“綜合”是二元操作數(shù)，它的運(yùn)算對象是正題與反題。假定初始的正題是 f0，f0的反題便是 f0-，由 f0和 f0-的“合題”為 f（1 f0，f0-），相應(yīng)地，f1（f0，f0-）的反題為 f1（ f0，f0-）-，簡寫為 f1-。一般地，對于第 n個階段的正題fn和其反題fn-，其合題為fn+（1 fn，fn-）。辯證法便是這樣一個遞歸過程：

在辯證過程中，給定初始正題f0，遞歸便能夠進(jìn)行了：給定的初始正題f0，它的反題通過正題的否定而產(chǎn)生 f0-，而合題 f1（f0，f0-）是通過對 f0，f0-的“綜合”而產(chǎn)生。辯證法的遞歸性公式可以表示成一個四元組的遞歸函數(shù)：

通過遞歸，新的正反合三元素便不斷地產(chǎn)生。

對于上面將辯證法刻畫成遞歸性算法，有三點需要說明。

第一，構(gòu)成反題的正題上的否定不是形式邏輯意義上的否定。（形式）邏輯中的否定是對命題（proposition）真值的否定。若命題被規(guī)定是二值的，一個命題的否定能夠自動地得到另外一個值；一個命題和其否定是相互矛盾的，而一個命題的否定的否定其值與命題本身相同。而若命題是三值的，則對一個命題值的否定所得到的值可能是另外兩個值中的一個，因而在三值邏輯中存在“循環(huán)否定”（Kleene 否定）和“直接否定”（盧卡希維茨否定）之分，雙重直接否定 --A 是與 A 同值，而雙重循環(huán)否定~~A 不能得到 A。在思維規(guī)律層次上的辯證法其反題（antithesis）中的否定指的是，反題與正題（thesis）的“不同”。此時，對正題的否定不能邏輯地得到其反題。同時，對正題的“否定的否定”也不能得到正題的肯定，因為與正題“不同”的“不同”不

① Yuk Hui, Recuisivity and Contingency, pp.4-5.

是與正題“相同”，而可能是與正題另外的“不同”。從這個意義上，我們無法進(jìn)行辯證推理。

辯證法在本體論上所說的否定，指的是同一個事物的變化，而無論是否定、還是否定之否定，事物還是同一個事物；這就是為什么黑格爾說事物的否定之否定是揚(yáng)棄——揚(yáng)棄是同一個事物的自身的不斷發(fā)展。

第二，合題（synthesis）不是正題和反題的合取。一個正題 fn和它的反題 fn-的合題 fn+（1 fn，fn-）是綜合，而不是形式邏輯意義上的合取，因而，合題同樣不能從正題與反題中邏輯地得到，任一合題 fn+1（fn，fn-）也自然不是（邏輯）矛盾。在辯證思維中合題吸取了正題和反題的“部分真理內(nèi)容”，而實際的事物狀態(tài)中后續(xù)狀態(tài)體現(xiàn)了原來狀態(tài)的繼承同時有新的變化。因而在合題 fn+1（fn，fn-）中有足夠的空間容納正題和反題，不同的人能夠創(chuàng)造性地得到不同的合題。即使正題與反題從形式上是“不同的”，其合題是更高層次的綜合，而不是矛盾。國內(nèi)國外學(xué)者試圖通過對經(jīng)典邏輯的修正給出次協(xié)調(diào)邏輯, 如達(dá)·科斯塔、普利斯特等人的形式化工作。他們通過對否定詞的改造，在系統(tǒng)中允許有意義的“矛盾”，這種做法確實豐富了邏輯學(xué)研究，尤其是辯證邏輯的研究，這一點正如桂起權(quán)等所認(rèn)為：“次協(xié)調(diào)邏輯為辯證邏輯的形式化提供了比較現(xiàn)實并且極有希望的新途徑?！雹龠@些學(xué)者同時給矛盾以本體論解釋，如普利斯特所做的那樣②。然而，這些工作只是黑格爾意義上的辯證邏輯的初步探索，因為“綜合”是有豐富內(nèi)容的思維過程，而不是普利斯特的簡單的“雙真命題”所能夠刻畫的。

這里，每一階段的正題可以看作是對事物的“局部認(rèn)識”，而反題是在正題基礎(chǔ)上與正題不同的認(rèn)識，因而是對正題的“否定”。反題也是對事物的局部認(rèn)識，也是關(guān)于事物的部分真理。這樣，合題中的真理性比正題、反題的真理性“要多”。通過不斷的正反合，主體對事物的認(rèn)識走向最終的真理。波普爾（Karl Popper）反對辯證法，但是在認(rèn)識論上波普爾至少承認(rèn)辯證法的詮釋性作用的：“必須承認(rèn)，對思想史的這樣一種辯證詮釋有時可能是完全令人滿意的?！雹郛?dāng)然，波普爾強(qiáng)調(diào)試錯法，因為在他看來科學(xué)中最重要的是創(chuàng)新，因而他認(rèn)為試錯法比辯證法更好，“用試錯法做詮釋可以說比用辯證法做詮釋的范圍稍微廣泛一些。”④波普爾的猜想與反駁的也是一個思維算法，然而這個算法中只強(qiáng)調(diào)否定性而否認(rèn)繼承性。

第三，辯證法可以有多種形式，而不僅僅是

這樣的簡單三段式。對于任何一個正題，它能夠有多個反題，因而其合題不是簡單的正題與一個反題的綜合。比如對于正題f0，人們找到了f0的兩個反題f0-1，f0-2（當(dāng)然反題可能不止兩個），此時，在此基礎(chǔ)上的合題是對前三項的綜合f（1 f0，f0-1，f0-2）……因此，我們可以構(gòu)造多種遞歸形式的辯證法。

遞歸性體現(xiàn)在人類的思維及各種活動之中，思維活動中的遞歸性在一定意義上說就是繼承與發(fā)展。正反合辯證法是這樣一個遞歸性算法：當(dāng)有了正題之后，人們會考慮它的局限性，因而會考慮或者試圖給出與之不同的反題，而一旦有了正題與反題，人們自然會試圖

① 桂起權(quán)、陳自立、朱福喜：《次協(xié)調(diào)邏輯與人工智能》，武漢：武漢大學(xué)出版社2002年版，第111頁。

②Graham Priest,“Paraconsistency and Dialethe-ism”, Handbook of the History of Logic, 2007, Vol.8,  pp.129-204.

③ 波普爾：《猜想與反駁》，傅季重譯，上海：上海譯文出版社1990年版，第450頁。

④ 波普爾：《猜想與反駁》，第449頁。

對之進(jìn)行綜合。對于辯證思維，辯證法沒有告訴我們?nèi)绾谓o出初始的正題，它也沒有告訴我們?nèi)绾?/span>得到反題以及在有了反題之后如何進(jìn)行綜合。因而，辯證法可以用在解釋性的方法論，而不能用作指導(dǎo)性的或者預(yù)測性的方法論。

辯證法只是人類的“一種”思維算法，人類還有其他不同于辯證法的思維算法，如波普爾的證偽方法或者“試錯法”，以及拉卡托斯（Imre Lakatos）的科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論，這些思維算法或者具有遞歸性或者沒有遞歸性。哪種思維算法更好、更有助于我們認(rèn)識真理？這本身也是一個重大的認(rèn)識論問題。

四、結(jié)束語

本文提出事物的遞歸性并對之進(jìn)行了刻畫，同時分析了遞歸性與辯證法之間的融通。事物的遞歸性表明事物的變化中的繼承與發(fā)展。辯證法可以刻畫事物的這種遞歸性。辯證法中的否定性應(yīng)該理解成變化，而這種變化本身不能構(gòu)成推動事物的力量，它們是結(jié)果；事物本身的內(nèi)部規(guī)則遞歸性的使用是事物否定性產(chǎn)生的原因。

事物通過自身內(nèi)部的行動規(guī)則在環(huán)境中遞歸性地延展自身。這種遞歸性是對世界進(jìn)行科學(xué)研究的世界觀，同時也能夠是方法論：我們要確定不同事物的遞歸性特點并尋找內(nèi)部的行動規(guī)則。我們給出的世界的遞歸性的觀點，不是在提供一個絕對真理，只是嘗試地給出一個新的世界觀與方法論，希望這樣的觀點對我們進(jìn)一步認(rèn)識我們身處的世界有所幫助。

致謝：本文的觀點得益于與加拿大康科迪亞大學(xué)曾勇教授的討論，在此表示感謝。