這是一道非常復(fù)雜的中考數(shù)學(xué)壓軸題 ，由于題目過于復(fù)雜，廢話不多說，直接看題：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax^2-2ax-3a(a<0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l: y=kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C, 與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC.

(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；

(2)求直線l的函數(shù)表達(dá)式(其中k,b用含a的式子表示)；

(3)點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動點(diǎn),假設(shè)△ACE的面積的最大值為5/4, 求a的值；

(4)設(shè)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？假設(shè)能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假如不能，請說明理由.

解：(1)解方程ax^2-2ax-3a=0, 得x1=-1,x2=3,【有沒有人像老黃一樣，被這個(gè)a蒙了好一會兒，老覺得這個(gè)a未知，就不能得到A，B的橫坐標(biāo)。其實(shí)二次函數(shù)與常數(shù)的積，不改變零點(diǎn)的位置了，這可以當(dāng)做一個(gè)定理記起來哦?！?/p>

(x1+x2)/2=1,【這其實(shí)是中點(diǎn)的坐標(biāo)公式的應(yīng)用，第四小題還要派上大用場哦?！?/p>

∴A(-1,0), B(3,0), 拋物線的對稱軸為：x=1.

(2)將A(-1,0)代入y=kx+b得, -k+b=0, ∴b=k.

當(dāng)ax^2-2ax-3a=kx+k時(shí), ax^2-(2a+k)x-(3a+k)=0,【列函數(shù)相等，就是為了求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，或交點(diǎn)的情況，為了下一步服務(wù)】

設(shè)D(d,dk+k), 則-d=-(3a+k)/a, d=(3a+k)/a,【這是韋達(dá)公式x1x2=c/a的運(yùn)用,其中x1是A點(diǎn)的橫坐標(biāo)-1，x2是D點(diǎn)的橫坐標(biāo)】

由CD=4AC，有(3a+k)/a=4, k=a,【這個(gè)轉(zhuǎn)化很重要。其實(shí)是平行線截取線段成比例的基本事實(shí)的運(yùn)用】

∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a.

(3)過E作EH//y軸交AD于F,

設(shè)E(x,ax^2-2ax-3a), 則F(x,ax+a),

EF=ax^2-2ax-3a-ax-a=ax^2-3ax-4a,

S△ACE=S△AEF-S△CEF=(x+1)(ax^2-3ax-4a)/2-x(ax^2-3ax-4a)/2

=(ax^2-3ax-4a)/2=a(x-3/2)^2/2-25a/8, 【可見，當(dāng)x=3/2時(shí)，S△ACE=-25a/8最大】

∴-25a/8=5/4, a=-2/5.

(4)【注意了，第三小題的條件不能拿到第四小題來用，但第二小題卻可以，因?yàn)榈诙☆}其實(shí)并沒有新增條件】

由(2)可得D(4,5a), 設(shè)P(1,p),Q(q, aq^2-2aq-3a),

如圖(2),當(dāng)AD是邊時(shí), (4+q)/2=(-1+1)/2,解得q=-4, 【判斷平行四邊形，最好的辦法是根據(jù)對角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)中點(diǎn)相同，縱坐標(biāo)中點(diǎn)也相同，即對角線互相平分】

∴Q(-4,21a),

又p/2=(5a+21a)/2,∴p=26a.【上面一步是關(guān)于橫坐標(biāo)的，這一步是關(guān)于縱坐標(biāo)的。中點(diǎn)公式非常重要】

求得AQ的斜率為：21a/(-4+1)=-7a,【這是為了判斷平行四邊形有一個(gè)內(nèi)角是直角】

由-7a^2=-1, 得a=-根號7/7,【根據(jù)兩直線AD和AQ互相垂直，斜率的積等于-1】

∴P(1,-26根號7/7).

當(dāng)AD是對角線時(shí)，(-1+4)/2=(1+q)/2, 解得：q=2,∴Q(2,-3a).【又一次運(yùn)用中點(diǎn)公式，這是橫坐標(biāo)的情況】

又5a/2=(p-3a)/2,解得：p=8a,【這是縱坐標(biāo)中點(diǎn)公式的運(yùn)用】

AQ的斜率為：-3a/(2+1)=-a,

AP的斜率為：-8a/(-1-1)=4a,

由-4a^2=-1, 得a=-1/2,

∴P(1,-4)或(1,-26根號7/7).

題目完成之后，回過頭來看，似乎沒有那么復(fù)雜，但是完成之前，特別是在中考緊張的心情下，情況可就大不一樣了哦。況且這道題有四小題，比普通的壓軸題還要多一小題?？梢哉f，這樣的題目，要是能夠輕松解決的，中考數(shù)學(xué)都不會有什么問題，肯定能拿高分的。