|
本文可以當做有限元的小品文看，目的是對有限元理論進行小結。 1.一階三角形場函數(shù) 三角形單元因生成容易，計算簡單，容易加密，成為有限元分析中最常用的單元。 針對一階單元，即一個三角形有三個點。 對于任意一個三角形，假設三頂點坐標點為（x1, y1） (x2, y2) (x3, y3), 三點的場函數(shù)分別定義為點Fx1, Fy1, Fx2,Fy2, Fx3,Fy3 三角形內(nèi)任意一點的場函數(shù)可以表示為 Fx=a1+a2*x+a3*y Fy=b1+b2*x+b3*y 其中Fx為x方向的場函數(shù)，F(xiàn)y為y方向的場函數(shù)，a1, a2, a3, b1, ,b2, b3為常數(shù)項。 由于已知三點坐標，即在三點上也滿足上式。將三點的坐標帶入上式，可得6個方程。例： Fx1=a1+a2*x1+a3*y1 a1, a2, a3, b1, ,b2, b3共6個變量，6個方程，可以求出： a1=((x2*y3-x3*y2)*Fx1+(x3*y1-x1*y3)*Fx2+(x1*y2-x2*y1)*Fx3)/(2*A) b1=((x2*y3-x3*y2)*Fy1+(x3*y1-x1*y3)*Fy2+(x1*y2-x2*y1)*Fy3)/(2*A) 其中A=((x2*y3-x3*y2)+(x3*y1-x1*y3)+(x1*y2-x2*y1))/2 公式看起來比較繁瑣，這些轉換的目的只有一個：為了讓場函數(shù)能用 三角形的三個頂點的坐標來表示。 將求解出來的 a1,a2,a3,b1,b2,b3 帶入到 Fx=a1+a2*x+a3*y Fy=b1+b2*x+b3*y 中： 可以得到新的表達式： Fx=N1*Fx1+N2*Fx2+N3*Fx3 Fy=N1*Fy1+N2*Fy2+N3*Fy3 其中 N1=(x2*y3-x3*y2)+(y2-y3)*x+(x3-x2)*y 以此類推，詳細推導公式可以參考任意一本有限元書籍 總之最后的結果是： 三角形內(nèi)任意一點的場函數(shù)可以用 三個頂點的坐標，場函數(shù)，以及該任意點坐標表示，這樣一來，只要我們求出了頂點的場函數(shù)的值，就可以通過插值計算出三角形內(nèi)任意一點的場函數(shù)值。如果是矢量，需要兩個表達式，標量只要一個表達式。 2.偏微分方程概念 有限元方法的目的就是求解偏微分方程，利用有限元方法求解偏微分方程主要有兩種： 1. 變分原理的Ritz方法 2. 利用加權余值中的 伽遼金法（Galerkin weighted residual method） 一些基本概念 1.邊界： 第一類邊界,直接描述邊界上結果，用于已知邊界確切結果 比如邊界上外力 F = 10，溫度T=40 又叫 Dirichlet （狄利克雷）邊界 第二類邊界 不直接給出確切結果，用導數(shù)方式給出 又叫Neumann （諾伊曼/諾曼）邊界 第三類邊界可以看成是 第一類和第二類邊界的疊加 又叫Robin 邊界 2.常用標記：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_5701b67c0100x7fv.html 3. 不同物理場應用 平面力學問題： 場函數(shù)Fx，F(xiàn)y取為位移 由平面應變?yōu)槲灰茖ψ鴺说膶?shù) 即x方向應變 = Fx'/x y方向應變 = Fy'/y 可知 Fx=a2， Fy=b3 都為常數(shù)。所以一階三角形為常應變單元，即一個單元內(nèi)應變不發(fā)生變化，為了保證精度，所以在物體應變變化大的地方要加密網(wǎng)格。 彈性力學偏微分方程中的應力，應變通過變換也都可以用 場函數(shù)來表示，推導可參考有限元書（目前市面上關于有限元大都是力學方面的）。 由物體平衡時，物體整體勢能最小，將勢能函數(shù)取變分可得到2D靜力平面問題的矩陣表達式，表達式中包含了剛度矩陣，位移向量和節(jié)點荷載向量，根據(jù)整理的公式，就可以直接用代碼實現(xiàn)了。 平面熱傳遞： 因為溫度是標量，所以推導求解比力學問題要簡單，場函數(shù)定義為： F=a1+a2*x+a3*y 仍然可以利用前面的推導，得出任意一點場函數(shù)的表達式。 平面溫度場方程為：
以第一類邊界為例，帶入泛函計算，最后可得泛函表達式：
公式的推導參考 《有限單元法在傳熱學中的應用》 針對穩(wěn)態(tài)，第二項可以去掉。 平面電磁 場函數(shù)F取靜電勢/磁勢,電場/磁場 考慮如下二階微分方程：
利用變分建立該函數(shù)的泛函，將場函數(shù)帶入泛函，最后可推導出單個單元方程 [K]{F}-B=0 下一步和靜力學一樣，組裝成總體剛度矩陣，求解 在電磁計算中，使用三角面片網(wǎng)格會出現(xiàn)偽解的現(xiàn)象，而且由于是多種材料，在處理邊界時會比較困難，于是引入了矢量單元，將自由度賦在邊而不是節(jié)點上（edge element），具體參考《電磁場有限元方法》 平面聲學 場函數(shù)F 取聲壓 聲學中需要求解波動方程
右邊的P為聲壓。對于簡諧振動，可以改寫成 赫姆霍茲方程（Helmholtz） 得出該方程的泛函，也可以通過能量平衡原理導出泛函。取第一邊界條件，場函數(shù)帶入可求得 [K]*F=a[B] 之后可求得聲壓和頻率 平面流體 流體主要求解Navier-Stokes方程 理論上三角形單元是可以用來求解流體N-S方程的，實際上由流體的特點，有限元通常使用四邊形和六面體?？紤]到計算效率，目前CFD軟件用的最多的還是有限體積法。 對于三角形二階單元（每條邊上有一個點，一個單元共有6個點）以及高階，推導過程類似。工程上二階單元已經(jīng)能很好滿足要求。有些商業(yè)軟件提供了高階單元（p單元），高階單元的好處是只需少量網(wǎng)格，針對某些特殊case，可以在不改變網(wǎng)格情況下，通過升階提升精度。 有限元是求解偏微分方程一種方法，如果想發(fā)開有限元程序，求解偏微分方程是繞不過去的檻。不過好在科學家，數(shù)學家們已經(jīng)做了很多研究，不用我們自己去推導頭疼的公式，只要記住公式和結論都行了，力學中二階的四面體單元剛度矩陣有30*30=900個數(shù)據(jù)，實在沒辦法自己推導。但是作為有限元開發(fā)，了解推理過程對開發(fā)是非常有好處的。比如一般商業(yè)有限元程序中都會使用等參單元和高斯積分，積分點在單元內(nèi)部而不在頂點，所以計算出的結果為高斯點的值，還有死鎖，沙漏等諸如此類，這些都是與有限元算法本身特性相關。 |
|
|
