流體力學(xué)數(shù)值方法有很多種，其數(shù)學(xué)原理各不相同，但有二點(diǎn)是所有方法都具備的，即離散化和代數(shù)化?？偟膩碚f其基本思想是：將原來連續(xù)的求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格或單元子區(qū)域，在其中設(shè)置有限個(gè)離散點(diǎn)(稱為節(jié)點(diǎn))，將求解區(qū)域中的連續(xù)函數(shù)離散為這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值；通過某種數(shù)學(xué)原理，將作為控制方程的偏微分方程轉(zhuǎn)化為聯(lián)系節(jié)點(diǎn)上待求函數(shù)值之間關(guān)系的代數(shù)方程(離散方程)，求解所建立起來的代表方程以獲得求解函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值。

不同的數(shù)值方法，其主要區(qū)別在于求解區(qū)域的離散方式和控制方程的離散方式上。在流體力學(xué)數(shù)值方法中，應(yīng)用比較廣泛的是有限差分法、有限元法、邊界元法、有限體積法和有限分析法，現(xiàn)簡述如下。

這是最早采用的數(shù)值方法，它是將求解區(qū)域劃分為矩形或正交曲線網(wǎng)格，在網(wǎng)格線交點(diǎn)(即節(jié)點(diǎn))上，將控制方程中的每一個(gè)微商用差商來代替，從而將連續(xù)函數(shù)的微分方程離散為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上定義的差分方程，每個(gè)方程中包含了本節(jié)點(diǎn)及其附近一些節(jié)點(diǎn)上的待求函數(shù)值，通過求解這些代數(shù)方程就可獲得所需的數(shù)值解。

有限差分法的優(yōu)點(diǎn)是它建立在經(jīng)典的數(shù)學(xué)逼近理論的基礎(chǔ)上，容易為人們理解和接受；有限差分法的主要缺點(diǎn)是對于復(fù)雜流體區(qū)域的邊界形狀處理不方便，處理得不好將影響計(jì)算精度。

有限元法的基本原理是把適定的微分問題的解域進(jìn)行離散化，將其剖分成相連結(jié)又互不重疊的具有一定規(guī)則幾何形狀的有限個(gè)子區(qū)域(如：在二維問題中可以劃分為三角形或四邊形；在三維問題中可以劃分為四面體或六面體等)，這些子區(qū)域稱之為單元，單元之間以節(jié)點(diǎn)相聯(lián)結(jié)。函數(shù)值被定義在節(jié)點(diǎn)上，在單元中選擇基函數(shù)(又稱插值函數(shù))，以節(jié)點(diǎn)函數(shù)值與基函數(shù)的乘積的線性組合成單元的近似解來逼近單元中的真解。

利用古典變分方法(里茲法或伽遼金法)由單元分析建立單元的有限元方程，然后組合成總體有限元方程，考慮邊界條件后進(jìn)而求解。由于單元的幾何形狀是規(guī)則的，因此在單元上構(gòu)造基函數(shù)可以遵循相同的法則，每個(gè)單元的有限元方程都具有相同的形式，可以用標(biāo)準(zhǔn)化的格式表示，其求解步驟也就變得很規(guī)范，即使是求解域剖分各單元的尺寸大小不一樣，其求解步驟也不用改變，這就為利用計(jì)算機(jī)編制通用程序進(jìn)行求解帶來了方便。

有限元法的主要優(yōu)點(diǎn)是對于求解區(qū)域的單元剖分沒有特別的限制，因此特別適合處理具有復(fù)雜邊界流場的區(qū)域。

邊界元法是在經(jīng)典積分方程和有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的求解微分方程的數(shù)值方法，其基本思想是：將微分方程相應(yīng)的基本解作為權(quán)函數(shù)，應(yīng)用加權(quán)余量法并應(yīng)用格林函數(shù)導(dǎo)出聯(lián)系解域中待求函數(shù)值與邊界上的函數(shù)值與法向?qū)?shù)值之間關(guān)系的積分方程；令積分方程在邊界上成立，獲得邊界積分方程，該方程表述了函數(shù)值和法向?qū)?shù)值在邊界上的積分關(guān)系，而在這些邊界值中，一部份是在邊界條件中給定的，另一部份是待求的未知量，邊界元法就是以邊界積分方程作為求解的出發(fā)點(diǎn)，求出邊界上的未知量；在所導(dǎo)出的邊界積分方程基礎(chǔ)上利用有限元的離散化思想，把邊界離散化，建立邊界元代數(shù)方程組，求解后可獲得邊界上全部節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和法向?qū)?shù)值；將全部邊界值代入積分方程中，即可獲得內(nèi)點(diǎn)函數(shù)值的計(jì)算表達(dá)式，它可以表示成邊界節(jié)點(diǎn)值的線性組合。

邊界元法的優(yōu)點(diǎn)是：

(1) 將全解域的計(jì)算化為解域邊界上的計(jì)算，使求解問題的維數(shù)降低了一維，減少了計(jì)算工作量；

(2) 能夠方便地處理無界區(qū)域問題。例如對于勢流等的無限區(qū)域問題，使用邊界元法求解時(shí)由于基本解滿足無窮遠(yuǎn)處邊界條件，在無窮遠(yuǎn)處邊界上的積分恒等于零。因此對于無限區(qū)域問題，例如具有無窮遠(yuǎn)邊界的勢流問題，無需確定外邊界，只需在內(nèi)邊界上進(jìn)行離散即可；

(3) 邊界元法的精度一般高于有限元法。邊界元法的主要缺點(diǎn)是邊界元方程組的系數(shù)矩陣是不對稱的滿陣，該方法目前只適用于線性問題。

有限體積法又稱為控制體積法，其導(dǎo)出離散方程的基本思路是：

(1)將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，每一個(gè)控制體積都有一個(gè)節(jié)點(diǎn)作代表，將待求的守恒型微分方程在任一控制體積及一定時(shí)間間隔內(nèi)對空間與時(shí)間作積分；

(2)對待求函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對時(shí)間及空間的變化型線或插值方式作出假設(shè)；

(3)對步驟1中各項(xiàng)按選定的型線作出積分并整理成一組關(guān)于節(jié)點(diǎn)上未知量的離散方程。有限體積法著重從物理觀點(diǎn)來構(gòu)造離散方程，每一個(gè)離散方程都是有限大小體積上某種物理量守恒的表示式，推導(dǎo)過程物理概念清晰，離散方程系數(shù)具有一定的物理意義，并可保證離散方程具有守恒特性，這是有限體積法的主要優(yōu)點(diǎn)。

就離散方法而言，有限體積法可視作有限元法和有限差分法的中間物，該方法的主要缺點(diǎn)是不便對離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析。

有限分析法在某種意義上說是在有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種數(shù)值方法，其基本思想是：將求解區(qū)域劃分成矩形網(wǎng)格，網(wǎng)格線的交點(diǎn)為計(jì)算節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)與相鄰的四個(gè)網(wǎng)格組成一個(gè)計(jì)算單元，即一個(gè)計(jì)算單元由一個(gè)中心節(jié)點(diǎn)與8個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)組成；在每個(gè)單元中函數(shù)的近似解不是象有限元方法那樣采用單元基函數(shù)的線性組合來表達(dá)，而是以單元中未知函數(shù)的分析解來表達(dá)；為了獲得單元中的分析解，單元邊界條件采用插值函數(shù)來逼近，在單元中把控制方程中非線性項(xiàng)局部線性化(如N-S方程中的對流項(xiàng)中認(rèn)為其流速為已知，并對單元中待求函數(shù)的組合形式作出假設(shè)，找出其系數(shù)用單元邊界節(jié)點(diǎn)上待求函數(shù)值表達(dá)的分析解；利用單元分析解確定單元中心節(jié)點(diǎn)與8個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)間待求函數(shù)值之間關(guān)系的一個(gè)代數(shù)方程，稱為單元有限分析方程；將所有內(nèi)點(diǎn)上的單元有限分析方程聯(lián)立，就構(gòu)成總體有限分析方程，通過代數(shù)方程組求解，即可獲得求解區(qū)域中全部離散點(diǎn)的函數(shù)值。

雖然有限分析解獲得的是求解區(qū)域中離散點(diǎn)的函數(shù)值，但是由于每個(gè)單元內(nèi)部都有與其中心節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的分析解表達(dá)式，因此有限分析解在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的局部區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)可微的，這對于需要計(jì)算求解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算流體力學(xué)問題具有明顯的優(yōu)勢。

該計(jì)算方法與有限元、有限差分法比較具有較高的精度。此外，有限分析法具有自動(dòng)迎風(fēng)特性，能準(zhǔn)確地模擬對流項(xiàng)，同時(shí)不存在數(shù)值振蕩失真問題。有限分析法的缺點(diǎn)是對復(fù)雜形狀的求解區(qū)域適應(yīng)性較差。

本文摘錄自華南理工大學(xué)交通學(xué)院李志印、熊小輝、吳家鳴撰寫的《計(jì)算流體力學(xué)常用數(shù)值方法簡介》一文，該文發(fā)表于《廣東造船》2004年第3期。封面圖片來源于中國數(shù)字科技館網(wǎng)。