用現(xiàn)代的眼光來(lái)看發(fā)現(xiàn)微積分的歷史，可以分為 3 個(gè)階段：1.極限概念，2.積分法求體積面積，3.發(fā)現(xiàn)微分積分互逆。極限概念必須先行，這點(diǎn)在微分或積分兩個(gè)過(guò)程中是一樣的。

1. 微積分基本定理

通常認(rèn)為最后一步（發(fā)現(xiàn)微分積分互逆）是被牛頓和萊布尼茨分別獨(dú)立完成的，因此將發(fā)明微積分的功勞歸于他們倆。但實(shí)際上從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀念來(lái)看，微分和積分作為互逆運(yùn)算的本質(zhì)，是被“微積分基本定理”所描述的。早在牛頓和萊布尼茨之前，對(duì)“微積分基本定理”，就已經(jīng)有一個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)的研究歷史。因此，為了更深入理解微分積分之間的聯(lián)系，我們探索一下“微積分基本定理”發(fā)現(xiàn)的歷史過(guò)程。從展示歷史的線索，能讓我們明白這個(gè)定理為何重要？以及隱藏于微積分概念背后的科學(xué)動(dòng)機(jī)。

微積分基本定理包括兩個(gè)部分：第一部分表明不定積分是微分的逆運(yùn)算，闡明了原函數(shù)的存在；第二部分表明定積分可以用無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)的任意一個(gè)來(lái)計(jì)算。

伽利略對(duì)科學(xué)的貢獻(xiàn)無(wú)人能比。他常被人們（包括愛(ài)因斯坦）譽(yù)為是“現(xiàn)代科學(xué)之父”，當(dāng)代物理學(xué)家霍金也說(shuō)：“自然科學(xué)的誕生主要?dú)w功于伽利略。”伽利略的貢獻(xiàn)是多方面的，這兒僅舉力學(xué)方面一例：他做的落體實(shí)驗(yàn)證明了：物體下落的運(yùn)動(dòng)不是勻速運(yùn)動(dòng)，而是加速運(yùn)動(dòng)。如何在數(shù)學(xué)上來(lái)描述非勻速運(yùn)動(dòng)呢？這顯然要涉及到如今我們熟知的“即時(shí)速度”的概念。有了微分（導(dǎo)數(shù)）之后，即時(shí)速度的意義不難理解，由此可知，伽利略的力學(xué)理論為微分理論的建立提出了實(shí)用意義上的“需求”。

伽利略晚景凄涼，被教會(huì)軟禁在家，最后雙目失明。但他直到臨終前仍在從事科學(xué)研究。經(jīng)常陪伴他的是他的最后的學(xué)生之一：以發(fā)明氣壓計(jì)而聞名的意大利物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家托里拆利（Evangelista Torricelli, 1608 ～ 1647）。

托里拆利在研究伽利略的力學(xué)貢獻(xiàn)時(shí)，意識(shí)到在拋物線上進(jìn)行的兩種運(yùn)算（類似微分，積分）是互逆的。但他并未真正建立“微積分基本定理”。

后來(lái)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家詹姆斯·格里高利（James Gregory，1638 年－1675 年）首先發(fā)表了該定理基本形式的幾何證明，牛頓的老師，艾薩克·巴羅證明了該定理的一般形式。然后才是牛頓和萊布尼茨。最后是 100 多年之后的法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（Louis Cauchy，1789 年 －1857 年）將微積分理論，包括“基本定理”嚴(yán)格化。

當(dāng)然，發(fā)明微積分最早的先驅(qū)人物，不能漏掉法國(guó)兩位數(shù)學(xué)家：笛卡爾和費(fèi)馬。

2. 笛卡爾的葉形線

有人杜撰了一個(gè)笛卡爾與瑞典公主的有關(guān)“心形線”的愛(ài)情故事，

事實(shí)上，笛卡爾與心形線無(wú)關(guān)，倒有一個(gè)以笛卡爾命名的葉形線！

網(wǎng)上流傳的故事，說(shuō)是笛卡爾為瑞典公主創(chuàng)造了心形線，但卻相愛(ài)無(wú)緣最后笛卡爾為情而死 ！從歷史事實(shí)而言，笛卡爾的死的確與瑞典女王克里斯蒂娜有關(guān)，不過(guò)與愛(ài)情無(wú)關(guān)。當(dāng)年，24 歲的瑞典女王仰慕 53 歲的大哲學(xué)家笛卡爾，于是通過(guò)外交手段，請(qǐng)求法國(guó)政府派笛卡爾前來(lái)瑞典講學(xué)。笛卡爾受命于政府不得不前往，但屆時(shí)的他已經(jīng)年老體衰，去后又操勞過(guò)度，并且與公主關(guān)系也不融洽，到了瑞典 4 個(gè)月后，1650 年 2 月，笛卡爾就終因沒(méi)有熬過(guò)瑞典的嚴(yán)寒得肺炎病逝了。

此外，心形線最早是由丹麥天文學(xué)家?jiàn)W勒·羅默于 1674 在研究齒輪齒的最佳形式時(shí)發(fā)現(xiàn)的。那時(shí)候這位偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家與天文學(xué)家已去世 20 多年，與心形線拉不上關(guān)系。不過(guò)，笛卡爾發(fā)現(xiàn)研究過(guò)另外一種曲線，叫葉形線。下面我們看看心形線和葉形線這兩種平面曲線。

心形線是有一個(gè)尖點(diǎn)的外擺線。也就是說(shuō)，一個(gè)圓沿著另一個(gè)半徑相同的圓滾動(dòng)時(shí)，圓上一點(diǎn)的軌跡就是心形線。著名的分形：曼德博集合中間的圖形是心形線。

再看看什么是笛卡爾葉形線？它如下圖這個(gè)模樣。它可比心形線有名多了！還和笛卡爾一起被印上郵票。葉形線在直角坐標(biāo)中對(duì)應(yīng)于一個(gè) x 和 y 的 3 次方程。

笛卡爾在 1638 年首次提出并研究了葉形線。但盡管他在正象限中找到了正確的曲線形狀，但他認(rèn)為這種葉子形狀在每個(gè)象限中都重復(fù)出現(xiàn)，就像花朵的四個(gè)花瓣一樣。之后的另一位數(shù)學(xué)家羅伯瓦爾也錯(cuò)誤地認(rèn)為曲線具有茉莉花的形式。

葉形線有名倒不是因?yàn)樗男螤?，而是因?yàn)樗婕暗轿⒎e分發(fā)展過(guò)程中一個(gè)有趣的故事。笛卡爾在 1638 年研究了葉形線后，用這種他研究頗深的曲線向另一位數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出挑戰(zhàn)。故事發(fā)生在微積分出現(xiàn)之前。其實(shí)也就正是在這兩位偉大的數(shù)學(xué)家苦苦構(gòu)思坐標(biāo)軸及解析幾何之時(shí)。

笛卡爾要求費(fèi)馬在任意點(diǎn)找到該曲線的切線，因?yàn)閾?jù)說(shuō)費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)了一種尋找切線的方法。笛卡爾心存疑惑，認(rèn)為費(fèi)馬肯定做不到！但最后費(fèi)馬很容易地解決了笛卡爾的問(wèn)題，這是笛卡爾當(dāng)時(shí)還無(wú)法做到的。

有了微積分之后，計(jì)算斜率再畫(huà)出切線不成問(wèn)題。但沒(méi)有微積分時(shí)該如何做呢？微積分誕生的三個(gè)階段：極限和求積方法在古希臘及古中國(guó)都有，但第三步是牛頓和萊布尼茨在歐洲完成的。實(shí)際上，從第 2 階段到第 3 階段是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，

那個(gè)時(shí)代正值工業(yè)革命文藝復(fù)興年代，不僅解放了思想，創(chuàng)造了自由的學(xué)術(shù)氛圍，其社會(huì)生產(chǎn)生活還對(duì)力學(xué)、天文學(xué)等自然科學(xué)提出了巨大的挑戰(zhàn)，而這些學(xué)科又與數(shù)學(xué)緊密相連，于是，一場(chǎng)關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科的變革在悄然間降臨到了歐洲，其間許多數(shù)學(xué)家做出了貢獻(xiàn)。

當(dāng)年費(fèi)馬和笛卡爾等是如何畫(huà)切線的，這些方法與微積分的發(fā)現(xiàn)又有何關(guān)系？

3. 業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費(fèi)馬

法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat，Pierre de，1601-1665）是個(gè)很奇怪的學(xué)者，他是法院的法律顧問(wèn)，算是個(gè)業(yè)余數(shù)學(xué)家。費(fèi)馬直到年近三十歲才認(rèn)真研究數(shù)學(xué)，但成果累累，在數(shù)論、解析幾何、概率論等方面都作出了重大貢獻(xiàn)，因而被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。他的特點(diǎn)是不怎么發(fā)表著作，經(jīng)常是只在書(shū)的邊緣處寫(xiě)下一些草率的注記，或者是偶然地將他的發(fā)現(xiàn)寫(xiě)信告訴他的朋友。現(xiàn)在看來(lái)，即使是這種草率注記中的三言兩語(yǔ)，已經(jīng)使世人震撼忙碌不已，要是費(fèi)馬正兒八經(jīng)地專門(mén)研究數(shù)學(xué)，那還了得？例如，被稱之為“費(fèi)馬大定理”的猜想，就困惑了數(shù)學(xué)家們整整 358 年！

費(fèi)馬對(duì)發(fā)現(xiàn)微積分的功勞也不小。他與笛卡爾共同創(chuàng)立了解析幾何，成為發(fā)明微積分的根基之一。他創(chuàng)造了作曲線切線的方法。費(fèi)馬在 1629 年，在牛頓降生前 13 年，萊布尼茨降生前 17 年，就構(gòu)想并使用了微分學(xué)的主要思想，用于求曲線的極大極小值。也就是說(shuō)，在微積分尚未被系統(tǒng)地發(fā)明出來(lái)之時(shí)，費(fèi)馬就已經(jīng)掌握了“令導(dǎo)數(shù)為零，求出極點(diǎn)”的方法！這個(gè)事實(shí)說(shuō)明，費(fèi)馬幾乎已經(jīng)自個(gè)兒發(fā)明出了微積分，只不過(guò)沒(méi)有公布而已！總之，費(fèi)馬淡泊名利，不在乎發(fā)表文章，也未曾將他的微分思想總結(jié)成“定理”之類的，因此，費(fèi)馬這方面的貢獻(xiàn)鮮為人知。費(fèi)馬的許多數(shù)學(xué)思想，都是在他死后，由兒子通過(guò)整理他的筆記和批注挖掘出來(lái)的。

費(fèi)馬研究光學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)，光線總是按照時(shí)間最小的路線傳播。這個(gè)原理，是幾何光學(xué)的基礎(chǔ)，可以從后來(lái)的惠更斯原理推導(dǎo)出來(lái)。事實(shí)上，費(fèi)馬原理現(xiàn)代版的更準(zhǔn)確表述應(yīng)該是：光線總是按照時(shí)間最小、或最大、或平穩(wěn)點(diǎn)的路線傳播。換言之，光線傳播的經(jīng)典路徑是變分為 0 的路徑。所以事實(shí)上，有關(guān)光線傳播的費(fèi)馬原理應(yīng)該算是變分法的最早例子，但在當(dāng)時(shí)，人們尚未認(rèn)識(shí)到這點(diǎn)，也沒(méi)有進(jìn)行詳細(xì)的理論研究。費(fèi)馬提出的光學(xué) “費(fèi)馬原理”，給后來(lái)變分法的研究以極大的啟示。

笛卡爾的幾何學(xué)發(fā)表前，費(fèi)馬 1629 年就發(fā)現(xiàn)了解析幾何基本原理。他考慮任意曲線和它上面點(diǎn) 的位置用 ， 定出，（，）是傾斜坐標(biāo)，只是他未將另一個(gè)豎直軸明顯畫(huà)出來(lái)。

實(shí)際上，費(fèi)馬是延續(xù)了前古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的坐標(biāo)系概念。阿波羅尼奧斯是除了阿基米德外最聰明的古希臘數(shù)學(xué)家，他深入研究了圓錐曲線，他的坐標(biāo)體系將古希臘幾何直接一口氣帶到一千八百多年后的微積分之前。

然后，費(fèi)馬將代數(shù)方法進(jìn)一步與幾何應(yīng)用結(jié)合，笛卡爾則建立了一般方程與曲線的關(guān)系，擴(kuò)展曲線的范疇，最后建立解析幾何

費(fèi)馬對(duì)微積分的貢獻(xiàn)，引用牛頓之言：“我從費(fèi)馬切線作法中得到這個(gè)方法的啟示，我推廣了它”。

下面看看費(fèi)馬作切線的方法，如圖中需要作 點(diǎn)處的切線，只要求出線段 的值，連接 就是切線。

設(shè) ， 與 相似，在 很小時(shí) ，可求出

費(fèi)馬作切線方法的最后結(jié)果，與現(xiàn)在微積分求導(dǎo)數(shù)的公式相似。笛卡爾也有作切線的方法，比費(fèi)馬晚幾年。他是先想辦法在 處作曲線的法線，再作與法線垂直的線便是切線了。他的方法更復(fù)雜更是幾何的。但兩位大師的方法都運(yùn)用極限概念，也反映出對(duì)無(wú)窮小的認(rèn)識(shí)，他們都不愧是微積分的先驅(qū)。