張 慶

(江蘇省徐州市侯集高級(jí)中學(xué) 221300)

摘 要：本文主要介紹了函數(shù)中隱零點(diǎn)問(wèn)題的處理方法，給出了相關(guān)案例，對(duì)于具體實(shí)例進(jìn)行了細(xì)致的分析.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);函數(shù);隱零點(diǎn)

按導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)能否求精確解可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是數(shù)值上能精確求解的，稱(chēng)之為“顯零點(diǎn)”；另一類(lèi)是能夠判斷其存在但無(wú)法直接表示的，稱(chēng)之為“隱零點(diǎn)”.對(duì)于隱零點(diǎn)問(wèn)題，由于涉及靈活的代數(shù)變形、整體代換、構(gòu)造函數(shù)、不等式應(yīng)用等技巧，對(duì)學(xué)生綜合能力的要求較高，成為考查的難點(diǎn).

一、分離函數(shù)法

例1 已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx(a∈R).

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[e，+∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)a=1且k∈Z時(shí)，不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1，+∞)上恒成立，求k的最大值.

解析 (1)∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[e，+∞)上為增函數(shù)，

∴f ′(x)=a+lnx+1≥0在區(qū)間[e，+∞)上恒成立，

∴a≥(-lnx-1)max=-2.

∴a≥-2.

∴a的取值范圍是[-2，+∞).

(2)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x+xlnx，k∈Z時(shí)，不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1，+∞)上恒成立，

令則

令h(x)=x-lnx-2(x>1).

則

∴h(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，

∵h(3)=1-ln3<0，h(4)=2-2ln2>0，

存在x0∈(3，4)，使h(x0)=0，

即當(dāng)1<x<x0時(shí)，h(x)<0，即g′(x)<0，

當(dāng)x>x0時(shí)，h(x)>0，即g′(x)>0，

g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

令h(x0)=x0-lnx0-2=0，即lnx0=x0-2，

k<g(x)min=x0∈(3，4)，且k∈Z，

∴kmax=3.

點(diǎn)評(píng) 變量分離是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的一類(lèi)求解方法，本例中除了采用分離變量的方法外，還需要通過(guò)函數(shù)構(gòu)造進(jìn)行求解，這類(lèi)求解方法的好處在于不需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)討論，從而使得對(duì)問(wèn)題的求解更加的簡(jiǎn)便.

二、整體代換法

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，

解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2022/02/2615/240222902_8_20220226032841148.jpeg' data-ratio="0.1388888888888889" data-type="jpeg" data-w="576" title="width=211,height=29,dpi=110" _width="-30px" src="http://image109.360doc.com/DownloadImg/2022/02/2615/240222902_8_20220226032841148.jpeg" alt="圖片">由f ′(x)=0得2xe2x=a.令g(x)=2xe2x，g′(x)=(4x+2)e2x>0(x>0)，從而g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(0)=0.

當(dāng)a>0時(shí)，方程g(x)=a有一個(gè)根，即f ′(x)存在唯一零點(diǎn)；

當(dāng)a≤0時(shí)，方程g(x)=a沒(méi)有根，即f ′(x)沒(méi)有零點(diǎn).

(2)證明 由(1)可設(shè)f ′(x)在(0，+∞)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f ′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，f ′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增，所以[f(x)]min=f(x0).

由得又得所以

故當(dāng)a>0時(shí)，

點(diǎn)評(píng) 整體代換的思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用也是十分常見(jiàn)的，而本例中就能夠很好的展現(xiàn)出這類(lèi)方法的高效性，在該問(wèn)題的求解過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)的合理代換使用可快速的將超越方程化簡(jiǎn)成熟悉的普通的代數(shù)方程，從而使問(wèn)題得到解決.

三、設(shè)而不求法

例3 已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：

解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2022/02/2615/240222902_17_20220226032842367.jpeg' data-ratio="0.14606741573033707" data-type="jpeg" data-w="712" title="width=261,height=38,dpi=110" _width="-30px" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" alt="圖片">

①若f ′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時(shí)f ′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.

②若a>2，令f ′(x)=0得，或

當(dāng)∞)時(shí)，f ′(x)<0；

當(dāng)時(shí)，f ′(x)>0.

所以f(x)在∞)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)證明 由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿(mǎn)足x2-ax+1=0，

所以不妨設(shè)x1<x2，則x2>1.由于

所以等價(jià)于

設(shè)函數(shù)由(1)知，g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，

又g(1)=0，從而當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，g(x)<0.

所以即

點(diǎn)評(píng) 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題常與函數(shù)單調(diào)性的判斷有關(guān)，而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，設(shè)而不求的方法一般在圓錐曲線(xiàn)中經(jīng)常遇到，其實(shí)在函數(shù)問(wèn)題中，若遇到函數(shù)極值，零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)該方法也是處理該問(wèn)題的一種常見(jiàn)處理方式.

作者簡(jiǎn)介：張慶(1980.10-)，男，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.