福建省南平市高級(jí)中學(xué)(353000)江智如

1.問題提出

極值點(diǎn)偏移問題是近年高考與各類模擬考的熱點(diǎn),常以壓軸題的形式出現(xiàn),考查考生數(shù)學(xué)閱讀水平與能力、抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.因?yàn)榇祟悊栴}依托函數(shù)極值知識(shí)與不等式性質(zhì),考查考生數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用能力,所以試題綜合性強(qiáng),難度大,得分率低,體現(xiàn)選拔功能.盡管各類的文獻(xiàn)從不同的角度總結(jié)各種解題方法和技巧,但基于高中學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的方法不多,高中學(xué)生對(duì)此類方法無法理解與掌握,對(duì)此類問題感到困惑,束手無策.為此,筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐,基于高中學(xué)生的認(rèn)知水平能力,在邏輯推理的指引下,探究有效解決極值點(diǎn)偏移問題的解題策略.

2.概念界定

一般地,若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x 都有f(x)=f(2x0-x),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=x0 對(duì)稱,此時(shí)函數(shù)f(x)在對(duì)稱軸兩側(cè),函數(shù)值變化快慢相同.特別地,若x=x0 為f(x)的極值點(diǎn),如果f(x)=c 的兩根x1,x2,滿足即極值點(diǎn)在兩根的正中間,那么稱函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x=x0 沒有偏移；如果把相等變?yōu)椴坏?那么稱函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x=x0 偏移,簡稱極值點(diǎn)偏移.此時(shí)函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)x=x0 的左右兩側(cè)變化快慢不同,若則稱極值點(diǎn)左偏；若則稱極值點(diǎn)右偏.

本文研究的極值點(diǎn)偏移問題是指：“可導(dǎo)函數(shù)f(x),對(duì)于定義域內(nèi)滿足f(x1)=f(x2)的任意不同實(shí)數(shù)x1,x2,判斷與極值點(diǎn)x=x0 大小關(guān)系的問題”.

3.文獻(xiàn)綜述

在極值點(diǎn)偏移問題相關(guān)文獻(xiàn)中,文[1]詳細(xì)闡述極值點(diǎn)偏移問題并利用構(gòu)造函數(shù)的方法解決此類問題,但作者沒有探討文章中的思路與方法如何推廣到其他類型的問題；文[2]介紹極值點(diǎn)偏移的判定定理,并通過具體的例子介紹極值點(diǎn)偏移的解題方法,但方法比較抽象,不利于高中學(xué)生的理解與掌握,只會(huì)讓學(xué)生依葫蘆畫瓢,無法舉一反三；文[3]-文[9]“以題論題”,只對(duì)某一類題型提出相應(yīng)的解決方法,沒有探討這類解題方法如何推廣到其他類型的極值點(diǎn)偏移問題；文[10]給出“和”型極值點(diǎn)偏移問題的統(tǒng)一解法,遺憾的是沒有探討如何推廣到“乘積”型或“比值”型問題；文[11]-文[13]從高數(shù)觀點(diǎn)的視角,利用對(duì)數(shù)平均不等式和泰勒公式進(jìn)行求解,超出了高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)的范圍與水平；文[14]從競賽角度探討極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)與通法,對(duì)高中學(xué)生來說難度太大,不適合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中推廣.因此探究適合高中數(shù)學(xué)教學(xué)講授,讓高中學(xué)生能夠理解與掌握的解題策略與通法,是極值問題教學(xué)值得研究的課題.

為此,本文基于高中學(xué)生認(rèn)知水平能力與發(fā)展規(guī)律,首先根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[15] 與《2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明(理科)》[16]的要求,把極值點(diǎn)偏移問題歸納為五種題型：①無參數(shù)零點(diǎn)和型；②含參數(shù)零點(diǎn)和型；③導(dǎo)數(shù)值正負(fù)型；④零點(diǎn)乘積型；⑤零點(diǎn)比值型.然后從引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究簡單函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律[15],培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題[16]能力的視角,循序漸進(jìn),發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性,激發(fā)學(xué)生的最佳學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),在邏輯推理的指引下,探究歸納適合高中學(xué)生理解與掌握的有效策略與通法.

4.解題策略

波利亞(Polya)將數(shù)學(xué)解題過程分為四個(gè)步驟：“弄清問題,擬定計(jì)劃,實(shí)現(xiàn)計(jì)劃,回顧反思”[17],從而可以順利解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.基于這種解題思路,筆者將極值點(diǎn)偏移問題解題策略分為四個(gè)步驟逐步實(shí)施：

(I)求特殊點(diǎn)：根據(jù)題設(shè)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,求出f(x)的極值點(diǎn)(或特殊點(diǎn))x=x0；

(II)構(gòu)造函數(shù)：借助分析法,執(zhí)果索因,把x1+x2 ＞(＜)2x0 轉(zhuǎn)化為x1 ＞(＜)2x0 -x2,利用f(x)的單調(diào)性,等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明f(x1)＞(＜)f(2x0-x2),因?yàn)閒(x1)=f(x2),所以等價(jià)為證明f(x2)＞(＜)f(2x0-x2),構(gòu)造一元差函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x),把原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為判斷F(x)的正負(fù)符號(hào)；

(III)討論單調(diào)性：通過導(dǎo)函數(shù)F′(x),討論F(x)的單調(diào)性,確定F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(IV)取特值得結(jié)論：根據(jù)F(x)的單調(diào)性,結(jié)合F(x0)=0,判斷F(x)的正負(fù)符號(hào),從而確定f(x),f(2x0-x)的大小關(guān)系,最終證明原結(jié)論.

以上步驟歸納為：“常規(guī)運(yùn)算取特值,分析化歸覓行蹤,構(gòu)造求導(dǎo)定單調(diào),特值判斷得結(jié)論”.特別地,

①證明題型時(shí),等價(jià)轉(zhuǎn)化為討論與x0 的大小,確定所在的單調(diào)區(qū)間,從而判斷該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)；

②求解零點(diǎn)乘積型問題時(shí),可以借助對(duì)數(shù)性質(zhì),轉(zhuǎn)化為ln x1 +ln x2 關(guān)系式,從而把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為“和”型問題進(jìn)行求解；

③零點(diǎn)比值問題利用換元變化把二元變量問題轉(zhuǎn)化為一元變量t,構(gòu)造函數(shù),然后根據(jù)已知條件信息,按四個(gè)解題步驟逐步實(shí)施.在求解過程中,構(gòu)造函數(shù)的求導(dǎo)比較復(fù)雜,計(jì)算時(shí)須細(xì)心.

5.典例解析

5.1.無參數(shù)零點(diǎn)和型

例1(2010年高考天津卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x ∈R),若x1  x2,且f(x1)=f(x2),證明：x1+x2 ＞2.

解析 因?yàn)閒′(x)=(1-x)e-x,所以可以判斷f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,從而函數(shù)f(x)在x=1 處取得極大值又當(dāng)x ＜0 時(shí),f(x)＜0；當(dāng)x ＞0 時(shí),f(x)＞0；當(dāng)x →-∞時(shí),f(x)→-∞,f(0)=0；當(dāng)x →+∞時(shí),f(x)→0；由f(x1)=f(x2),x1 x2,故結(jié)合圖象不妨設(shè)0 ＜x1 ＜1 ＜x2.

要證明：x1 + x2 ＞ 2,只要證2 - x1 ＜ x2,因?yàn)? ＜x1 ＜1 ＜x2,所以2 - x1,x2 ∈(1,+∞).又f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故只需證f(x2)＜f(2-x1),由于f(x1)=f(x2),于是只要證明f(x1)＜f(2-x1).

構(gòu)造函數(shù)H(x)=f(x)-f(2-x),x ∈(0,1),則問題等價(jià)于證明對(duì)x ∈(0,1),H(x)＜0 恒成立.因?yàn)?/p>

所以H(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,從而H(x)＜H(1)=0,即對(duì)?x ∈(0,1),H(x)＜0 恒成立,因此x1+x2 ＞2 成立.

評(píng)析 本例是極值偏移問題的經(jīng)典考題,類似的還有2011年遼寧理科第21 題,2013年湖南文科第21 題,我們只需按照解題通法步驟可以順利解決,很好地詮釋極值點(diǎn)偏移問題的解題思路與技巧,考查考生推理論證能力,化歸與轉(zhuǎn)化的思想,促進(jìn)考生邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升.

5.2.含參數(shù)零點(diǎn)和型

例2(2016年高考課標(biāo)I 卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 有兩個(gè)零點(diǎn).

(I)求a 的取值范圍；

(II)設(shè)x1,x2 是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明：x1+x2 ＜2.

解析(I)因?yàn)閒(1)/=0,所以

有兩個(gè)解等價(jià)于有兩個(gè)解.

令(x/=1),則

當(dāng)x ＜1 時(shí),g′(x)＞0；當(dāng)x ＞1 時(shí),g′(x)＜0；故g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,且當(dāng)x ＜1 時(shí),g(x)＞0,當(dāng)x ＞1 時(shí),g(x)∈(-∞,+∞),故由有兩個(gè)解可得a ＞0,因此a 的取值范圍為(0,+∞)；

(II)由(I)知,不妨設(shè)x1 ＜1 ＜x2,要證明x1+x2 ＜2,只要證x1 ＜2-x2,因?yàn)閤2 ＞1,所以2-x2 ＜1,由于g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,故只需證明g(x1)＜g(2-x2),又g(x1)=g(x2),故只要證明g(x2)＜g(2-x2),即證g(x2)-g(2-x2)＜0.

構(gòu)造函數(shù)F(x)=g(x)-g(2-x),(x ＞1),只需證明在(1,+∞)上,F(x)＜0.因?yàn)?/p>

所以令

則φ′(x)=(1 - x)(ex-e2-x).由于ex - e2-x ＞ 0,1-x ＜0,故φ′(x)＜0,于是φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,從而φ(x)＜φ(1)=0,因此F(x)＜0,即g(x)＜g(2-x),又x2 ＞1,故g(x2)＜g(2-x2),所以原不等式成立.

評(píng)析 本例原函數(shù)含有參數(shù)a,利用分離參數(shù)法,把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)問題,構(gòu)造函數(shù)g(x),把含參問題化歸轉(zhuǎn)化為不含參問題,再通過通法步驟進(jìn)行求解.考查考生化歸與轉(zhuǎn)化的思想,方程與函數(shù)的思想,以及推理論證能力與運(yùn)算求解能力.對(duì)于含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題的解題策略可以總結(jié)為：“盡量消去參數(shù),轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的問題求解”,即“一分離,二構(gòu)造,三依通法四步走”.

5.3.導(dǎo)數(shù)值正負(fù)型

例3(2018年福建南平5月理科第21 題)已知函數(shù)

(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(II)設(shè) x1,x2 是 f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明：

解析(I)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0,+∞),所以求導(dǎo)可得 若a ≤0,則f′(x)＞0,此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；若a ＞0,則由f′(x)=0,得x=a；當(dāng)0 ＜x ＜a 時(shí),f′(x)＜0；當(dāng)x ＞a 時(shí),f′(x)＞0；因此f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增；

(II)由(I)可知,當(dāng)a ≤0 時(shí),函數(shù)y=f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),與已知條件不符,故a ＞0,從而f(x)的最小值為f(a),且f(a)＜0.要證明只要證明即證x2 ＞2a-x1.

不妨設(shè)0 ＜x1 ＜x2,則0 ＜x1 ＜a ＜x2,從而2a-x1 ＞a,由f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增可知問題等價(jià)于證明f(x2)＞f(2a-x1).因?yàn)閒(x1)=f(x2),所以只要證明f(x1)＞f(2a-x1).

構(gòu)造函數(shù)

則

于是F(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,故F(x)＞F(a)=0,即f(x)＞ f(2a - x),因?yàn)閤1 ∈(0,a),所以f(x1)＞f(2a-x1),因此

評(píng)析 本例利用f(x)的單調(diào)性,把導(dǎo)數(shù)值正負(fù)的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明從而借助極值點(diǎn)偏移的解題通法進(jìn)行求解.求解這類問題的策略是：化歸轉(zhuǎn)化為判斷與x=a 的大小,再借助f(x)的單調(diào)區(qū)間來判斷的正負(fù),也就是把導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)問題與原函數(shù)的單調(diào)情況聯(lián)系起來進(jìn)行求解.考查考生對(duì)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)相關(guān)知識(shí)的理解與掌握情況,考查考生分析問題和解決問題的基本能力,體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的本質(zhì),突出邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)在教學(xué)過程中滲透與培養(yǎng)的功能.

5.4.零點(diǎn)乘積型

例4(2019年金太陽高二聯(lián)考理科第21 題)已知若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1 ＜x2,求證：x1x2 ＞e2(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

解析 要證明x1x2 ＞e2,只要證明ln x1+ln x2 ＞2.由已知可得f′(x)=ln x-mx,因?yàn)閒(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,所以x1,x2 是f′(x)=ln x-mx=0 的兩個(gè)不同實(shí)根.于是

有

解得同理可得

聯(lián)立得

從而

又0 ＜x1 ＜x2,令則t ＞1,從而

要證明

只要證

即證當(dāng)t ＞1 時(shí),有

令則

故h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)閔(1)=0,所以h(t)＞h(1)=0,即當(dāng)t ＞1 時(shí),有從而ln x1+ln x2 ＞2 成立,因此x1x2 ＞e2.

評(píng)析 本例證明結(jié)論為極值點(diǎn)的乘積形式,根據(jù)極值點(diǎn)偏移的思路,通過對(duì)數(shù)性質(zhì)化為ln x1 +ln x2 ＞2,從而轉(zhuǎn)化為“和”型問題求解.又由于函數(shù)f(x)含有參數(shù)m,故通過方程組的聯(lián)立消去參數(shù)m,得到關(guān)于ln x1 與ln x2 的表達(dá)式,秉軸持鈞,利用換元變化成函數(shù)h(t),討論h(t)的單調(diào)性,借助h(t)的最值得到最終結(jié)論.考查了指對(duì)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的知識(shí),對(duì)考生的綜合數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)能力提出較高要求,同時(shí)也考查考生對(duì)極值點(diǎn)偏移問題解題通法的理解與掌握情況,為考生解答提供廣闊的發(fā)揮空間,使考生思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能得到展現(xiàn),促進(jìn)考生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升.

5.5.零點(diǎn)比值型

例5 (2014年高考天津卷理科第20 題)設(shè)f(x)=x-aex(a ∈R),x ∈R,已知函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且x1 ＜x2.證明：x1+x2 隨著a 的減小而增大.

解析 由f(x)=x- aex=0,可得ln x=ln a+ x,即ln x - x=ln a,則ln x1 - x1=ln x2 - x2=ln a.令則x2 =tx1,從而ln x1-x1 =ln t+ln x1-tx1,故因此

令則

再令

則

故h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,從而h(t)＞h(1)=0,于是g′(t)＞0,因此g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則x1+x2 隨著t 的增大而增大.

另一方面,因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的零點(diǎn)可等價(jià)為直線y=a 與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),由于故在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,結(jié)合圖象可知且0 ＜x1 ＜1 ＜x2,當(dāng)a 減小時(shí),x1減小,x2 增大,從而增大,故t 隨著a 的減小而增大,所以x1+x2 隨著a 的減小而增大.

評(píng)析 本例所證明的結(jié)論雖不涉及極值點(diǎn)偏移問題,但其解題的思路需要依循極值點(diǎn)偏移的通法進(jìn)行求解.因?yàn)橐袛喽兞康膯握{(diào)性,所以可以考慮換元轉(zhuǎn)化為一元變量,構(gòu)造函數(shù)求解,考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.對(duì)于比值型的零點(diǎn)問題,?？紤]換元變換為一元變量進(jìn)行求解,可以減輕考生變量轉(zhuǎn)化與運(yùn)算求解的負(fù)擔(dān),有利于考生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的能力與水平的培養(yǎng)與提升.

6.探析感悟

“云散月明誰點(diǎn)綴,天容海色本澄清”.極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)是函數(shù)值變化快慢的問題,是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的具體應(yīng)用[15],對(duì)考生數(shù)學(xué)綜合能力與素養(yǎng)的要求提出較高的要求,是培養(yǎng)考生邏輯推理能力的有效方法與途徑,能夠挖掘考生進(jìn)一步數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能.波利亞(Polya)認(rèn)為,中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是“教會(huì)學(xué)生思考”[18].在日常的教學(xué)中,教師可以從具體、計(jì)算量小的函數(shù)模型出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生理解掌握極值點(diǎn)偏移的解題策略與通法,從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平出發(fā),設(shè)計(jì)合理的“精致練習(xí)”[19],循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生分析問題,構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì),解決實(shí)際問題,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感,激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力,促進(jìn)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.