解析函數(shù)

1.5：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的輻角

以下我們均設(shè),且,討論的任何一條曲線都屬于且.

過 作一條光滑曲線 , 它的方程為

設(shè) , 且 . 前面說過, 在點(diǎn) 處的切線與正實(shí)軸的夾角為 設(shè) 把曲線 映為 , 它的方程為

由于 , 所以 在 處的切線與正實(shí) 軸的夾角為

因此：

這說明像和原像之間的夾角為.

現(xiàn)在假設(shè)有兩條曲線分別為：,他們的像分別為,他們在點(diǎn)，我們可以得到：

即：

上式說明, 如果 , 那么在映射 的作用下, 過 點(diǎn)的任意兩條光滑曲線的夾角的 大小與旋轉(zhuǎn)方向都是保持不變的. 我們把具有這種性質(zhì)的映射稱為在 點(diǎn)是第一類保角的. (常見的中文書籍的保角均指的是第一類保角.)

Theorem 1.10:全純函數(shù)在其導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)處是第一類保角的.

導(dǎo)數(shù)的模長

由于：

所以我們可以得到：

這說明像點(diǎn)之間的距離與原像之間的距離之比只與 有關(guān), 而與曲線 無關(guān). 稱 為 在 處的伸縮率.(注意到和表示兩個向量的距離.)

當(dāng)然也可以這樣理解：因此當(dāng) 充分接近于 時,

上式說明, 當(dāng) 時, 將以 為圓心, 為半徑的充分小的 圓盤近似地映為以 為圓心, 為半徑的圓盤. 特別地, 應(yīng)是映射 關(guān)于對應(yīng)區(qū)域之間的面積比, 即映射的 Jacobi 行列式.(忘了的同志可以會看下數(shù)學(xué)分析中的多元函數(shù)的函數(shù)變換后面積的計(jì)算.)

Theorem1.1.11：設(shè) 在區(qū)域 上解析, , 則 是映射在 處的 Jacobi 行列式.

由定義, 映射 的 Jacobi 行列式 為

由 方程上式可寫成

證畢..

利用上邊的這個結(jié)論，我們可以證明：

證明 將 看做映射 , 則其 Jacobi 行列式 . 由微積分中逆映射定理知存在 的鄰域 , 使得 是開集; 有逆映射 . 因此命題得證.