引言

自從接觸內(nèi)置式永磁電動(dòng)機(jī)，我就一直有個(gè)疑惑，對(duì)于L_d＜L_q的永磁電動(dòng)機(jī)，計(jì)算時(shí)一直是施加d軸為去磁性的電流才能獲得正的磁阻轉(zhuǎn)矩而使永磁體用量減??；反之像L_d＞L_q的電勵(lì)磁凸極同步電機(jī)，d軸電流就需要增磁才能獲得正的磁阻轉(zhuǎn)矩。但電機(jī)學(xué)中的電勵(lì)磁凸極同步電機(jī)描述的是功率角特性，當(dāng)功率角小于90度時(shí)磁阻轉(zhuǎn)矩都是正的，那么功率角小于90度時(shí)，d軸電流的特性是不能確定的，可能增磁也可能去磁，增磁時(shí)功率角特性與上述內(nèi)置式永磁電機(jī)的分析一致，都是正的磁阻轉(zhuǎn)矩；去磁時(shí)，功率角特性中磁阻轉(zhuǎn)矩還是正的，但上述內(nèi)置式永磁電機(jī)的分析，磁阻轉(zhuǎn)矩卻是負(fù)的，二者矛盾。這樣我就迷惑了，到底電機(jī)學(xué)書上的功率角特性和平時(shí)永磁電機(jī)的這種分析之間是什么關(guān)系呢，這兩個(gè)特性中的磁阻轉(zhuǎn)矩是否是兩個(gè)含義，所以才出現(xiàn)了矛盾現(xiàn)象。

關(guān)于這個(gè)話題，我們版主Nephology曾經(jīng)把西莫論壇里相關(guān)的討論帖進(jìn)行了總結(jié)，并發(fā)表在西莫電子期刊第10期（2017年第2期）中，但是該討論帖只是收集，理論分析不全面，相關(guān)的很多問題也沒給出答案；除此之外，西莫論壇首席技術(shù)專家李保來教授也曾發(fā)表過相關(guān)文章《永磁電機(jī)（六）（點(diǎn)擊查看原文）》該文章是本文的重要參考文獻(xiàn)，但是這里只解答了我絕大部分的疑惑，還有一小部分沒想清楚。所以我希望在接下來的講述中能把這個(gè)話題做個(gè)總結(jié)，給大家一個(gè)參考。

1 基礎(chǔ)概念

先簡要介紹一些基礎(chǔ)概念，這些概念盡量跟教科書一致，文中后續(xù)也會(huì)使用這些概念。備注：以下所有相量圖、所有論述不考慮飽和的影響，

轉(zhuǎn)子主極磁動(dòng)勢F_f：也叫勵(lì)磁磁動(dòng)勢，勵(lì)磁磁動(dòng)勢在氣隙中產(chǎn)生轉(zhuǎn)子主極磁場，該磁場產(chǎn)生激磁電動(dòng)勢E₀（電動(dòng)機(jī)一般稱為空載反電勢）

電樞磁動(dòng)勢Fa：為定子三相電流產(chǎn)生，該電樞磁動(dòng)勢在氣隙中產(chǎn)生電樞磁場，所以電樞磁場也就是定子電流產(chǎn)生的磁場。

氣隙合成磁動(dòng)勢Fδ：等于F_f和F_a 的矢量和，氣隙合成磁動(dòng)勢在氣隙中產(chǎn)生氣隙合成磁場，所以氣隙合成磁場是轉(zhuǎn)子主極磁場和電樞磁場共同建立產(chǎn)生。該磁場產(chǎn)生氣隙電動(dòng)勢（也叫合成電動(dòng)勢）E_δ。

F_f、F_a、F_δ以及各自產(chǎn)生的氣隙磁密都是空間矢量，而電流、電勢都是時(shí)間相量。當(dāng)某相電流達(dá)到正的最大值，即該相電流相量與其時(shí)軸重合時(shí)，三相合成磁動(dòng)勢基波的正波幅就正好與該相相軸重合，由此可見如果各相時(shí)間相量的時(shí)軸都取在各自的相軸上，則相電流相量I應(yīng)與三相合成磁動(dòng)勢基波矢量F_a重合，當(dāng)把時(shí)間相量圖和空間矢量圖畫在一起時(shí)，這樣就出現(xiàn)了時(shí)空矢量圖。以A相為例，取A相電流時(shí)軸與A相相軸重合，則A相電流相量與電樞磁動(dòng)勢矢量F_a重合。而一般取q軸（轉(zhuǎn)子交軸）與相軸重合，d軸（轉(zhuǎn)子直軸）超前q軸90度電角度，轉(zhuǎn)子主極磁場與d軸重合。如下圖1所示。

圖1 同步發(fā)電機(jī)的功率角和電磁轉(zhuǎn)矩

功率角：也簡稱功角，是端電壓U與激磁電動(dòng)勢E₀之間的夾角。略去電機(jī)的漏阻抗時(shí)，氣隙電動(dòng)勢E_δ就等于端電壓U。在時(shí)空統(tǒng)一矢量圖中，B_f和B_δ分別超前于E₀和E_δ 90度電角度，所以功率角是轉(zhuǎn)子主極磁場B_f和氣隙合成磁場B_δ在空間的夾角。

轉(zhuǎn)矩角：電樞磁動(dòng)勢和轉(zhuǎn)子主極磁動(dòng)勢之間的夾角，在時(shí)空統(tǒng)一矢量圖上就是定子電流和d軸（轉(zhuǎn)子直軸）之間的夾角，如下圖2中的β。其實(shí)電機(jī)學(xué)中也有這個(gè)角度，只是沒有給他命名，而現(xiàn)在很多控制類書籍，也包括唐院士的書籍中將其命名為轉(zhuǎn)矩角。

圖2 同步電動(dòng)機(jī)的相量圖

內(nèi)功率因數(shù)角：激磁電動(dòng)勢E₀與定子電流I之間的夾角。等于轉(zhuǎn)矩角β減90度，一般情況下做電磁仿真時(shí)使轉(zhuǎn)子d軸與定子A相軸線重合，此時(shí)A相反電勢為sin（wt），即A相E₀的初始角度為0，施加電流源時(shí)，電流與A相反電勢之間相差一個(gè)內(nèi)功率因數(shù)角，圖2為γ，所以L_q＞L_d的電機(jī)，A相的電流源一般為sin（wt+γ），所以我們平時(shí)仿真分析給軟件的都是內(nèi)功率因數(shù)角。轉(zhuǎn)矩角與內(nèi)功率因數(shù)角二者相差90度。因此很多人也把內(nèi)功率因數(shù)角叫做轉(zhuǎn)矩角。

注意：圖一和圖二中，A相磁鏈正方向即是A相軸線的方向。產(chǎn)生正向磁鏈的電流方向?yàn)檎较?，即電流正方向與磁通正方向符合右手螺旋定則，。所以上述兩個(gè)圖中的d軸電流數(shù)值均為負(fù)數(shù)，即d軸電流為去磁電流。

2 電機(jī)的轉(zhuǎn)矩

關(guān)于永磁轉(zhuǎn)矩（電機(jī)學(xué)上也叫基本電磁轉(zhuǎn)矩，這里以永磁電機(jī)為例）和磁阻轉(zhuǎn)矩（電機(jī)學(xué)上也叫附加電磁轉(zhuǎn)矩）的定義，沒有一個(gè)嚴(yán)格的說法，不同的文獻(xiàn)或不同的前提條件下定義有所不同，即使是同樣一個(gè)原則的定義，也有不同的解釋。在這部分之前，需要先了解，磁場是由磁動(dòng)勢（電樞電流產(chǎn)生、勵(lì)磁電流產(chǎn)生、永磁體的分子電流產(chǎn)生）激勵(lì)出來的，磁動(dòng)勢除以磁路的磁阻等于磁通（磁鏈），所以分析磁場之前要先分析磁動(dòng)勢和磁路的磁阻。這里探討兩種。

第一種是把永磁轉(zhuǎn)子分為兩部分，一部分是氣隙均勻的有主極磁動(dòng)勢的轉(zhuǎn)子，還有一部分是無主極磁動(dòng)勢的交直軸磁阻不同的轉(zhuǎn)子。定子電樞磁動(dòng)勢作用在氣隙均勻的轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生電樞磁場，然后電樞磁場和轉(zhuǎn)子主極磁場相互作用產(chǎn)生永磁轉(zhuǎn)矩，為

T_pm=ψ_f·I_s·sinβ=ψf·I_q（1）

定子電樞磁動(dòng)勢與無主極磁動(dòng)勢的交直軸磁阻不同的轉(zhuǎn)子相互作用產(chǎn)生磁阻轉(zhuǎn)矩，為T_dq=I_d·I_q(L_d－L_q)= (1/2)p·(L_d-L_q)·I_s²·sin2β                （2）

第二種依然是把永磁轉(zhuǎn)子分為兩部分，一部分是氣隙均勻的有主極磁動(dòng)勢的轉(zhuǎn)子，還有一部分是無主極磁動(dòng)勢的交直軸磁阻不同的轉(zhuǎn)子。不過這里首先要把定轉(zhuǎn)子磁勢合成，其合成與磁路的凸極性無關(guān)，然后合成磁勢作用于交直軸不對(duì)稱的磁路產(chǎn)生氣隙合成磁場，之后氣隙合成磁場與氣隙均勻的主極磁場轉(zhuǎn)子相互作用產(chǎn)生永磁轉(zhuǎn)矩，為

T_pm=ψ_q·I_f=ψ_f·I_q·L_q/L_d（3）

氣隙合成磁場與無主極磁場的交直軸磁阻不同的轉(zhuǎn)子相互作用產(chǎn)生磁阻轉(zhuǎn)矩，為

T_dq=(I_d+I_f)·I_q(L_d－L_q)=I_q·I_d·(L_d－L_q)+ψ_f·I_q－ψ_q·I_f（4）

綜上所述，分析二者特性的關(guān)鍵是磁動(dòng)勢產(chǎn)生磁場時(shí)是否考慮交直軸磁路的磁阻不同。

2.1 矩角特性

將第一種情況下的（1）式和（2）式相加再乘以極對(duì)數(shù)即是轉(zhuǎn)矩角特性的電磁轉(zhuǎn)矩方程，即

T_em=p·ψ_f·I_s·sinβ＋p·(1/2)·(L_d-L_q)·I_s²·sin2β          （5）

從物理意義上講，矩角特性反映了電磁轉(zhuǎn)矩是由定子電流與永磁轉(zhuǎn)子相互作用而形成，因此它反映了電磁轉(zhuǎn)矩與定子電流大小及空間相位之間的關(guān)系。

圖3 L_d＞L_q時(shí)的同步電機(jī)矩角特性

當(dāng)定子電流大小不變，L_d＞L_q時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)矩角β的特性如圖3所示。當(dāng)轉(zhuǎn)矩角β＜90度時(shí)，磁阻轉(zhuǎn)矩為正，此時(shí)電樞直軸電流起增磁作用，即d軸電流為正值。

圖4 L_d＜L_q時(shí)的同步電機(jī)矩角特性

當(dāng)定子電流大小不變，L_d＜L_q時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)矩角β的特性如圖4所示。當(dāng)轉(zhuǎn)矩角β＞90度時(shí)，磁阻轉(zhuǎn)矩為正，此時(shí)電樞直軸電流起去磁作用，即d軸電流為負(fù)值。

針對(duì)上述兩個(gè)特性，可以在有限元軟件中進(jìn)行電磁仿真，電流源激勵(lì)，改變內(nèi)功率因數(shù)角（加90度即為轉(zhuǎn)矩角）。取一個(gè)常規(guī)的內(nèi)置式永磁電機(jī)模型，去掉永磁體和加上永磁體分別仿真磁阻轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩。同時(shí)電勵(lì)磁凸極同步電機(jī)也可以取個(gè)模型，不加轉(zhuǎn)子勵(lì)磁和加上轉(zhuǎn)子勵(lì)磁分別仿真磁阻轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩，注意電勵(lì)磁同步電機(jī)仿真時(shí)，勵(lì)磁磁場不宜過大，否則d軸磁路飽和。經(jīng)過仿真或可以手繪一個(gè)凸極轉(zhuǎn)子，定子給一個(gè)NS極磁場也可看出，當(dāng)轉(zhuǎn)矩角為90度，即內(nèi)功率因數(shù)角為0度時(shí)，磁阻轉(zhuǎn)矩為0。

綜上所述，對(duì)于L_q＞L_d的內(nèi)置式永磁電機(jī)，定子d軸電流要去磁才能獲得正的磁阻轉(zhuǎn)矩，而對(duì)于電機(jī)學(xué)書上L_d＞L_q的凸極同步電機(jī)，定子d軸電流要增磁才能獲得正的磁阻轉(zhuǎn)矩。因此應(yīng)該利用轉(zhuǎn)矩角特性評(píng)估磁阻轉(zhuǎn)矩對(duì)整個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)矩的貢獻(xiàn)。

2.2 功率角特性

功率角特性是在定子電壓給定情況下得到的電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式，功率角特性的轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為：

T_em=m·p[E₀·U·sinθ/(ω·X_d)]+m·p[(U²/2ω)(1/X_q-1/X_d)sin2θ]          (6)

圖5 同步發(fā)電機(jī)相量圖

圖5為同步發(fā)電機(jī)的相量圖（忽略繞組電阻），這里以一個(gè)發(fā)電機(jī)為例，因?yàn)榘l(fā)電機(jī)的相量圖很好找，并且這個(gè)電流正方向是跟全文一致的，但其實(shí)永磁電動(dòng)機(jī)的相量圖都可以推導(dǎo)出如下結(jié)論，注意電流正方向的選取就可以，大家可以嘗試，由圖可見：

U·sinθ=I_q·X_q(7)

U·cosθ=E₀+I_d·X_d(8)

將(7)、(8)式代入(6)式并考慮到E₀=ψ_f·ω得：

T_em=p[E₀·I_q·X_q/(ω·X_d)]+p[(1/X_q－1/X_d)·I_q·X_q·(E₀+I_d·X_d)/ω]

=p[ψ_q·I_f]＋p[I_q·I_d·(L_d－L_q)+ψ_f·I_q－ψ_q·I_f]                      (9)

由(9)式可見，它是（3）式與（4）式的和。顯然第四項(xiàng)與第一項(xiàng)相等且符號(hào)相反，相互抵消，于是功角特性得到的總電磁轉(zhuǎn)矩與矩角特性得到的總電磁轉(zhuǎn)矩是一致的。只是兩個(gè)特性中的永磁轉(zhuǎn)矩和磁阻轉(zhuǎn)矩的物理意義不同，所以如果用功角特性和矩角特性分別計(jì)算永磁轉(zhuǎn)矩和磁阻轉(zhuǎn)矩，得到的結(jié)果是不一致的，但將兩個(gè)特性分別計(jì)算的永磁轉(zhuǎn)矩和磁阻轉(zhuǎn)矩相加得到的總的電磁轉(zhuǎn)矩是相等的。

另外可以看出，式（9）的第一個(gè)中括號(hào)是由式（6）的第一個(gè)中括號(hào)推導(dǎo)而來，式（9）的第二個(gè)中括號(hào)是由式（6）的第二個(gè)中括號(hào)推導(dǎo)而來，而式（9）第二個(gè)中括號(hào)與式（4）相同，因此功率角特性中的磁阻轉(zhuǎn)矩即是式（4）T_dq=(I_d+I_f)·I_q(L_d－L_q)。

圖6  L_d＞L_q時(shí)的同步電機(jī)功角特性

根據(jù)式（6），當(dāng)端電壓大小不變，L_d＞L_q時(shí)，即電機(jī)學(xué)中電勵(lì)磁凸極同步電機(jī)，電磁轉(zhuǎn)矩與功角θ的特性如圖6所示。當(dāng)功角θ＜90度時(shí)，磁阻轉(zhuǎn)矩為正，此時(shí)電樞合成磁場起增磁作用，但電樞直軸電流特性未知，當(dāng)電樞直軸電流是增磁作用時(shí)，根據(jù)上文轉(zhuǎn)矩角特性中所述，磁阻轉(zhuǎn)矩為正，但當(dāng)電樞直軸電流是去磁作用時(shí)，根據(jù)轉(zhuǎn)矩角特性中所述，磁阻轉(zhuǎn)矩為負(fù)，與功率角特性中的磁阻轉(zhuǎn)矩矛盾。所以從功率角特性中無法看出磁阻轉(zhuǎn)矩是否做出貢獻(xiàn)。

圖7 L_d＜L_q時(shí)的同步電機(jī)功角特性

根據(jù)式（6），當(dāng)端電壓大小不變，L_d＜L_q時(shí)，即通常的內(nèi)置式永磁電機(jī)，電磁轉(zhuǎn)矩與功角θ的特性如圖7所示。當(dāng)功角θ＞90度時(shí)，磁阻轉(zhuǎn)矩為正，根據(jù)式（4），T_dq=(I_d+I_f)·I_q(L_d－L_q)，可以看出，當(dāng)L_d＜L_q時(shí)，需要I_d為去磁性質(zhì)并且大于勵(lì)磁電流，該磁阻轉(zhuǎn)矩才是正的，可是這樣電機(jī)就退磁了，所以式（4）是小于0的，可是式（3）是比轉(zhuǎn)矩角特性中的永磁轉(zhuǎn)矩大很多的，所以式（3）和式（4）相加后的轉(zhuǎn)矩是跟轉(zhuǎn)矩角特性一致的。

綜上所述對(duì)于內(nèi)置式的L_d＜L_q的永磁電機(jī)，一般情況下，功角都是小于90度的，但并不代表沒有利用磁阻轉(zhuǎn)矩。

2.3 適用范圍

電壓一定或給定電壓時(shí)，通常用功角特性來分析更加方便適用，不調(diào)速并網(wǎng)運(yùn)行時(shí)，屬于給定電壓，因此常用功角特性來分析，比如自啟動(dòng)永磁同步電機(jī)；電流一定或給定電流時(shí)，用矩角特性來分析更加方便適用，采用變頻器調(diào)速運(yùn)行的永磁電機(jī)，通常是控制給定電流，因此常用矩角特性分析較為簡單。